Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Лекция по ТТМС (моделирование систем) Глава I Математическое моделирование системных элементов Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес- твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи- лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис- тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи- "Математика - основа всего точного естествознания". Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов. 1. 1. Три этапа математизации знаний Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма- тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории. Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе- номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна- лами (входами µ §) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами µ §. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала. Второй этап и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т. е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели. Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре- тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати- вать узость мышления, порождаемую специализацией. 1. 2. Математическое моделирование и модель Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна- вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема- тических моделей. Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т. п.), определяющих характе- ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции µ §, в зависимости от параметров объекта-оригинала µ §, входных воздей- ствий µ §, начальных и граничных условий, а также времени. Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала µ того же объекта-оригинала µ § с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес- кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя- ми. Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П. Дж. Коэном. Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю- или константами. Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтак- сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес- ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи- ческой моделью. Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно. 1. 3. Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолко- вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо об- разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво- лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положе- ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход- тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т. е. ус- тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор- мальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото- рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша- ется, имеет место частичная интерпретация. При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе- Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер- претации применительно к задаче математического моделирования. ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон- кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе- мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна- ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об- ластью значений интерпретации. Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола- рования. Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма- тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек- та. 1. 4. Виды и уровни интерпретаций Создание математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер- претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) ин- формационного содержания интерпретируемого математического объекта - математи- ческого описания и требуемого конечного информационного содержания математичес- кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксичес- кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количес- претаций. Cинтаксическая интерпретация Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло- гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема- тических языков. При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор- фологическую структуру математического выражения µ § (1) Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру, которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в со- ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру Stµ §в адекватную требуемую Stµ §,т. е. µ § (2) Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру Stµ §, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stµ §до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования µ § (3) Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз- морфологические структурные представ- ления АМО в рамках одного математического языка. Семантическая интерпретация Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы- ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас- сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги- рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре- тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс. Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма- тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация. Качественная интерпретация Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен- ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру- ется режим функционирования объекта моделирования. раметров, характеристик, показателей. ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-ори- гинала. Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, се- мантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы µ § , в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования. Глава II Концептуальное метамоделирование функционирования системного элемента 2. 1. Системный элемент как объект моделирования Понятие "элемент" является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) - системологии. Оно происходит от латинского "Elementarius" и имеет смысл: начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо. Впервые понятие "элемент" встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе "Метафизика". начения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства мате- рии - ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и члени- § приводит к образованию компо- § и элементов µ § В целенаправленных действующих системах S любой компонент µ § целого характеризуется как поведением, так и строением. В тех случаях, когда при моделиро-вании рассматривается (исследуется) и поведение (j) и строение (m), компонент µ § определяется как подсистема системы S. Если же рассмотрению подвергается только поведение компонента µ §, то его определяют как элемент µ § где Е - комплект элементов, выступающий носителем системы S. Таким образом, сущность компонента "подсистема" дуальна. Для вышерасположенных компонент µ § подсистема выступает как элемент, а для нижерасположенных - как система. В системологии понятие "элемент" трактуется двояко - как абсолютная и как от- ким подходом, относительное - системологическим. Понятие абсолютного элемента µ § связано с определением начального мини-мального компонента системы S, т. е. такой ее части, которая сохраняет основные свойства исходной целостной системы S. При таком подходе, назовем его молекуляр- ным, понятие "элемент" включает в себя и фиксирует существенные свойства целост- ной системы S. Понятие относительного элемента µ § (µ §) связано с уровнем познания § рассматривается как системная "взгляда" и "отношения" к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента µ § является элементом µ § (µ §) толь- ко в рамках данного рассмотрения на выделенном уровне анализа. Для системологи- ческого подхода понятие элемента, как относительной категории, может быть сформу- лировано следующим образом. Определение 1. Элемент - это относительно самостоятельная часть системы, ем, направленным на реализацию присущей этому целому функции. С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности. 2. 2. Целенаправленность системного элемента Фундаментальным свойством системного элемента µ § является его целенаправленность и, как следствие, способность функционировать. Под функциони- рованием принято принято понимать реализацию присущей элементу µ § функции, т. е. возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента µ Целенаправленно действующий системный элемент µ § должен обладать, по край- ней мере, тремя основными атрибутами: - элемент µ § выполняет одну или несколько функций, § обладает определенной логикой поведения, § используется в одном или нескольких контекстах. Функция указывает на то, "что делает элемент µ §". Логика описывает внутренний алгоритм поведения элемента µ §, т. е. определяет "как элемент µ § реализует свою функцию". Контекст § в тех или иных условиях, в той или иной среде. Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержа- тельно что такое модель функционирования системного элемента µ §. Определение 4. - это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т. е. результата µ § функционирования элемента µ "Что делает элемент µ § для достижения результата µ §", определяемого его целевым назначением. Целостность системного элемента ражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный § (µ §) характеризуется явно выраженной обособленностью (границами) и определенной степенью независимости от окружающей его среды. Относительная независимость системного элемента определяется (характеризуется) совокупностью факторов, которые назовем факторами целостности. Полная совокупность факторов целостности элемента µ § определяется двумя группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние. 1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента µ § с ок-ружающей его средой µ § , т. е. минимальная внешняя связность элемента µ §. Обозначив полную совокупность внешних связей элемента µ §, рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации: µ §® Min. 2. Низкий уровень взаимодействия µ § элемента µ § с окружающей его средой µ §,т. е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами µ § ® Min. Внутренние факторы § максимальна µ §®Max. 2. Высокая интенсивность µ §®Max. Оценка целостности элемента ны для оценки целостности системного элемента µ "прочности" элемента по отношению к окружающей его §. Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей µ § и взаимо- действий µ § всех частей, из которых состоит элемент µ µ Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей µ § и взаимодействий µ µ § введем показатель "сцепленности" и определим его как композицию показателей µ § и µ §, т. е. µ Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки § элемента µ §. Такая оценка определяется отношением вида µ § (3) § элемента µ § к его сцепленности µ §. С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид µ Уровни целостности элемента Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы µ §по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде. Если значение показателя прочности µ § элемента µ § превосходит зна- § элемента µ § с его средой µ §, т. е. µ § > µ §, а как следствие и µ § > § по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат- риваемом случае имеет место супераддитивная целостность. Случай 2. Пусть значения показателей прочности µ § и сцепленности µ т. е. µ § = µ §. В этом случае показатель целостности µ § = 1. Тогда элемент µ § по сво- им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента µ § определим как аддитивная целостность. Случай 3. § элемента µ § ниже значений показателя сцепленности µ § с его средой µ §. В рассматривае- мом случае условия записываются в виде µ § < µ § и µ § < 1. При этом элемент µ § по сво- им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде µ §. Рассматриваемый уровень целостности элемента µ § определим как субаддитивная целостность. Таким образом, введенный показатель µ § может использоваться как критерий оценки качества целостных свойств элемента µ §, а также для сравнения раэличных элементов µ Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук- тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще- ния, концептуализации и формализации. Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт- ного к конкретному на основе интерпретаций. КММ функционирования системного элемента µ § предполагает описание динами- ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру- "вход - вы- " с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони- рования системного элемента µ § должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие. 1. Элемент µ §, как компонент системы µ §, связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы. § системы µ § воздействуют на элемент µ § посредст- вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством µ §. 3. Элемент µ § может выдавать в окружающую его среду µ § выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством µ §. § ( µ § ) происходит во време- ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему: µ § где µ § 5. Процесс функционирования элемента µ § представляется в форме отображения µ § входного векторного множества µ § в выходное - µ §, т. е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида µ §. 6. Структура и свойства отображения µ § при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента µ §, во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически. 7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента µ §, представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени µ §, при условии фиксированного "среза" значений входных воздействий µ § и опреде- ляется как внутреннее состояние µ §. 8. Внутренние свойства элемента µ § характеризуются вектором параметров µ §, которые назовем функциональными ( j - параметры ). Концептуальное математическое описание системного элемента µ § ( µ § ) с учетом изложенных выше положений, представим кортежем µ Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента µ §. 2. 5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо- вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 ) по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес- кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис- дель. В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента µ §: КММ элемента µ § на уровне непараметрической статики ( УНС ); КММ элемента µ КММ элемента µ § на уровне непараметрической динамики ( УНД ); § на уровне параметрической динамики ( УПД ). Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней. КММ теоретико-системного уровня Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного элемента µ § дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент µ § µ § § µ §. Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век- торного множества µ § с соответствующим векторным множеством µ § посредством отображения "j". Однако, отображение "j" не указывает каким образом рассматривае- мые множества связаны. µ §. ( 2 ) КММ уровня непараметрической статики Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение µ §, определяющее правила преобразования входов µ § в выходы µ § получить µ §, адекватное целевому функционированию элемента µ §. В общем случае µ § - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо- дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида µ §. ( 3 ) Раскрытие структуры преобразования вида µ § является основной задачей КММ уровня µ §, представленное скалярной функцией µ §, причем: µ §. Функционирование элемента µ § ) на УНС описывается как отобра- жение µ §. Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус- ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений сигналов "вход - выход": µ § ( 4 ) ние µ § однозначно. Значение величины µ § в любой из пар µ § называется функ- цией от данного µ § . Общий вид записи функции µ § позволяет дать формальное определение функции элемента µ § в скалярной форме представления µ § ( 5 ) Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр- ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей µ § ( µ § ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема- тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления ) µ КММ уровни параметрической статики Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента µ § осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров µ § рассматриваются три группы параметров µ § ( 6 ) где µ § - совокупность параметров { µ § } входных воздействий µ § µ § - совокупность параметров { µ § } выходных реакций ( откликов ) µ § µ § - совокупность параметров { µ §. Перечни ( номенклатура ) параметров µ § и их значений определяются для каждого ти- § . Для µ § - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер- претаций КММ задается четверкой µ § ( 7 ) КММ уровня непараметрической динамики Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем- § на динамику изменения входных воздействий µ § при неизменном отображении µ § - скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента µ намические µ § ) воздействия при времязависимом отображении µ §, т. е. когда µ § - функционал или оператор, зависящий от времени µ §. При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ- ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты µ § указывает на факт КММ уровня параметрической динамики §, определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 ) µ §. §. Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров- нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента. Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида µ § ( 9 ) Выводы Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем- § на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис. . Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов µ § осуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.