Інтерполяція функції в прямокутнику

Інтерполяцiя функцiї в прямокутнику Змiст Вступ 3 § 1. Постановка задачi 4 § 2. Подвiйнi рiзницi для функцiї двох змiнних 7 § 3. Інтерполяцiйний многочлен у формi Ньютона для функцiї двох змiнних 9 § 4. Інтерполяцiйний многочлен Лагранжа у випадку функцiї двох змiнних 11 § 5. Двовимiрнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби 12 Лiтература 26 Додаток. Інструкцiя користувача та тексти програм 27 Вступ. Однiєю iз задач, якi розв¢язує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функцiї однiєї змiнної та багатьох дiйсних змiнних iншими функцiями бiльш простої, взагалi кажучи, будови, якi легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цiєї задачi – апроксимування функцiї. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функцiя задана своїми значеннями у виглядi таблицi результатiв експерименту, або коли функцiя має складну аналiтичну будову i знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальнi труднощi. Так, зокрема, всi широко вживанi на практицi функцiї sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато iнших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функцiональних рядiв або ланцюгових дробiв. В останнi роки рiзко зрiс iнтерес до класичних методiв апроксимацiї функцiй. Це пов’язано з тим, що цi апроксимацiї знайшли рiзноманiтне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фiзики та механiки. Взагалi потрiбно вiдмiтити, що останнiм часом ми стаємо свiдками позитивної тенденцiї, згiдно якої сучаснi математичнi дослiдження все бiльше i бiльше iнiцiюються найбiльш передовими фiзичними теорiями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких i спроби об¢єднати слабкi, електромагнiтнi, сильнi та гравiтацiйнi взаємодiї у фiзицi i проблеми ефективної компресiї аудiовiзуальної iнформацiї на пiдставi аналiзу спектра сигналу в обчислювальнiй математицi та ще багато iнших не менш цiкавих задач. В данiй квалiфiкацiйнiй роботi розглядаються два найбiльш часто вживанi пiдходи до iнтерполяцiї функцiї двох змiнних – двовимiрнi iнтерполяцiйнi многочлени i двовимiрнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби, доводяться деякi кориснi для практичного використання твердження. Також зроблено спробу дати деяку загальну оцiнку ефективностi використання вищезгаданих методiв на пiдставi результатiв обчислювальних експериментiв. §1. Постановка задачi. Поставимо у вiдповiднiсть двом дiйсним змiнним x i y прямокутну декартову систему координат X 0 Y . Розглянемо в площинi цiєї системи прямокутну область. І нехай у цiй областi визначена деяка функцiя двох змiнних. Розiб’ємо область на прямокутники за допомогою сукупностi прямих, паралельних 0 X та 0 Y .   Для цього виберемо на промiжку множину точок , та на промiжку множину точок . Декартiв добуток цих множин буде утворювати множину iнтерполяцiйних вузлiв. Вiдповiднi прямi та розбивають область D на прямокутники. Нехай у вузлах заданi значення функцiї . В цiй же областi D виберемо довiльну точку. Процес обчислення в точках М, якi не збiгаються з вузловими, називається iнтерполюваннямекстраполюванням . Перейдемо до обчислення невiдомого значення. Проведемо через точку М двi прямi ABiPQ, паралельнi координатним осям. Розглянемо точки перетину їх з прямими та , якi проходять через iнтерполяцiйнi вузли. Для визначеностi зупинимося на прямiй AB, паралельнiй осi 0Х. Вона перетинається з прямими в точках , де у – ордината точок перетину. Тепер, зафiксувавши значення i , та використовуючи значення функцiї для , ми зможемо звичайними методами iнтерполяцiї, розробленими для функцiї однiєї змiнної, обчислити значення. Проробивши це на всiх прямих , ми отримаємо значення функцiї в точках перетину AB та сукупностi прямих. Інтерполюючи по цих точках, ми знайдемо i - значення функцiї у точцi перетину пунктирних лiнiй. Аналогiчно можна iнтерполювати по значеннях функцiї на горизонтальних прямих i в такий спосiб знайти значення в точках перетину цих прямих з прямою PQ. Інтерполюючи по них, ми знову прийдемо до. Кiнцевий результат не залежить вiд порядку, в якому виконується iнтерполювання – чи спочатку горизонтальне, а потiм вертикальне, чи навпаки – в обох випадках ми прийдемо приблизно до одного i того ж значення , оперуючи iнтерполяцiйними формулами Ньютона, Стiрлiнга, Бесселя i їм подiбними, обiрваними на рiзницях одного порядку. В загальному випадку задача iнтерполювання функцiї вiд двох змiнних може бути сформульована так: в точках ( D заданi значення неперервної функцiї i потрiбно наблизити її за допомогою неперервної функцiї i зображує в iнших точках D функцiю точно або наближено. з прямокутною системою координат. Щоб уявити собi геометричний змiст iнтерполювання, достатньо побудувати поверхню , яка проходить через точки. Оскiльки значення апроксимуючої функцiї в точках спiвпадають iз значеннями , а в iнших, взагалi кажучи, вiдмiннi, точки ми i назвали вузловими точками. Геометричний змiст iнтерполювання виражається в тому очевидному фактi, що поверхня замiнюється апроксимуючою поверхнею. Щоб оцiнити точнiсть iнтерполяцiї, необхiдно оцiнити рiзницю аплiкат цих поверхонь в точках , не спiвпадаючих з вузловими. Далi розглянемо iнтерполяцiйнi агрегати у виглядi многочленiв (якi будемо називати iнтерполяцiйними многочленами для функцiї двох змiнних ) i двовимiрних iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв, оскiльки такi представлення є найчастiше вживаними i краще вивченими. Але перед тим як приступити до побудови двовимiрної iнтерполяцiйної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвiйнi рiзницi для функцiї двох змiнних, якi нам для цього знадобляться. Нехай задана функцiя i, крiм того, заданi такi значення аргументiв i : i. n -ту частинну рiзницю функцiї по змiннiй ; якщо ж рiзницi утворюються по y , то через будемо позначати m -ту частинну рiзницю функцiї по змiннiй. Так, наприклад, перша подiлена рiзниця функцiї по змiннiй х у а рiзниця (х вважається сталою) у . Зробимо важливе зауваження щодо символiв , , i. Якщо розглянути, наприклад, символ , то можемо вiдмiтити, що цим символом позначається значення функцiї в точцi площини Х0У , а не перша подiлена рiзниця функцiї , як це прийнято позначати у випадку одновимiрної iнтерполяцiї. Такий же змiст мають i iншi символи. Для подiленої рiзницi (n + m )-го порядку вiдносно обох змiнних х (для значень х , рiвних ) та у (для значень у, рiвних ) ми будемо використовувати позначення: Подiленi рiзницi функцiї вiд двох змiнних можуть бути отриманi за допомогою формули для рiзниць функцiї вiд одної змiнної. Власне ми можемо утворити певну суперпозицiю двох таких формул: тодi   Тут - значення в точцi. х та у є симетричними функцiями параметрiв таким чином, що вони не змiнюються при яких завгодно їх перестановках. Наприклад: . §3. Інтерполяцiйний многочлен у формi Ньютона для функцiї двох змiнних. Згiдно загальної iнтерполяцiйної формули Ньютона для функцiї однiєї змiнної маємо: Але по тiй самiй формулi Ньютона ми можемо записати: (1) де   , то залишковий член може бути переписаний у виглядi (2) , де знаходиться мiж найбiльшим та найменшим з чисел i де знаходиться мiж найбiльшим та найменшим з чисел. Символами та позначенi частиннi похiднi. Тепер звернемо увагу ще на таке спiввiдношення: , де i знаходяться вiдповiдно в тих самих межах, що згаданi вище. Вiдмiтимо, що невiдомi числовi значення i , якi входять в двi першi формули, не рiвнi значенням i останньої формули. З цих формул отримуємо наступну формулу для оцiнки похибки iнтерполяцiї: §4. Інтерполяцiйний многочлен Лагранжа у випадку функцiї двох змiнних. Для отримання потрiбної нам формули досить побудувати многочлен степеня (степеня вiдносно x та степеня вiдносно y ), що приймає в точках тi самi значення що i задана функцiя. Якщо цей многочлен ми приймемо в якостi iнтерполяцiйного, то залишковий член вiдповiдної iнтерполяцiйної формули не буде нiчим вiдрiзнятися вiд залишкового члена попередньо виведеної формули Ньютона. Розглянемо многочлен степеня : де , . Так як то многочлен приймає значення у вузлах iнтерполяцiї. Це i є iнтерполяцiйна формула Лагранжа для функцiй двох змiнних. Вона є точною для многочленiв, степiнь яких по не перевищує , а по y - не перевищує . §5. Двовимiрнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби. Розглянемо ще один спосiб двовимiрного iнтерполювання функцiй – двовимiрнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби. Нехай маємо двi послiдовностi дiйсних чисел i. Ланцюговим дробом , а n -м пiдхiдним дробом ланцюгового дробу називається вираз вигляду Нехай маємо функцiю задану своїми значеннями у вузлах сiтки (див. § 1). Позначимо двовимiрний ланцюговий дрiб , (3) де , Твердження 1. . Доведення. Випадок, коли доведено в [2]. Припустимо тепер, що. Введемо позначення. Всi коефiцiєнти дробу (3) мiстяться в конструкцiях , причому кожна така конструкцiя мiстить 1+( n - p )+( m - p ) . Твердження доведено. Згiдно з [2], значення двовимiрного iнтерполяцiйного ланцюгового дробу (3) можна знайти за допомогою оберненого рекурентного алгoритму, який у цьому випадку формулюється так: спочатку вибираємо початкове значення , а всi наступнi значення знаходяться за рекурентним спiввiдношенням , де при , при. . Скориставшись оберненим рекурентним алгоритмом, отримаємо дрiб (3) у виглядi вiдношення двох многочленiв вiд двох незалежних змiнних х та у : . Згiдно з [3] має мiсце наступне твердження. Твердження 2. Двовимiрний iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб (3) є дробово-рацiональною функцiєю двох незалежних змiнних. Степенi многочленiв чисельника та знаменника по змiнним х та у задовольняють нерiвностi: , , , , де . Доведення. Доведемо за аналогiєю з [1], де подiбне твердження було доведено для випадку. Перепишемо пiдхiдний дрiб у такому виглядi: , де, як i ранiше, . В [4] доведено, що є многочлен степенi , а степенi. Виходячи з цього маємо, що r ( k ) та задовольняють наступнi рекурентнi спiввiдношення: , (4) , так як. Оскiльки , та при всiх s =1,2,…, k ,, отже. Розглянемо випадок, коли. Тодi, користуючись формулою попереднього випадку, з (4) маємо: отже. Тепер можемо об’єднати цi два випадки в однiй формулi: . Ми довели твердження для степенiв вiдносно х . Для степенiв вiдносно у твердження доводиться повнiстю аналогiчно.   де та де Визначимо частинну обернену подiлену рiзницю k -го порядку для функцiї двох змiнних формулою де Твердження 3. Коефiцiєнти двовимiрного iнтерполяцiйного ланцюгового дробу (3) задовольняють спiввiдношення (5) точку) а iнший має довiльне значення (назвемо такi розбиття а не тiльки для лiнiйного. Для цього спочатку покажемо, що навiть коли , ми маємо право на кожному кроцi методу математичної iндукцiї одночасно збiльшувати розбиття по обох змiнних на 1. Це так, оскiльки довiльне розбиття прямокутника, яке мiстить точок, може бути отримано з деякого лiнiйного розбиття додаванням однакової кiлькостi точок n до розбиття по кожнiй координатi. А оскiльки у випадку лiнiйного розбиття справедливiсть формули доведено, то ми маємо можливiсть одночасно збiльшувати розбиття по обох змiнних на кожному кроцi на 1. (6) Зробимо позначення . (7) Тодi (6) набуває вигляду . А оскiльки , то Та як , то в кiнцевому результатi маємо: . (8) З iншого боку (7) є двовимiрним iнтерполяцiйним ланцюговим дробом. Вiн має n Тут при. З останньої формули та з формули (8) випливає, що , а тодi i. Отже формула (5) має мiсце i при. Твердження доведено. §6. Результати i висновки. В цiй роботi були розглянутi деякi цiкавi властивостi двовимiрних iнтерполяцiйних агрегатiв. Зокрема були доведенi твердження 1 – 3 (див. § 5), що дають вiдповiдi на питання про кiлькiсть коефiцiєнтiв двовимiрного iнтерполяцiйного ланцюгового дробу, про степiнь многочленiв чисельника та знаменника цього дробу по змiнним х та у а також вказують зручний спосiб обчислення його (дробу) коефiцiєнтiв. Для проведення обчислювальних експериментiв були складенi двi програми, якi реалiзують алгоритми двовимiрної iнтерполяцiї многочленами i дробами. Саме двi, оскiльки при одних i тих же початкових умовах (функцiя, область i набiр вузлiв) побудова двовимiрних iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв є значно менш ресурсоємним алгоритмом, i тому для дробiв вiдкривається можливiсть перевiрити точнiсть при таких наборах iнтерполяцiйних вузлiв iз заданої областi, якi мiстять в декiлька разiв (а то i в десятки разiв) бiльше точок, нiж для многочленiв. Але для порiвняння результатiв цi програми були об’єднанi в одну, текст якої подано в додатку. промiжку похибка наближаючого агрегату прямує до нуля, то у випадку двох змiнних можна спостерiгати своєрiдне “коливання” точностi то в кращу, то в гiршу сторону. Найбiльш яскраво це проявлялося при iнтерполяцiї дробами i многочленами з вибором рiвномiрно розташованих на промiжках вузлах, але коли за вузли бралися коренi многочлена Чебишева, то у многочленiв збiжнiсть значно покращувалася. Хоч такий вибiр вузлiв i не мав такого ж позитивного впливу на збiжнiсть двовимiрних iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв. Нижче подано добiрку результатiв найбiльш характерних обчислювальних експериментiв. Вузли рiвномiрно розподiленi по промiжках.   Дроби Многочлени Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка 1 1 0. 03359589352 0. 17112619041 0. 03359589352 0. 17112619041 1 3 0. 55855855856 0. 02794673681 0. 12772351615 1 5 0. 71794871796 0. 02794673681 0. 12772351615 1 7 0. 11327134404 0. 79289940829 0. 02794673681 1 9 0. 11948690916 0. 83640836410 0. 02794673681 2 1 0. 38596491228 0. 02794673681 0. 12772351615 2 3 0. 00149588631 0. 01047120418 0. 00286056709 2 5 0. 02569593147 0. 01053077454 2 7 0. 00496606522 0. 00286056709 2 9 0. 00580130529 0. 00286056709 0. 01053077454 3 1 0. 07979407980 0. 02794673681 0. 12772351615 3 3 0. 00010955319 0. 00038036785 0. 00039529924 3 5 0. 00057516716 0. 00402617010 0. 00029506299 0. 00099681979 3 7 0. 00121245188 0. 00848716313 0. 00029506299 0. 00099681979 3 9 0. 00174083342 0. 01218583397 0. 00029506299 0. 00099681979 4 1 0. 09367681499 0. 65573770492 0. 02794673681 0. 12772351615 4 3 0. 00024931439 0. 00174520070 0. 00029506299 0. 00099681979 4 5 0. 00000531018 0. 00005369183 0. 00002514144 0. 00008248886 4 7 0. 00002154654 0. 00022136156 0. 00002514144 0. 00008248886 4 9 0. 00003794714 0. 00038368775 0. 00002514144 0. 00008248886 5 1 0. 10256410257 0. 71794871796 0. 02794673681 0. 12772351615 5 3 0. 00402617010 0. 00029506299 0. 00099681979 5 5 0. 00000018143 0. 00000086782 0. 00000135931 0. 00000910828 5 7 0. 00000125315 0. 00001130940 5 9 0. 00000350675 0. 00003164774 0. 00000135931 7 1 0. 11327134404 0. 02794673681 0. 12772351615 7 3 0. 00121245188 0. 00848716313 0. 00029506299 7 5 0. 00000125315 0. 00001130940 0. 00000135931 7 7 0. 00000032868 0. 00000017397 7 9 0. 00000358960 0. 00004242584 0. 00000009208 9 1 0. 83640836410 0. 02794673681 0. 12772351615 9 3 0. 00174083342 0. 01218583397 0. 00029506299 0. 00099681979 9 5 0. 00000350675 0. 00003164774 0. 00000910828 9 7 0. 00000358960 0. 00000009208 0. 00000028471 9 9 0. 00000013991 0. 00000085349 0. 00000000610 0. 00000001943 10 1 0. 12170910661 0. 02794673681 0. 12772351615 10 3 0. 01374570429 0. 00029506299 0. 00099681979 10 5 0. 00024223355 0. 00161644741 0. 00000135931 0. 00000910828 10 7 0. 00000023596 0. 00000152890 0. 00000009208 0. 00000028471 10 9 0. 00000014410 0. 00000103302 0. 00000001108 13 9 0. 00000008845 0. 00000106143 0. 00000000108 13 13 0. 00000072990 0. 00000584425 0. 00000000000 0. 00000000005 13 17 0. 00000080456 0. 00000965474 0. 00000000001 0. 00000000016 16 11 0. 00015846739 0. 00000000006 16 16 0. 00000009383 0. 00000000002 0. 00000000028 16 21 0. 00017987182 0. 00000000023 19 13 0. 00000056491 0. 00000000007 19 19 0. 00006163225 0. 00000000063 19 25 0. 00010534941 0. 00104050837 0. 00000000649 0. 00000004557 22 15 0. 00080950002 0. 00903666350 0. 00000000040 0. 00000000284 22 22 0. 00021805476 0. 00000002366 22 29 0. 00043326054 0. 00000107388 0. 00000753194 25 17 0. 00007599610 0. 00091195321 0. 00000000647 0. 00000002149 25 25 0. 00002255252 0. 00017865824 0. 00000040086 0. 00000130487 25 33 0. 00113924460 0. 00003818874 0. 00026419263   Дроби Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 5 3. 24426811700 0. 25936524406 0. 22301819338 1 7 3. 40559932930 0. 27226297869 1. 01605256300 0. 22301819338 1 9 3. 49484737320 1. 01605256300 0. 22301819338 2 1 2. 68626667810 0. 45578318126 0. 82009491140 0. 10281705327 2 3 18. 80114798500 1. 56560230290 0. 02717768017 2 5 19. 16101416800 1. 59556894780 0. 12197173822 0. 02717768017 2 7 19. 40883708000 1. 61620556640 0. 12197173822 0. 02717768017 2 9 19. 58095378700 1. 63053800570 0. 12197173822 3 1 3. 05789267090 0. 83628150464 3 3 0. 05658657866 3 5 0. 08203504677 0. 00704388562 0. 01581389760 3 7 0. 08972267137 0. 00770397848 0. 05658657866 3 9 0. 09405422454 0. 05658657866 0. 01581389760 4 1 0. 53821824899 4 3 1. 03475929090 0. 31261102773 0. 01438948907 0. 00211114056 4 5 0. 00355471962 0. 01431819926 0. 00416439753 4 7 0. 00918804694 0. 00081761447 0. 01431819926 0. 00416439753 4 9 0. 01359551656 0. 00120982088 0. 01431819926 0. 00416439753 5 1 3. 21977812530 0. 54630492530 0. 79279632362 0. 12432859113 5 3 9. 55544510300 3. 18980551110 0. 00170415189 0. 00034142381 5 5 0. 00029351591 0. 00139529149 0. 00011178612 5 7 0. 00431033543 0. 00038839907 0. 00139529149 5 9 0. 00303340022 0. 00139529149 0. 00011178612 7 1 3. 25691336130 0. 55260572042 0. 79279632362 0. 12432859113 7 3 7. 93278873280 0. 00034119813 0. 00003441462 7 5 0. 05321924076 0. 00014264755 7 7 0. 00023733490 0. 00002177869 0. 00014250720 0. 00001291132 7 9 0. 00023568401 0. 00014250654 0. 00001291126 9 1 3. 27024846460 0. 79279632362 0. 12432859113 9 3 69. 49991193600 0. 00033389464 0. 00006804013 9 5 0. 09294258014 0. 00837494268 0. 00000592170 0. 00000056057 9 7 0. 07396982892 0. 02234701775 0. 00000535759 0. 00000123396 9 9 0. 00000184251 0. 00000046380 0. 00000535753 10 1 0. 79279632362 0. 12432859113 10 3 7. 83307231320 0. 00033389464 10 5 0. 23649800997 0. 02131054758 0. 00000181598 10 7 0. 00471210787 0. 00000105605 0. 00000025420 10 9 0. 00000105624 0. 00000009999 13 9 0. 00024832765 0. 00002237650 0. 00000000026 0. 00000000005 13 13 0. 00000506715 0. 00000000007 13 17 0. 00001320994 0. 00000000064 16 11 0. 00048333000 0. 00004355228 0. 00000000008 16 16 0. 00000486751 0. 00000038880 0. 00000000124 0. 00000000027 16 21 0. 00000492088 0. 00000000546 19 13 0. 00001682600 0. 00000000279 0. 00000000024 19 19 0. 00028632679 0. 00002521878 0. 00000003170 0. 00000000690 19 25 0. 00130917979 0. 00012314981 0. 00000113749 22 15 0. 00152889619 0. 00013776697 0. 00000000694 0. 00000000073 22 22 0. 00010559520 0. 00000077299 0. 00000017050 22 29 0. 00103235420 0. 00014429822 0. 00004804310 25 17 0. 00055517971 0. 00005002657 0. 00000001277 25 25 0. 00001228191 0. 00000065562 25 33 0. 00121616983 0. 00113075808 0. 00025518637   Дроби Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 5 4. 26907939530 17. 87816751000 0. 77006080103 0. 62183905290 1 7 4. 83361520380 20. 24234601700 0. 77006080103 0. 62183905290 1 9 5. 12793542530 21. 47490829500 0. 77006080103 0. 62183905290 2 1 1. 42228330920 3. 02254143800 1. 01399535600 1. 11410280990 2 3 0. 15632162120 0. 06415054670 0. 11871176369 2 5 0. 28194142289 1. 18072200580 0. 21484530706 2 7 0. 51708390515 2. 16545812750 0. 21484530706 2 9 0. 75004781791 3. 14107077610 0. 11871176369 3 1 2. 30535476520 1. 01399535600 1. 11410280990 3 3 0. 09176472039 0. 04238921600 0. 06539640478 0. 03128964751 3 5 0. 17569820465 0. 73579374923 0. 06539640478 0. 03128964751 3 7 0. 73466187588 3. 07663710700 0. 06539640478 3 9 79. 09689132800 380. 08798010000 0. 06539640478 0. 03128964751 4 1 2. 90459563450 6. 17265252920 1. 11410280990 4 3 0. 09176472039 0. 04238921600 0. 03856145467 0. 13238636329 4 5 0. 28002626897 0. 53705649920 0. 01040309434 4 7 0. 04300141810 0. 01943566269 0. 00861810557 4 9 0. 06304978102 0. 01943566269 0. 00861810557 5 1 7. 08939373870 1. 01399535600 1. 11410280990 5 3 0. 09176472039 0. 04238921600 5 5 0. 69992377026 2. 44564002530 0. 01040309434 5 7 1. 53412034830 5. 66756148450 0. 00630070928 0. 00239054954 5 9 0. 13401553659 0. 00562971113 0. 00230654644 6 1 3. 66058269750 7. 77922571300 1. 11410280990 6 3 0. 04238921600 6 5 0. 14469725263 0. 19832791267 0. 01040309434 6 7 0. 00561698967 0. 00630070928 0. 00239054954 6 9 0. 01485810612 0. 05546550562 0. 00151752540 0. 00062174466 7 1 3. 91335269300 8. 31639561500 1. 01399535600 1. 11410280990 7 3 0. 04238921600 0. 03856145467 0. 13238636329 7 5 0. 01787994274 0. 02273281525 0. 02489108276 7 7 0. 00144214882 0. 00181531650 0. 00630070928 7 9 0. 12231038591 0. 23529649957 0. 00043682666 0. 00016573622 9 1 4. 28100120770 9. 09769766840 1. 01399535600 9 3 0. 09176472039 0. 03856145467 0. 13238636329 9 5 1. 89664778000 5. 54429034000 0. 02489108276 9 7 0. 00134461999 0. 00177290056 0. 00630070928 0. 00239054954 9 9 0. 00203735867 0. 00111929047 0. 00043682666 0. 00016573622 10 1 9. 39042917360 1. 01399535600 1. 11410280990 10 3 0. 04238921600 0. 03856145467 0. 13238636329 10 5 1. 48196879600 7. 62835064880 0. 02489108276 0. 01040309434 10 7 0. 00136355600 0. 00292328948 0. 00630070928 0. 00239054954 10 9 0. 00297598149 0. 01545415169 0. 00043682666 0. 00016573622 13 9 0. 00069543510 0. 00275054882 0. 00005829893 0. 00003019337 13 13 0. 00027392765 0. 00000452265 13 17 0. 11173897594 0. 58025598916 0. 00000008337 0. 00000004241 16 11 0. 00175199608 0. 00731898081 0. 00001232315 0. 00000586816 16 16 0. 09013917967 0. 43555212042 0. 00000012244 0. 00000006073 16 21 0. 00299018253 0. 01370788411 0. 00000000270 19 13 0. 00823256220 0. 04275136299 0. 00000203712 19 19 0. 33355834717 1. 44521831510 0. 00000001678 19 25 70. 42910312200 0. 00000009110 22 15 2. 50542799090 0. 00000052091 22 22 4. 46276280420 22 29 0. 00000129594 0. 00000638087 25 17 2. 02301405420 0. 00000007170 0. 00000003322 25 25 5. 83107864430 0. 00000217103 0. 00001063924 25 33 0. 00015961665   Дроби Многочлени Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 5 1 7 0. 42019239733 0. 44543897458 0. 42019239733 0. 44543897458 1 9 0. 42466450399 0. 46702486058 0. 42019239733 0. 44543897458 2 1 5. 92406330110 0. 15385417502 0. 16309825307 2 3 5. 88628093420 9. 40094430390 0. 06063309017 0. 14414041441 2 5 5. 87684104480 9. 38586791250 0. 06063309017 2 7 9. 37338802060 0. 06063309017 0. 14414041441 2 9 5. 86379682380 0. 06063309017 3 1 1. 16216189560 8. 23527373310 0. 12204034772 3 3 0. 00780858107 3 5 4. 87489726800 0. 00755833044 0. 00798497901 3 7 0. 09691959719 0. 18381617200 0. 00755833044 3 9 0. 11695957224 0. 22182367109 0. 00755833044 0. 00798497901 4 1 9. 38525303500 0. 12204034772 0. 12222953130 4 3 3. 26029124940 81. 07216489900 0. 00151731576 4 5 6. 86726471330 7. 55227553800 0. 00091149442 0. 00145574232 4 7 0. 07002075592 0. 00091149442 0. 00145574232 4 9 0. 04805377687 0. 00091149442 5 1 1. 42024470270 10. 06409170600 0. 12234472624 0. 12234623195 5 3 1. 08838390500 0. 00050780987 0. 00053288513 5 5 0. 00018796377 0. 00028940932 0. 00008858800 0. 00009698901 5 7 0. 00661182760 0. 00009810103 5 9 0. 03168653343 0. 05060637425 0. 00008835252 0. 00009810103 6 1 0. 12230731157 0. 12230881682 6 3 4. 95501497270 0. 00050780987 6 5 0. 02572462874 0. 03399120497 0. 00000944829 0. 00001070722 6 7 0. 00021033504 0. 00032385454 0. 00001246430 6 9 0. 00052356989 0. 00062622846 0. 00000837868 0. 00001246430 7 1 10. 82429192600 0. 12230227980 7 3 0. 65840690474 0. 86998511345 0. 00050822742 0. 00053691557 7 5 0. 04170436379 0. 00000155971 0. 00000157662 7 7 0. 00004511377 0. 00040621067 0. 00000060540 0. 00000067220 7 9 0. 00292681692 0. 00529485468 0. 00000060540 9 1 11. 23765781000 0. 12230416053 9 3 4. 94561763980 5. 03315746260 0. 00050780987 0. 00053288513 9 5 0. 06437664897 0. 00000148255 0. 00000160224 9 7 0. 00328533681 0. 00458959702 0. 00000002064 9 9 0. 00000171140 0. 00000000319 0. 00000000366 10 1 11. 38061151200 0. 12230265355 0. 12230415874 10 3 0. 89241842654 1. 17919593560 0. 00053288513 10 5 0. 08479957806 0. 11204981297 0. 00000148044 0. 00000158703 10 7 0. 00338075181 0. 00000000255 0. 00000000264 10 9 0. 00002372024 0. 00003134271 0. 00000000024 0. 00000000027 13 9 0. 00000000002 0. 00000000002 13 13 0. 00000000003 13 17 0. 00018036381 0. 00023832349 0. 00000000007 16 11 0. 00028594331 0. 00037783083 16 16 0. 00029530260 0. 00000000009 16 21 0. 00290316380 0. 00383609174 0. 00000000132 0. 00000000143 19 13 0. 00051347728 0. 00000000025 0. 00000000025 19 19 0. 00002867129 0. 00000000171 0. 00000000268 19 25 0. 03581473458 0. 04732375329 0. 00000005093 22 15 0. 00732013137 0. 00000000288 0. 00000000313 22 22 4. 80535903370 7. 75854968940 0. 00000005518 22 29 0. 01989863092 0. 11124748620 0. 00000080876 0. 00000136861 25 17 0. 01061870798 0. 00000002117 25 25 0. 06901559824 0. 11402913070 0. 00000119249 0. 00000654370 25 33 14. 23917996800 89. 10480794300 0. 00014588013 0. 00016457598   Дроби Многочлени Nx Ny Вiдносна похибка Вiдносна похибка 1 5 0. 00576600308 0. 00156865157 0. 26682153160 1 7 0. 00636885360 2. 56937892540 0. 00156865157 1 9 0. 00671866152 2. 71050151050 0. 00156865157 0. 26682153160 2 1 0. 00309271192 0. 00156865157 0. 26682153160 2 3 0. 00017148748 0. 06918298632 0. 02018536257 2 5 0. 00039256060 0. 15837025027 0. 00016312735 0. 02018536257 2 7 0. 00051326971 0. 20706778097 0. 00016312735 0. 02018536257 2 9 0. 00058761058 0. 23705902585 0. 02018536257 3 1 0. 00448290426 1. 80853265530 0. 26682153160 3 3 0. 00074586452 0. 00001911202 0. 00223198812 3 5 0. 00004730426 0. 00001566406 0. 00169118917 3 7 0. 00001566406 0. 00169118917 3 9 0. 00012355652 0. 04984625644 0. 00001566406 4 1 0. 26682153160 4 3 0. 00889137372 4 5 0. 00000172207 0. 00013726900 4 7 0. 00000753067 0. 00303808778 0. 00000133053 0. 00013726900 4 9 0. 00001212819 0. 00489286127 0. 00000133053 0. 00013726900 5 1 2. 32617166780 5 3 0. 00004730426 0. 00169118916 5 5 0. 00005054380 0. 00000013040 0. 00001400136 5 7 0. 00000978827 0. 00394886997 0. 00000009968 0. 00000982719 5 9 0. 00001266176 0. 00510812034 0. 00000009968 0. 00000982719 6 1 0. 00611356365 2. 46638760690 6 3 0. 00007062745 0. 00001566406 0. 00169118916 6 5 0. 00000386073 0. 00155752782 6 7 0. 00025765378 0. 00000000664 0. 00000065489 6 9 0. 00000097115 0. 00039179093 0. 00000000664 0. 00000065489 7 1 0. 00636885360 2. 56937892550 0. 00156865157 7 3 0. 00009098762 0. 03670702610 0. 00169118916 7 5 0. 00000978889 0. 00394912181 0. 00000009968 0. 00000982719 7 7 0. 00000000286 0. 00000115153 0. 00000000057 0. 00000005648 7 9 0. 00000333935 9 1 0. 00671866152 2. 71050151040 0. 00156865157 9 3 0. 00012355652 0. 00001566406 0. 00169118916 9 5 0. 00001266169 0. 00510809076 0. 00000009968 0. 00000982719 9 7 0. 00000348237 0. 00000000038 9 9 0. 00000000992 0. 00000400295 10 1 0. 00684370172 2. 76094632620 0. 00156865157 0. 26682153160 10 3 0. 00013655523 0. 05509031196 0. 00001566406 0. 00169118916 10 5 0. 01215280992 0. 00000982719 10 7 0. 00000003805 0. 00001534919 0. 00000000038 0. 00000003545 10 9 0. 00000001613 0. 00000634691 0. 00000000000 0. 00000000062 13 9 0. 00034735432 0. 00000000003 13 13 0. 00000080798 13 17 0. 00106752250 0. 00000000008 16 11 0. 00009961347 0. 00000000000 0. 00000000006 16 16 0. 00000001298 0. 00000523722 0. 00000000000 0. 00000000061 16 21 0. 13140266744 0. 00000000003 19 13 0. 00000406218 0. 00163879921 0. 00000000000 0. 00000000070 19 19 0. 00017684554 0. 07134458307 0. 00000000010 0. 00000003900 19 25 0. 00022627575 0. 00000048009 22 15 0. 00000883391 0. 00000000009 0. 00000003471 22 22 0. 00234695967 0. 00000000199 22 29 0. 00000838404 0. 00338236331 0. 00000007989 0. 00003214657 25 17 0. 00331636945 0. 00000000087 0. 00000033260 25 25 0. 08303362782 0. 00000002863 0. 00001087848 25 33 0. 00142483959 0. 57482131814 0. 00000486983 0. 00184920698   Дроби Многочлени Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 5 0. 15127931752 0. 05503985080 0. 05503985080 1 7 0. 15127931752 0. 05503985080 0. 15127931752 1 9 0. 15127931752 2 1 0. 29725152347 0. 08538667712 0. 02970363038 0. 01194040104 2 3 0. 00665441996 0. 00251367452 0. 01840363667 0. 00789211020 2 5 0. 01840363667 0. 00789211020 2 7 0. 00807648469 0. 01840363667 2 9 0. 00839176913 0. 00316994965 0. 00789211020 3 1 0. 43500866889 0. 12495796260 0. 01697516902 0. 00753292122 3 3 0. 00058834586 0. 00026058425 3 5 0. 00058241180 0. 00026057913 0. 00142359789 3 7 0. 00058164629 0. 00026023663 3 9 0. 00058145381 0. 00026150313 0. 00314872814 4 1 0. 14796711193 0. 01586076515 0. 00742995915 4 3 0. 00066287000 0. 00030347225 4 5 0. 00004372351 0. 00001802798 0. 00063290581 0. 00029454211 4 7 0. 00001918260 0. 00063290581 0. 00029454211 4 9 0. 00004946158 0. 00002039388 0. 00029454211 5 1 0. 56761140813 0. 01586076515 5 3 0. 00335227815 0. 00096295517 0. 00008705182 5 5 0. 00000213400 0. 00014191365 0. 00006811097 5 7 0. 00000449353 0. 00000213170 0. 00006811097 5 9 0. 00000449289 0. 00000214372 0. 00014191365 6 1 0. 60471972336 0. 01586076515 0. 00742995915 6 3 0. 00533205842 0. 00007949592 0. 00003848941 6 5 0. 00003344178 0. 00001595630 6 7 0. 00000033194 0. 00000015747 0. 00003332979 6 9 0. 00000033898 0. 00003332979 0. 00001599652 7 1 0. 63235237066 0. 18164572234 0. 01586076515 0. 00742995915 7 3 0. 00720975439 0. 00207103049 0. 00005815832 7 5 0. 00002405548 0. 00000652108 0. 00000834177 0. 00000408709 7 7 0. 00000004665 0. 00000001335 0. 00000398157 7 9 0. 00000006681 0. 00000398157 9 1 0. 67077218200 0. 19268196527 0. 01586076515 0. 00742995915 9 3 0. 01049174033 0. 00301379395 0. 00005484378 0. 00002746922 9 5 0. 00007778421 0. 00002108614 0. 00000046673 9 7 0. 00000025010 0. 00000006822 0. 00000059481 9 9 0. 00000003500 0. 00000001083 0. 00000029402 10 1 0. 68467046583 0. 19667430233 0. 01586076515 10 3 0. 01189608725 0. 00002746922 10 5 0. 00011106184 0. 00003010720 0. 00000052279 0. 00000025614 10 7 0. 00000051377 0. 00000014158 0. 00000016433 0. 00000008101 10 9 0. 00000005778 0. 00000001584 0. 00000008002 13 9 0. 00000965096 0. 00000276242 0. 00000000021 0. 00000000009 13 13 0. 00000005734 0. 00000001721 0. 00000000024 0. 00000000011 13 17 0. 00000010067 0. 00000000029 16 11 0. 00000016703 0. 00000005423 0. 00000000023 0. 00000000007 16 16 0. 00000007523 0. 00000002108 0. 00000000136 0. 00000000038 16 21 0. 00000440246 0. 00000122513 0. 00000000548 0. 00000000259 19 13 0. 00008957157 19 19 0. 00000620132 0. 00000000973 0. 00000000268 19 25 0. 00000299315 0. 00000012913 0. 00000003764 22 15 0. 00000113009 0. 00000000714 0. 00000000303 22 22 0. 00000008404 0. 00000004051 22 29 0. 00001163622 0. 00000592603 0. 00000163026 25 17 0. 00000012219 0. 00000005157 25 25 0. 00004025955 0. 00001164612 0. 00001260234 0. 00000530483 25 33 0. 00012087045 0. 00003539497 0. 00070208582 0. 00020386772   Дроби Многочлени Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка 1 1 0. 33321289914 0. 33653560644 0. 33321289915 0. 33653560644 1 3 0. 73677995151 0. 08595077159 0. 03314296132 1 5 1. 33074173890 1. 88989205360 0. 02917129136 1 7 1. 62218793880 2. 30379795360 0. 07813929752 0. 02917129136 1 9 2. 54240470060 0. 07813929752 0. 02917129136 2 1 0. 38093142953 0. 33321289915 0. 33653560644 2 3 53. 79528438600 0. 03508293819 0. 01603710670 2 5 11. 83751443500 7. 39333862160 0. 00603397369 0. 00249673379 2 7 16. 45134666900 8. 06771331410 0. 00400187107 0. 00192186007 2 9 2. 05270709570 2. 91521240740 0. 00400067177 0. 00167984100 3 1 0. 39983806877 0. 33697516590 0. 33321289915 0. 33653560644 3 3 3 5 4. 67590088140 7. 12118962440 0. 00381000491 0. 00141566619 3 7 11. 96976264600 16. 28514014100 0. 00033487286 0. 00012611838 3 9 233. 71213864000 0. 00031603341 4 1 0. 34580457911 0. 33321289915 0. 33653560644 4 5 0. 24612708912 0. 00362522058 0. 00135704259 4 7 6. 98163079780 0. 00032007830 0. 00011789993 4 9 200. 89868231000 293. 47604804000 0. 00003393168 0. 00001248529 5 1 0. 41657778719 0. 35108305064 0. 33321289915 5 3 1. 14373906680 0. 51796639019 0. 03562571500 0. 01557095557 5 5 0. 34582075015 0. 67731374632 0. 00362829375 5 7 0. 28787460088 0. 61359031559 0. 00032007830 0. 00011789993 5 9 269. 46848274000 272. 15554826000 0. 00002340247 0. 00000860974 6 1 0. 42073715224 0. 35458847656 0. 33653560644 6 3 0. 03562582010 0. 01557100151 6 5 0. 37088347949 0. 00362800563 0. 00135808512 6 7 0. 02216220490 0. 00032007830 0. 00011789993 6 9 0. 00002340247 0. 00000860974 7 1 0. 42369817759 0. 35708396682 7 3 1. 14373906680 0. 51796639019 0. 03562582720 7 5 0. 05427097853 0. 07817272312 0. 00362797915 0. 00135807521 7 7 0. 56527796409 0. 00032007830 0. 00011789993 7 9 9. 82302579570 0. 00002340247 0. 00000860974 9 1 0. 42763109602 0. 36039854827 0. 33321289915 9 3 1. 14373906680 0. 51796639019 0. 03562582735 0. 01557100468 9 5 0. 06756330821 0. 00135807526 9 7 0. 02959303991 0. 01731231796 0. 00032007830 0. 00011789993 9 9 116. 67208874000 215. 64192761000 0. 00002340247 0. 00000860974 10 1 0. 33321289915 0. 33653560644 10 3 1. 14373906680 0. 51796639019 0. 01557100468 10 5 0. 63474784430 0. 44891954547 0. 00362797927 0. 00135807526 10 7 0. 20225726009 0. 00032007830 0. 00011789993 10 9 0. 16799591213 0. 35807488549 0. 00002340247 0. 00000860974 13 9 2. 27019124730 3. 22407892740 0. 00000208216 13 13 0. 00000000485 0. 00000000187 13 17 0. 29511946594 0. 62903238318 0. 00000000020 0. 00000000008 16 11 0. 02165218885 0. 03370435287 0. 00000007629 0. 00000003166 16 16 0. 00024923150 0. 00048375231 0. 00000000051 0. 00000000021 16 21 0. 03300286513 0. 05765061767 0. 00000000385 0. 00000000513 19 13 0. 36381363022 0. 77545055905 0. 00000000188 19 19 0. 00000000459 0. 00000000169 19 25 1. 20763490720 0. 00000018628 0. 00000025101 22 15 0. 08304117546 0. 00000000863 0. 00000000319 22 22 189. 14463951000 0. 00000010621 0. 00000020835 22 29 61. 62582018300 108. 07586410000 0. 00000482399 25 17 0. 00000005083 0. 00000006537 25 25 0. 65484417000 1. 08103516540 0. 00000266219 25 33 5. 44702057510 10. 14281633600 0. 00060708267 0. 00082893024 Порiвняння точностi iнтерполяцiї двовимiрними многочленами при виборi рiвномiрно розташованих вузлiв i вузлiв, що є коренями многочлена Чебишева.   Рiвномiрний вибiр вузлiв Nx Ny Вiдносна похибка Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 1 0. 27357026415 0. 00156998281 0. 27357026414 1 3 0. 00156978338 0. 27522922658 1 5 0. 00156978338 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 1 7 0. 00156978338 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 1 9 0. 00156978338 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 2 1 0. 00156978338 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 2 3 0. 00016279695 0. 01934678422 0. 00016279695 0. 01934678422 2 5 0. 00016279695 0. 01934678422 0. 00016279695 0. 01934678422 2 7 0. 00016279695 0. 01934678422 0. 00016279695 0. 01934678422 2 9 0. 01934678422 0. 01934678422 3 1 0. 00156978338 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 3 3 0. 00001909961 0. 00212953657 0. 00001768114 0. 00327712069 3 5 0. 00165338068 0. 00001768113 0. 00327712068 3 7 0. 00001554767 0. 00165338068 0. 00001768114 0. 00327712068 3 9 0. 00001554767 0. 00165338068 0. 00327712068 5 1 0. 00156978338 0. 00156978338 0. 27522922658 5 3 0. 00001554767 0. 00165338068 0. 00327712069 5 5 0. 00000013083 0. 00001313434 0. 00000008136 0. 00001508023 5 7 0. 00000009942 0. 00001000142 0. 00000008136 5 9 0. 00000009942 0. 00000008136 0. 00001508023 7 1 0. 27522922659 0. 00156978338 0. 27522922658 7 3 0. 00001554767 0. 00327712069 7 5 0. 00001000142 0. 00000008136 7 7 0. 00000005732 0. 00000000020 7 9 0. 00000000040 0. 00000003789 0. 00000000020 0. 00000003707 9 1 0. 00156978338 0. 00156978338 0. 27522922658 9 3 0. 00001554767 0. 00165338068 0. 00001768114 0. 00327712069 9 5 0. 00000009942 0. 00000008136 9 7 0. 00000003789 0. 00000000020 0. 00000003708 9 9 0. 00000000000 0. 00000000000 0. 00000000005 10 1 0. 00156978338 0. 00156978338 0. 27522922658 10 3 0. 00001554767 0. 00001768114 0. 00327712069 10 5 0. 00001508023 10 7 0. 00000003789 0. 00000003707 10 9 0. 00000000000 0. 00000000060 0. 00000000000 13 9 0. 00000000000 0. 00000000003 0. 00000000000 0. 00000000006 13 13 0. 00000000009 0. 00000000000 0. 00000000001 13 17 0. 00000000000 0. 00000000008 16 11 0. 00000000006 0. 00000000000 0. 00000000001 16 16 0. 00000000000 0. 00000000061 0. 00000000000 16 21 0. 00000000003 0. 00000000320 0. 00000000000 0. 00000000002 19 13 0. 00000000000 0. 00000000070 0. 00000000002 19 19 0. 00000003900 0. 00000000003 19 25 0. 00000000001 22 15 0. 00000000000 22 22 0. 00000000199 0. 00000020550 0. 00000000000 0. 00000000003 22 29 0. 00000007989 0. 00000000000 0. 00000000002 25 17 0. 00000000002 25 25 0. 00000002863 0. 00001087848 0. 00000000000 0. 00000000002 25 33 0. 00000486983 0. 00184920698 0. 00000000000 0. 00000000002   Коренi многочлена Чебишева Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 5 0. 15123015368 0. 05440894226 0. 15123015368 0. 05440894226 1 7 0. 15123015368 0. 15123015368 0. 05440894226 1 9 0. 05440894226 0. 15123015368 0. 05440894226 2 1 0. 01191170125 0. 02966667728 0. 01191170126 2 3 0. 01842127828 0. 00787787140 0. 01842127828 0. 00787787141 2 5 0. 01842127828 0. 00787787140 0. 01842127828 0. 00787787140 2 7 0. 01842127828 0. 00787787140 2 9 0. 01842127828 0. 00787787141 3 1 0. 01696558602 0. 01649820168 3 3 0. 00314410517 0. 00143498785 0. 00304950862 0. 00107565408 3 5 0. 00314410517 0. 00143498785 0. 00304950862 0. 00107565408 3 7 0. 00143498785 0. 00304950862 0. 00107565408 3 9 0. 00314410517 0. 00143498785 0. 00304950861 0. 00107565408 4 1 0. 00743668541 0. 01586623348 0. 00743668540 4 3 0. 00030737102 0. 00054380825 0. 00021410211 4 5 0. 00029857469 0. 00054380825 0. 00021410212 4 7 0. 00063083714 0. 00029857469 0. 00054380826 0. 00021410212 4 9 0. 00063083714 0. 00029857469 0. 00054380825 0. 00021410211 5 1 0. 01586623348 0. 00743668541 0. 00743668541 5 3 0. 00018175143 0. 00008427562 0. 00012388447 0. 00004824548 5 5 0. 00013993197 0. 00006622969 0. 00003912706 5 7 0. 00013993197 0. 00006622969 5 9 0. 00013993197 0. 00006622969 0. 00003912706 6 1 0. 01586623348 0. 01586623348 0. 00743668541 6 3 0. 00008060934 0. 00003882261 0. 00002911883 6 5 0. 00003227421 0. 00001843924 0. 00000692307 6 7 0. 00003212583 0. 00001581595 0. 00001843923 0. 00000692307 6 9 0. 00003212583 0. 00001581595 0. 00000692307 7 1 0. 01586623348 0. 00743668541 0. 01586623348 0. 00743668541 7 3 0. 00005723576 0. 00006212528 0. 00002911883 7 5 0. 00000423265 0. 00000354497 7 7 0. 00000843502 0. 00000138476 7 9 0. 00000843502 0. 00000415267 0. 00000351722 9 1 0. 01586623348 0. 00743668541 9 3 0. 00005443540 0. 00006212528 0. 00002911883 9 5 0. 00000093065 0. 00000045144 0. 00000032388 0. 00000015181 9 7 0. 00000028578 0. 00000014183 9 9 0. 00000058292 0. 00000028698 0. 00000014183 0. 00000005449 10 1 0. 00743668541 0. 01586623348 0. 00743668541 10 3 0. 00005443540 0. 00006212528 10 5 0. 00000050253 0. 00000024376 0. 00000032388 0. 00000015181 10 7 0. 00000015583 0. 00000007615 0. 00000002771 0. 00000001103 10 9 0. 00000015290 0. 00000007527 0. 00000002747 0. 00000001110 13 9 0. 00000000021 0. 00000000009 0. 00000000025 0. 00000000009 13 13 0. 00000000024 0. 00000000011 0. 00000000025 0. 00000000009 13 17 0. 00000000009 0. 00000000026 0. 00000000008 16 11 0. 00000000023 0. 00000000007 16 16 0. 00000000136 0. 00000000038 0. 00000000005 0. 00000000001 16 21 0. 00000000548 0. 00000000259 0. 00000000008 0. 00000000002 19 13 0. 00000000162 0. 00000000068 0. 00000000005 0. 00000000002 19 19 0. 00000000973 0. 00000000268 0. 00000000007 0. 00000000002 19 25 0. 00000012913 0. 00000000003 22 15 0. 00000000714 0. 00000000303 0. 00000000006 0. 00000000002 22 22 0. 00000008404 0. 00000004051 0. 00000000002 22 29 0. 00000592603 0. 00000163026 0. 00000000004 25 17 0. 00000012219 0. 00000005157 0. 00000000002 25 25 0. 00001260234 0. 00000000009 0. 00000000003 25 33 0. 00070208582 0. 00020386772 0. 00000000011 0. 00000000003   Рiвномiрний вибiр вузлiв Коренi многочлена Чебишова Nx Ny Абсолютна похибка Вiдносна похибка 1 1 0. 33306865402 0. 32307090345 0. 33306865402 0. 32307090345 1 3 0. 08586595819 0. 03341176368 1 5 0. 07813510887 0. 02916138270 0. 07813510887 0. 02916138270 1 7 0. 02916138270 1 9 0. 07813510887 0. 02916138270 0. 07813510887 0. 02916138270 2 1 0. 33306865402 0. 32307090345 0. 32307090345 2 3 0. 03469686471 0. 01566500544 0. 04625034373 0. 03296984444 2 5 0. 00605273671 0. 00247749013 0. 00653615260 0. 00269813699 2 7 0. 00184376495 0. 00407962846 2 9 0. 00164553760 3 1 0. 33306865402 0. 32307090345 3 3 0. 03522653667 0. 04506746190 0. 03050704547 3 5 0. 00381852992 0. 00142514184 0. 00319438312 0. 00170517385 3 7 0. 00033984034 0. 00014196774 3 9 0. 00031296004 0. 00038038886 0. 00014196774 4 1 0. 33306865402 0. 32307090345 0. 33306865402 0. 32307090345 4 3 0. 01573719625 0. 03040556625 4 5 0. 00364188541 0. 00173362839 4 7 0. 00033732490 0. 00012409556 0. 00015669395 0. 00008364383 4 9 0. 00003473480 0. 00001278860 0. 00002247721 0. 00000927864 5 1 0. 32307090345 0. 33306865402 0. 32307090345 5 3 0. 03523740221 0. 04491484252 5 5 0. 00364338723 0. 00136924310 0. 00320059324 5 7 0. 00033732490 0. 00012409556 0. 00015669396 5 9 0. 00002314365 0. 00000851412 0. 00000233505 6 1 0. 32307090345 0. 33306865402 0. 32307090344 6 3 0. 03523746668 0. 01573360202 0. 04491420959 6 5 0. 00364316510 0. 00136915961 6 7 0. 00033732490 0. 00012409556 0. 00015669396 0. 00008364383 6 9 0. 00002314365 0. 00000851412 0. 00000233505 7 1 0. 32307090345 0. 33306865402 0. 32307090345 7 3 0. 03523746002 0. 01573359904 0. 04491420183 0. 03040330073 7 5 0. 00364313335 0. 00136914768 0. 00320027314 0. 00173330760 7 7 0. 00033732490 0. 00012409556 0. 00015669396 7 9 0. 00002314365 0. 00000851412 0. 00000534250 9 1 0. 33306865402 0. 32307090345 0. 33306865402 9 3 0. 04491419978 0. 03040329935 9 5 0. 00364313350 0. 00136914774 0. 00320027345 0. 00173330777 9 7 9 9 0. 00000851412 0. 00000534248 0. 00000233504 10 1 0. 33306865402 0. 32307090345 0. 32307090345 10 3 0. 03523746074 0. 03040329934 10 5 0. 00364313350 0. 00136914774 0. 00320027346 0. 00173330777 10 7 0. 00033732490 0. 00012409556 0. 00015669396 0. 00008364383 10 9 0. 00002314365 0. 00000851412 0. 00000534249 0. 00000233505 13 9 0. 00000208216 0. 00000481102 0. 00000264438 13 13 0. 00000000187 0. 00000000491 13 17 0. 00000000008 0. 00000000004 0. 00000000002 16 11 0. 00000007629 0. 00000003166 0. 00000017732 16 16 0. 00000000051 0. 00000000021 0. 00000000003 16 21 0. 00000000513 0. 00000000004 0. 00000000001 19 13 0. 00000000487 0. 00000000188 0. 00000000776 0. 00000000491 19 19 0. 00000000004 0. 00000000002 19 25 0. 00000018628 0. 00000025101 0. 00000000006 0. 00000000002 22 15 0. 00000000863 0. 00000000319 0. 00000000030 0. 00000000018 22 22 0. 00000010621 0. 00000020835 0. 00000000007 0. 00000000003 22 29 0. 00001172893 0. 00000000005 0. 00000000002 25 17 0. 00000005083 0. 00000006537 0. 00000000005 0. 00000000002 25 25 0. 00000642809 0. 00000266219 25 33 0. 00060708267 0. 00082893024 0. 00000000008 0. 00000000004 1. Пагiря М. М. Інтерполяцiя функцiй ланцюговим дробом та гiллястим ланцюговим дробом спецiального виду. // Наук. вiсник Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1994. Вип. 1. – с. 72–79. 2. Пагiря М. М. Інтерполювання функцiй ланцюговим дробом та його узагальненнями у випадку функцiй багатьох змiнних. // Наук. вiсник Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1998. Вип. 3. – с. 155–164. 3. Пагiря М. М. Про побудову двовимiрного та трьохвимiрного iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв. // Наук. вiсник Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1999. Вип. 4. – с. 85–89. 4. Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа. – М.: Гостехиздат, 1953. – с. 527 5. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука, 1983.–312 с. 6. Бахвалов Н. С. Численные методы. – М.: Наука, 1975. – 600 с. 7. Таранов П. С. Введение в програмирование. – Харьков, Сталкер, 1996. 8. Інтерполювання функцiй однiєї змiнної: Методична розробка. – Ужгород, УжДУ, 1998. – 35с. 9. Гаврилюк І. П., Макаров В. Л. Методи обчислень. У 2 ч. – К.: Вища школа, 1995. – Ч. 1. – 367 с. 10. Григоренко Я. М., Панкратова Н. Д. Обчислювальнi методи в задачах прикладної математики. – К.: Либiдь, 1995. – 280 с. тексти програм. ланцюговий дрiб з подальшою перевiркою на точнiсть наближення. Промiжки iнтерполювання i кiлькiсть точок розбиття промiжку по х i по у а також кiлькiсть контрольних точок розбиття по кожнiй змiннiй (для оцiнки похибки) задаються в програмi. На виходi програма генерує текстовий файл з максимальними абсолютними i вiдносними похибками наближення. Функцiя двох дiйсних змiнних, яку потрiбно iнтерполювати, задається безпосередньо в текстах програм в функцiї Func(). Константи MaxXiMaxY визначають максимальну кiлькiсть точок розбиття по вiдповiдних змiнних. Текст програми : {$A+,B+,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q+,R+,S+,T-,V+,X+} {$M 65520,0,655360} Const MaxX=50; Type MyArr=Array[0.. MaxX,0.. MaxY] Of Real; Var Nx,Ny,Cx,Cy:Integer; X:Array[0.. MaxX] Of Real; B:MyArr; Xa,Xb,Ya,Yb:Real; D1,D2:^MyArr; Function Func(x,y:Real):Real; Begin Func:=1/(x*x+y*y+x*y); End; Procedure DataInput; Var i,j:Integer; Begin { Write('Input Xa : '); ReadLn(Xa); Write('Input Xb : '); ReadLn(Xb); Write('Input Ya : '); ReadLn(Ya); Write('Input Yb : '); ReadLn(Yb);} Xa:=1; Xb:=2; Ya:=1; Yb:=2; { Write('Input Nx : '); ReadLn(Nx); Write('Input Ny : '); ReadLn(Ny);} nx:=cc; ny:=cc1*2-1; For i:=0 To Ny Do Y[i]:=(Ya+Yb)/2+(Yb-Ya)*Cos(Pi*i/Ny)/2;} For i:=0 To Nx Do X[i]:=Xa+(Xb-Xa)*i/Nx; For i:=0 To Ny Do Y[i]:=Ya+(Yb-Ya)*i/Ny; End; Procedure BuildCoefTable; Function Xij(i,j:Integer):Real; Begin If i>j Then Xij:=X[i]-X[j] Else Xij:=1; End; Function Yij(i,j:Integer):Real; Begin If i>j Then Yij:=Y[i]-Y[j] Else Yij:=1; End; Begin >t Then Teta:=-1 Else Teta:=0; End; Function Delta(k,i,j:Integer):Real; Begin Delta:=Xij(i,k)*Yij(j,k)/ ( D1^[i,j]+ Teta(k,j)*D1^[i,k]+ Teta(k,i)*Teta(k,j)*D1^[k,k] ); End; Begin For i:=0 To Nx Do For j:=0 To Ny Do Begin D1^[i,j]:=Func(X[i],Y[j]); End; k:=0; D2^:=D1^; If Nx>Ny Then Mx:=Nx Else Mx:=Ny; While k<Mx+1 Do Begin For i:=0 To Nx Do For j:=0 To Ny Do Begin If i>j Then s:=i Else s:=j; End; Begin D2^[i,j]:=Delta(k,i,j); End; D1^:=D2^; k:=k+1; End; End; Function GetH(m,k:Integer):Real; Begin If m=n+1 Then GetH:=0 Else Begin GetH:=(xx-X[m-1])/(B[m,k]+GetH(m+1,k)); End; End; Begin If m=n+1 Then GetL:=0 Else GetL:=(yy-Y[m-1])/(B[k,m]+GetL(m+1,k)); End; Function GetG(k:Integer):Real; Begin If k=n+1 Then GetG:=0 Else GetG:=(xx-X[k-1])*(yy-Y[k-1])/ End; Begin <Ny Then n:=Nx Else n:=Ny; Drib:=B[0,0]+GetH(1,0)+GetL(1,0)+GetG(1); End; Function Polinom(xx,yy:Real):Real; Begin s:=0; For i:=0 To Nx Do For j:=0 To Ny Do Begin p:=1; q:=1; For k:=0 To Nx Do If k<>i Then p:=p*(xx-X[k])/(X[i]-X[k]); For k:=0 To Ny Do If k<>j Then q:=q*(yy-Y[k])/(Y[j]-Y[k]); s1:=p*q*Func(X[i],Y[j]); s:=s+s1; End; Polinom:=s; End; Procedure GetMaxError; Var i,j:Integer; dx,dy,MaxErr1,p1,p2,p3,VidnErr1,MaxErr2,VidnErr2:Real; F:Text; Begin MaxErr1:=0; VidnErr1:=0; MaxErr2:=0; VidnErr2:=0; dx:=(Xb-Xa)/Cx; dy:=(Yb-Ya)/Cy; For j:=0 To Cy Do Begin p1:=Func(Xa+i*dx,Ya+j*dy); p2:=Drib(Xa+i*dx,Ya+j*dy); p3:=Polinom(Xa+i*dx,Ya+j*dy); >MaxErr1 Then Begin MaxErr1:=Abs(p1-p3); VidnErr1:=Abs((p1-p3)/p1); end; If Abs(p1-p2)>MaxErr2 Then Begin MaxErr2:=Abs(p1-p2); VidnErr2:=Abs((p1-p2)/p1); End; End; Assign(f,'mix.txt'); Append(f); WriteLn(f,nx:4,ny:4,MaxErr2:19:12,VidnErr2:19:12,MaxErr1:19:12,VidnErr1:19:12); Close(f); End; Begin For cc:=1 To 10 Do For cc1:=1 To 5 Do Begin WriteLn('Nx=',nx,' Ny=',ny); End; <ENTER>'); ReadLn; End.