Законы сохранения в механике
Законы сохранения в механике
ЗМІСТ
ВСТУП 2
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ. 3
1. 1. Потенцiальна енергiя системи. 3
1. 2. Кiнетична енергiя системи. 6
1. 3. Класифiкацiя сил. 7
1. 4. Закон збереження енергiї. 8
II. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ. 12
2. 3. Закон збереження iмпульсу. 14
III. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ 18
3. 1. Момент iмпульсу частинки. 18
3. 2. Рiвняння моментiв. 19
3. 3. Момент iмпульсу i момент сили вiдносно осi. 21
3. 4. Закон збереження моменту iмпульсу. 23
ВИСНОВОК 29
ВСТУП
як вияснилось, що вони далеко виходять за рамки механiки i представляють собою унiверсальнi закони природи. До цих пiр не було виявлено жодного явища, де б порушувались цi закони. Вони безпомилково “дiють” i в областi елементарних частинок, i в областi космiчних об’єктiв, у фiзицi атома i фiзицi твердого тiла та являються одними з тих небагатьох загальних законiв, якi лежать в основi сучасної фiзики.
збереження як iнструмента дослiдження обумовлена рядом причин. Закони збереження не залежать нi вiд траєкторiй частинок, нi вiд характеру дiючих сил. Тому вони дозволяють отримати ряд досить загальних i важливих висновкiв про властивостi рiзних механiчних процесiв, не занурюючись в їх детальний розгляд за допомогою рiвнянь руху. Якщо, наприклад, виявляється, що якийсь процес суперечить законам збереження, то одразу можна стверджувати: цей процес неможливий i безглуздо намагатися його здiйснити. Той факт, що закони збереження не залежать вiд характеру дiючих сил, дозволяє використовувати їх навiть тодi, коли сили взагалi невiдомi. В цих випадках закони збереження є єдиним i незамiнним iнструментом дослiдження. Так, наприклад, вiдбувається у фiзицi елементарних частинок. Навiть в тих випадках, коли сили вiдомi, закони збереження допомагають розв’язувати багато задач про рух частинок. Всi цi задачi можуть бути розв’язанi за допомогою рiвнянь руху, але застосування законiв збереження дуже часто дозволяє отримувати розв’язок бiльш простим шляхом.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ.
Розглянемо замкнуту систему, мiж частинками якої дiють тiльки центральнi сили, тобто сили, якi залежать лише вiд вiдстанi мiж частинками i напрямленi по прямiй, що їх з’єднує.
Покажемо, що в довiльнiй системi вiдлiку робота всiх цих сил при переходi системи частинок iз одного стану в iнший може бути представлена як спадання деякої функцiї, що залежить тiльки вiд конфiгурацiї самої системи або вiд вiдносного розташування її частинок. Цю функцiю назвемо власною потенцiальною енергiєю системи (на вiдмiну вiд потенцiальної енергiї, яка характеризується взаємодiєю даної системи з iншими тiлами).
Спочатку вiзьмемо систему з двох частинок. Обчислимо елементарну роботу сил, з якими цi частинки взаємодiють мiж собою. Нехай в довiльнiй системi вiдлiку в деякий момент часу розташування частинок визначається радiус векторами [pic] i [pic]. Якщо за час [pic] частинки здiйснили перемiщення [pic] i [pic], то робота сил взаємодiї [pic] i [pic] буде дорiвнювати:
[pic].
Тепер враховуємо, що згiдно третього закону Ньютона [pic], тому попереднiй вираз можна записати у виглядi:
[pic].
Введемо вектор [pic], який характеризує положення 1-ї частинки вiдносно 2-ї. Тодi [pic] i пiсля пiдстановки в вираз для роботи отримаємо:
Сила [pic] – центральна, тому робота цiєї сили дорiвнює спаданню потенцiальної енергiї взаємодiї даної пари частинок, тобто:
[pic].
Оскiльки функцiя [pic] залежить лише вiд вiдстанi [pic] мiж частинками, то зрозумiло, що робота [pic] не залежить вiд вибору системи вiдлiку.
Тепер звернемось до системи з трьох частинок. Елементарна робота, яку здiйснюють всi сили взаємодiї при елементарному перемiщеннi всiх частинок, може бути представлена як сума елементарних робiт всiх трьох пар взаємодiй, тобто [pic]. Але для кожної пари взаємодiй, як було показано, [pic], тому:
[pic], де функцiя [pic] є власною потенцiальною енергiєю даної системи частинок:
i той же момент), або, iншими словами, вiд конфiгурацiї системи.
[pic], i робота всiх внутрiшнiх центральних сил при змiнi цiєї конфiгурацiї дорiвнює спаду власної потенцiальної енергiї системи, тобто:
[pic], а при скiнченному перемiщеннi всiх частинок системи
[pic], де [pic] i [pic] – значення потенцiальної енергiї системи в початковому i кiнцевому станах.
Власна потенцiальна енергiя системи [pic] – величина неадитивна, тобто вона не дорiвнює в загальному випадку сумi власних потенцiальних енергiй її частин. Необхiдно врахувати ще й потенцiальну енергiю взаємодiї [pic] окремих частин системи:
[pic], де [pic] – власна потенцiальна енергiя [pic]-ї частинки системи.
Слiд також мати на увазi, що власна потенцiальна енергiя системи, як i потенцiальна енергiя взаємодiї кожної пари частинок, визначає з точнiстю до додавання довiльної сталої, яка тут є зовсiм несуттєвою.
Запишемо формули для розрахунку власної потенцiальної енергiї системи. Перш за все покажемо, що ця енергiя може бути представлена як:
[pic], (1) де [pic] – потенцiальна енергiя взаємодiї [pic]-ї частинки з усiма iншими частинками системи. Тут сума береться по всiм частинам системи.
Переконаємося у справедливостi цiєї формули спочатку для системи з трьох частинок. Вище було показано, що власна потенцiальна енергiя даної системи [pic]. Перетворимо цю суму наступним чином. Представимо кожний доданок [pic] в симетричному видi:
[pic], або зрозумiло, що [pic]. Тодi:
Згрупуємо члени з однаковим першим iндексом:
[pic].
Кожна сума в круглих дужках представляє собою потенцiальну енергiю [pic] взаємодiї [pic]-ї частинки з iншими двома. Тому останнiй вираз можна переписати так:
[pic], що повнiстю вiдповiдає формулi (1).
Узагальнення отриманого результату на довiльну систему очевидне, оскiльки зрозумiло, що подiбнi мiркування зовсiм не залежать вiд числа частинок, якi складають систему.
Для системи, взаємодiя мiж частинками якої носить гравiтацiйний або кулонiвський характер, формулу (1) можна перетворити i надати їй iншого вигляду, скориставшись поняттям потенцiалу. Замiнимо в (1) потенцiальну енергiю [pic]-ї частинки виразом [pic], де [pic] – маса (заряд) [pic]-тої частинки, а [pic] – потенцiал, що утворюють всi iншi частинки системи в точцi знаходження [pic]-тої частинки. Тодi:
[pic].
Якщо розподiлення маси (заряду) в системi неперервне, то додавання зводиться до iнтегрування:
[pic], де [pic] – об’ємна густина маси (заряду), [pic] – елемент об’єму.
Тут iнтегрування проводиться по всьому об’єму, що займають маси (заряди).
Кiнетична енергiя системи.
Розглянемо в деякiй системi вiдлiку довiльну систему частинок. Нехай [pic]-та частинка системи має в даний момент кiнетичну енергiю [pic]. Прирiст кiнетичної енергiї кожної частинки дорiвнює роботi всiх сил, що дiють на цю частинку: [pic]. Знайдемо елементарну роботу, яку здiйснюють всi сили, що дiють на всi частинки системи:
вони мiж собою чи нi.
[pic], (2) а при кiнцевому перемiщеннi:
[pic]. (3)
Рiвняння (2) можна представити i в iншiй формi подiливши обидвi частинки його на вiдповiдний промiжок часу [pic]. Маючи при цьому на увазi, що [pic], отримаємо:
[pic], (4) тобто похiдна кiнетичної енергiї системи по часу дорiвнює сумарнiй потужностi всiх сил, якi дiють на всi частинки системи.
Рiвняння (2)-(4) справедливi як в iнерцiальних, так i в неiнерцiальних системах вiдлiку. Слiд тiльки розумiти, що в неiнерцiальних системах крiм роботи сил взаємодiї необхiдно враховувати i роботу сил iнерцiї.
Класифiкацiя сил.
Вiдомо, що частинки системи, яка розглядається, можуть взаємодiяти як мiж собою, так i з тiлами, що не входять в дану систему. У зв’язку з цим данi сили взаємодiї мiж частинками системи називають внутрiшнiми, а сили, якi зумовленi дiєю iнших тiл, що не входять в дану систему – зовнiшнiми. В неiнерцiйнiй системi вiдлiку до останнiх вiдносять i сили iнерцiї.
Крiм того, всi сили подiляють на потенцiальнi i непотенцiальнi. Потенцiальними називають сили, якi залежать при даному характерi взаємодiї лише вiд конфiгурацiї механiчної системи. Робота цих сил, як було показано, дорiвнює спаду потенцiальної енергiї системи.
До непотенцiальних сил вiдносять так званi дисипативнi сили – це сили тертя i опору. Важливою особливiстю даних сил є те, що сумарна робота внутрiшнiх дисипативних сил системи, яка розглядається, вiд’ємна, причому в будь-якiй системi вiдлiку. Доведемо це.
Довiльна дисипативна сила може бути представлена у виглядi:
[pic], де [pic] – швидкiсть даного тiла вiдносно iншого тiла (або середовища), з яким воно взаємодiє; [pic] – додатнiй коефiцiєнт, який залежить в загальному випадку вiд швидкостi [pic]. Сила [pic] завжди напрямлена протилежно до вектора [pic]. У залежностi вiд вибору системи вiдлiку робота цiєї сили може бути як додатною, так i вiд’ємною. Сумарна ж робота всiх внутрiшнiх дисипативних сил – величина завжди вiд’ємна.
Переходячи до доведення цього, вiдмiтимо перш за все, що внутрiшнi дисипативнi сили в данiй системi будуть зустрiчатися попарно, причому в кожнiй парi, вiдповiдно до третього закону Ньютона, вони однаковi по модулю i протилежнi за напрямом. Знайдемо елементарну роботу довiльної пари дисипативних сил взаємодiї мiж тiлами 1 i 2 в системi вiдлiку, де швидкостi цих тiл в даний момент дорiвнюють [pic] i [pic]:
[pic].
Тепер враховуємо, що [pic], [pic] – швидкiсть тiла 1 вiдносно тiла 2, а також те, що [pic]. Тодi вираз для роботи перетвориться так:
[pic].
Закон збереження енергiї.
Вище було показано, що прирiст кiнетичної енергiї системи дорiвнює роботi, яку здiйснюють всi сили, що дiють на всi частинки системи. Подiливши цi сили на зовнiшнi та внутрiшнi, а внутрiшнi – на потенцiальнi i дисипативнi, запишемо попереднє твердження так:
[pic].
Тепер врахуємо, що робота внутрiшнiх потенцiальних сил дорiвнює спаду власної потенцiальної енергiї системи, тобто [pic]. Тодi попереднiй вираз приймає вигляд:
[pic]. (6) очевидно, енергiя [pic] залежить вiд швидкостi частинок системи, характеру взаємодiї мiж ними та конфiгурацiї системи. Крiм того, енергiя [pic], як i потенцiальна енергiя [pic], визначається з точнiстю до приросту несуттєвої довiльної сталої i є величиною неадитивною, тобто енергiя [pic] системи не дорiвнює в загальному випадку сумi енергiй її окремих частин. Тодi:
[pic]. (7)
Цей вираз справедливий при нескiнченно малiй змiнi конфiгурацiї системи. При скiнченнiй змiнi матимемо:
[pic], (8) тобто прирiст механiчної енергiї системи дорiвнює алгебраїчнiй сумi робiт всiх зовнiшнiх сил i всiх внутрiшнiх дисипативних сил.
Рiвняння (7) можна представити i в iншiй формi, подiливши обидвi частини на вiдповiдний промiжок часу [pic]. Тодi:
[pic], (9) тобто похiдна механiчної енергiї системи по часу дорiвнює алгебраїчнiй сумi потужностей всiх зовнiшнiх сил i всiх внутрiшнiх дисипативних сил.
якi вiдiграють роль зовнiшнiх сил, тобто пiд [pic] слiд розумiти алгебраїчну суму робiт зовнiшнiх сил взаємодiї [pic] i роботу сил iнерцiї [pic]. Щоб пiдкреслити цю обстановку, перепишемо рiвняння (8) у виглядi:
[pic]. (10)
Отже, ми прийшли до важливого висновку: механiчна енергiя системи може змiнюватися пiд дiєю як зовнiшнiх сил, так i внутрiшнiх дисипативних сил (тобто пiд дiєю алгебраїчної суми робiт всiх цих сил). Звiдси, безпосередньо, випливає i другий важливий висновок – закон збереження механiчної енергiї: в iнерцiальнiй системi вiдлiку механiчна енергiя замкнутої системи частинок, в якiй немає дисипативних сил, зберiгається в процесi руху, тобто:
[pic]. (11)
Таку систему називають консервативною. Зауважимо, що при русi замкнутої консервативної системи зберiгається саме повна механiчна енергiя, а кiнетична i потенцiальна в загальному випадку змiнюються. Однак цi змiни вiдбуваються завжди так, що прирiст однiєї з них дорiвнює спаду iншої, тобто [pic]. Зрозумiло, що це положення справедливе в iнерцiальних системах вiдлiку.
Далi, з рiвняння (8) випливає, що якщо замкнута система неконсервативна, тобто в нiй присутнi дисипативнi сили, то механiчна енергiя такої системи спадає:
[pic]. (12)
Можна сказати: зменшення механiчної енергiї зумовлене тим, що вона витрачається на роботу проти дисипативних сил, якi дiють в системi. Однак таке пояснення є формальним, оскiльки воно не розкриває фiзичної природи дисипативних сил.
Бiльш глибоке осмислення цього питання привело до фундаментального висновку про iснування в природi унiверсального закону збереження енергiї: енергiя нiколи не виникає i не зникає, вона може лише переходити з однiєї форми в iншу, або обмiнюватися мiж окремими частинами матерiї.
При цьому поняття енергiї довелось розширити введенням нових форм її – енергiя електромагнiтного поля, хiмiчна енергiя, ядерна енергiя та iн.
Унiверсальний закон збереження енергiї охоплює, таким чином, i тi фiзичнi явища, на якi закони Ньютона не поширюються, Тому вiн не може бути виведеним iз цих законiв, а повинен розглядатися як самостiйний закон, який представляє собою одне iз найбiльш широких узагальнень дослiдних фактiв.
Повертаючись до рiвняння (12), можна сказати: при зменшеннi механiчної енергiї замкнутої системи завжди виникає еквiвалентна кiлькiсть енергiї iнших видiв, якi не пов’язанi з видимим рухом, в цьому розумiннi рiвняння (7)-(9) можна розглядати як бiльш загальне формування закону збереження енергiї, в якому вказана причина змiни механiчної енергiї в незамкнутiй системi.
сил компенсується надходженням енергiї за рахунок роботи зовнiшнiх сил.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.
8 Імпульс частинки.
Досвiд i вiдповiдний аналiз механiчних уявлень показують, що для характеристики механiчного руху тiл крiм кiнетичної енергiї [pic] необхiдно ввести ще одну величину – iмпульс [pic]. Цi двi величини є основними вимiрами механiчного руху тiл: перша – скалярна, друга – векторна. Обидвi вони вiдiграють центральну роль при побудовi механiки.
Перейдемо до бiльш детального вивчення iмпульсу. Перш за все запишемо основне рiвняння динамiки Ньютона через iмпульс:
[pic], (13) тобто похiдна iмпульсу матерiальної точки по часу дорiвнює дiючiй на неї силi. В частинному випадку, коли [pic], то [pic].
Зауважимо, що в неiнерцiальнiй системi вiдлiку сила [pic] включає в себе не тiльки сили взаємодiї даної частинки з iншими тiлами, але i сили iнерцiї.
часу [pic] є [pic]. Проiнтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо прирiст iмпульсу частинки за скiнченний промiжок часу [pic]:
[pic].
Якщо сила [pic], то вектор [pic] можна винести з-пiд iнтеграла i тодi [pic]. Величину, яка стоїть в правiй частинi цього рiвняння, називають iмпульсом сили. Таким чином, прирiст iмпульсу частинки за довiльний промiжок часу дорiвнює iмпульсу сили за той же час.
Імпульс системи.
[pic], (14) де [pic] – iмпульс [pic]-тої частинки. Зазначимо, що iмпульс системи – величина адитивна, тобто iмпульс системи дорiвнює сумi iмпульсiв її окремих частин незалежно вiд того, взаємодiють вони мiж собою чи нi.
Знайдемо фiзичну величину, яка визначає змiну iмпульсу системи. Для цього продиференцiюємо рiвняння (14) по часу:
[pic], але [pic], де [pic] – сила, що дiє на матерiальну точку. Тодi:
[pic], де [pic] - сили, що дiють на [pic]-ту частинку збоку iнших частинок системи (внутрiшнi сили); [pic] – сила, що дiє на цю ж частинку збоку iнших тiл, якi не входять в розглядувану систему (зовнiшнi сили). Пiдставивши останнiй вираз в попереднiй, отримаємо:
[pic].
в кожнiй парi взаємодiї дорiвнює нулю, а тому дорiвнює нулю i векторна сума всiх внутрiшнiх сил. В результатi рiвняння прийме вигляд:
[pic], (15) де [pic] – результуюча всiх зовнiшнiх сил, [pic].
Рiвняння (15) означає: похiдна iмпульсу системи по часу дорiвнює векторнiй сумi всiх зовнiшнiх сил, що дiють на частинки системи.
Із рiвняння (15) випливає, що прирiст iмпульсу системи за скiнчений промiжок часу [pic] буде:
[pic], (16) тобто прирiст iмпульсу системи дорiвнює iмпульсу результуючої всiх зовнiшнiх сил за вiдповiдний промiжок часу. І тут [pic] – результуюча всiх зовнiшнiх сил.
Рiвняння (15) i (16) справедливi як в iнерцiальнiй, так i в неiнерцiальнiй системi вiдлiку. Слiд тiльки мати на увазi, що в неiнерцiальнiй системi вiдлiку необхiдно враховувати i дiю сил iнерцiї, що вiдiграють роль зовнiшнiх сил.
Розглянемо систему, яка складається з [pic] частинок (матерiальних точок). Позначимо через [pic] силу, з якою [pic]-та частинка дiє на [pic]- ту (перший iндекс вказує на номер частинки, на яку дiє сила, другий iндекс – номер частинки, взаємодiєю якої обумовлена ця сила). Символом [pic] позначимо результуючу всiх зовнiшнiх сил, що дiють на [pic]-ту частинку. Напишемо рiвняння руху всiх [pic] частинок:
[pic],
...
[pic] [pic],
...
([pic] – iмпульс [pic]-тої частинки).
Додамо всi цi рiвняння. Злiва отримаємо похiдну по часу вiд сумарного iмпульсу системи:
[pic].
Справа вiдмiнною вiд нуля буде лише сума зовнiшнiх сил [pic]. Дiйсно, суму зовнiшнiх сил можна представити у виглядi:
[pic].
Згiдно з третiм законом Ньютона кожна iз дужок буде дорiвнювати нулю. Вiдповiдно, сума внутрiшнiх сил, що дiють на тiла системи, завжди дорiвнює нулю:
[pic].
Тодi отримаємо:
Таким чином, похiдна по часу вiд сумарного iмпульсу системи дорiвнює сумi зовнiшнiх сил, якi дiють на тiла системи.
Якщо система замкнута, зовнiшнi сили вiдсутнi i права частина останнього рiвняння дорiвнює нулю. Тому вiдповiдно [pic], а звiдси випливає, що [pic].
При цьому iмпульси окремих частинок замкнутої системи можуть змiнюватися. Однак цi змiни завжди вiдбуваються так, що прирiст iмпульсу однiєї частини системи дорiвнює спаданню iмпульсу частини системи, що залишилась. Іншими словами, окремi частини замкнутої системи можуть лише обмiнюватися iмпульсами. Спостерiгаючи в деякiй системi прирiст iмпульсу, ми можемо стверджувати, що цей прирiст вiдбувся за рахунок спаду iмпульсу в оточуючих тiлах.
В цьому розумiннi рiвняння (15) i (16) слiд розглядати як бiльш загальне формулювання закону збереження iмпульсу, в якому вказана причина змiни iмпульсу в незамкнутiй системi – дiя iнших тiл (зовнiшнiх сил). Вище сказане, зрозумiло, справедливе по вiдношенню до iнерцiальних систем вiдлiку.
Імпульс може зберiгатися i в незамкненiй системi при умовi, що результуюча всiх зовнiшнiх сил дорiвнює нулю. Це безпосередньо витiкає з рiвнянь (15) i (16). У практичному вiдношеннi збереження iмпульсу в цих випадках являє особливий iнтерес, тому що дає можливiсть отримувати досить простим шляхом ряд свiдчень про поведiнку системи, не заглиблюючись в детальний розгляд процесу.
У незамкнутiй систему може зберiгатися не сам iмпульс, а його проекцiя [pic] на деякий напрям [pic]. Це буває тодi, коли проекцiя результуючої зовнiшньої сили [pic] на напрямок [pic] дорiвнює нулю, тобто вектор [pic] перпендикулярний йому. Дiйсно, спроектувавши рiвняння (15), отримаємо:
[pic], звiдки випливає, що якщо [pic], то [pic].
розташування i швидкостей частинок не змiнює механiчних властивостей системи. Поведiнка системи на новому мiсцi буде такою ж, якою вона була на минулому мiсцi.
Роздуми, якi привели нас до закону збереження iмпульсу, цiлком спиралися на справедливiсть законiв Ньютона. Вважалося, що матерiальнi точки замкнутої системи взаємодiють мiж собою попарно i ця взаємодiя пiдкоряється третьому закону Ньютона.
А що вiдбувається у випадку систем, якi не пiдкоряються законам Ньютона, наприклад в системах з електромагнiтним випромiнюванням?
Вiдповiдь на це запитання дає досвiд, який показує, що закон збереження iмпульсу виявляється справедливим i для таких систем. Однак в цих випадках в загальному балансi iмпульсу необхiдно враховувати не лише iмпульси частинок, але й iмпульс, яким володiє саме поле випромiнювання.
Таким чином, досвiд показує, що закон збереження iмпульсу являє собою фундаментальний закон природи, який не знає жодних виняткiв. Але в такому широкому розумiннi вiн вже не є наслiдком законiв Ньютона, а повинен розглядатися як самостiйний загальний принцип, що є узагальненням фактiв.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ
[pic] Рис. 1 Рис. 2
Вiзьмемо спочатку одну частинку. Нехай [pic][pic] – радiус-вектор, який характеризує її положення вiдносно деякої точки [pic] вибраної системи вiдлiку, а [pic] – її iмпульс в цiй системi (рис. 1). Момент iмпульсу [pic] матерiальної точки вiдносно деякої точки [pic] називається векторний добуток радiус-вектора [pic] на її iмпульс [pic]:
[pic]. (17)
Модуль цiєї величини, що дорiвнює [pic], можна представити у виглядi добутку плеча [pic] iмпульсу на модуль вектора [pic]:
[pic].
Частинка володiє моментом iмпульсу незалежно вiд форми траєкторiї, по якiй вона рухається. Розглянемо два випадки. [pic] Рис. 3
Частинка рухається вздовж прямолiнiйної траєкторiї (рис. 3). Модуль моменту iмпульсу [pic] може змiнюватися тiльки за рахунок змiни модуля швидкостi. [pic] Рис. 4
Не дивлячись на неперервну змiну напряму вектора [pic], напрям вектора [pic] залишається постiйним.
Рiвняння моментiв.
З’ясуємо яка механiчна величина вiдповiдає за змiну вектора [pic] в данiй системi вiдлiку. Для цього продиференцiюємо рiвняння (17) по часу:
[pic].
Оскiльки точка [pic] є нерухомою, то вектор [pic] дорiвнює швидкостi [pic] частинки, тобто спiвпадає за напрямком з вектором [pic], тому:
[pic].
Далi, згiдно з другим законом Ньютона, [pic], де [pic] – рiвнодiйна всiх сил, якi прикладенi до частинки. Вiдповiдно:
[pic].
Величину, що стоїть в правiй частинi цього рiвняння, називають моментом сили [pic] вiдносно точки [pic] (рис. 2). Позначивши його буквою [pic], запишемо:
Модуль цього вектора дорiвнює:
[pic], де [pic] – довжина перпендикулярна, опущеного з точки [pic] на пряму, вздовж якої напрямлений iмпульс частинки. Ця вiдстань називається плечем вектора [pic] вiдносно точки [pic].
Отже, похiдна по часу вiд моменту iмпульсу [pic] частинки вiдносно деякої точки [pic] вибраної системи вiдлiку дорiвнює моменту [pic] рiвнодiйної сили [pic] вiдносно тiєї ж точки [pic]:
Це рiвняння називається рiвнянням моментiв. Зауважимо, що якщо система вiдлiку є неiнерцiальною, то момент сили [pic] включає в себе як момент сил взаємодiї, так i момент сил iнерцiї (вiдносно тiєї ж точки [pic]).
Із рiвняння моментiв (18) слiдує, що якщо [pic], то [pic]. Іншими словами, якщо вiдносно деякої точки [pic] вибраної системи вiдлiку момент усiх сил, що дiють на частинку, дорiвнює нулю протягом певного промiжку часу, який нас цiкавить, то вiдносно цiєї точки момент iмпульсу частинки залишається постiйним протягом цього часу. Рiвняння моментiв (18) дозволяє отримати вiдповiдь на два питання: знайти момент сили [pic] вiдносно довiльної точки [pic] в будь-який промiжок часу [pic], якщо вiдома залежнiсть вiд часу моменту iмпульсу [pic] частинки вiдносно тiєї ж точки; визначити прирiст моменту iмпульсу частинки вiдносно точки [pic] за довiльний промiжок часу, якщо вiдома залежнiсть вiд часу моменту сили [pic], що дiє на цю частинку (вiдносно тiєї ж точки [pic]).
Вирiшення першого питання зводиться до знаходження похiдної по часу вiд моменту iмпульсу, тобто [pic], яка i дорiвнює шуканому моменту сили [pic].
Вирiшення другого питання зводиться до iнтегрування рiвняння (18). Помноживши обидвi частини цього рiвняння на [pic], отримаємо [pic] – вираз, який визначає елементарний прирiст вектора [pic]. Проiнтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо прирiст вектора [pic] за скiнчений промiжок часу [pic]:
[pic].
Величину, яка стоїть в правiй частинi цього рiвняння, називають iмпульсом моменту сили. Таким чином, прирiст моменту iмпульсу частинки за довiльний промiжок часу дорiвнює iмпульсу моменту сили за той же час.
Момент iмпульсу i момент сили вiдносно осi.
Вiзьмемо в деякiй системi вiдлiку довiльну нерухому вiсь [pic]. Нехай вiдносно деякої точки [pic] на осi [pic] момент iмпульсу частинки [pic] дорiвнює [pic], а момент сили, що дiє на частинку, [pic].
Моментом iмпульсу вiдносно осi [pic] називають проекцiю на цю вiсь вектора [pic], визначеного вiдносно довiльної точки [pic] даної осi (рис. 5). [pic] Рис. 5
З’ясуємо властивостi цих величин. Спроектувавши (18) на вiсь [pic], отримаємо:
[pic] дорiвнює нулю, то момент iмпульсу частинки вiдносно цiєї осi залишається постiйним. При цьому сам вектор [pic] може i змiнюватися.
Скористуємось цилiндричною системою координат [pic], [pic], [pic], пов’язавши з частинкою [pic] (рис. 6) орти [pic], [pic], [pic], якi напрямленi в бiк зростання вiдповiдних координат. [pic] Рис. 6
В цiй системi координат радiус-вектор [pic] та iмпульс [pic] частинки записують так:
[pic], [pic], де [pic], [pic], [pic] – проекцiї вектора [pic] на вiдповiднi орти. З векторної алгебри вiдомо, що векторний добуток [pic] можна представити визначником:
[pic], де [pic] – проекцiя кутової швидкостi [pic], з якою обертається радiус- вектор частинки.
Запишемо момент сили вiдносно осi [pic]:
[pic], де [pic] – проекцiя вектора сили [pic] на орт [pic].
Звернемо увагу, що проекцiя [pic] i [pic] дiйсно не залежать вiд вибору точки [pic] на осi [pic], вiдносно якої визначенi вектори [pic] i [pic]. Крiм того, [pic] i [pic] – величини алгебраїчнi, їх знаки вiдповiдають знакам проекцiї [pic] i [pic].
Закон збереження моменту iмпульсу.
[pic], (19) де всi вектори визначенi вiдносно однiєї i тiєї ж точки [pic] заданої системи вiдлiку. Зауважимо, що момент iмпульсу системи – величина адитивна: момент iмпульсу системи дорiвнює сумi моментiв iмпульсiв її окремих частин незалежно вiд того, взаємодiють вони мiж собою, чи нi.
З’ясуємо, яка величина визнає змiну моменту iмпульсу системи. Для цього продиференцiюємо (19) по часу:
[pic].
А похiдна [pic] дорiвнює моменту всiх сил, що дiють на [pic]-ту частинку. Представимо цей момент у виглядi суми моментiв внутрiшнiх i зовнiшнiх сил, тобто [pic]. Тодi:
[pic].
Тут перша сума – це сумарний момент всiх внутрiшнiх сил вiдносно точки [pic], друга сума – сумарний момент всiх зовнiшнiх сил вiдносно тiєї ж точки [pic].
Покажемо, що сумарний момент всiх внутрiшнiх сил вiдносно довiльної точки дорiвнює нулю. Дiйсно, внутрiшнi сили – це сили взаємодiї мiж частинками даної системи. За третiм законом Ньютона, цi сили попарно однаковi по модулю, протилежнi за напрямком i лежать на однiй прямiй, тобто мають однакове плече. Тому моменти сил кожної пари взаємодiї рiвнi по модулю i протилежнi за напрямком, тобто зрiвноважують одна одну, а значить, сумарний момент всiх внутрiшнiх сил завжди дорiвнює нулю.
В результатi останнє рiвняння приймає вигляд:
[pic], (20) де [pic] – сумарний момент всiх зовнiшнiх сил, [pic].
Рiвняння (20) стверджує: похiдна моменту iмпульсу системи по часу дорiвнює сумарному моменту всiх зовнiшнiх сил.
Як i у випадку однiєї частинки, з рiвняння (20) випливає, що прирiст моменту iмпульсу системи за скiнчений промiжок часу [pic]:
[pic], (21) тобто прирiст моменту iмпульсу системи дорiвнює iмпульсу сумарного моменту всiх зовнiшнiх сил за вiдповiдний промiжок часу. І тут обидва моменти, [pic] i [pic], визначенi вiдносно однiєї i тiєї ж точки [pic] вибраної системи вiдлiку.
Рiвняння (20) i (21) справедливi як в iнерцiйнiй, так i в неiнерцiйнiй системах вiдлiку. Тiльки в неiнерцiальнiй системi вiдлiку потрiбно враховувати i дiю сил iнерцiї, якi вiдiграють роль зовнiшнiх сил, тобто за [pic] в цих рiвняннях приймати суму [pic], де [pic] – сумарний момент зовнiшнiх сил взаємодiї, [pic] – сумарний момент сил iнерцiї (вiдносно однiєї i тiєї ж точки [pic] системи вiдлiку).
висновок – закон збереження моменту iмпульсу: в iнерцiальнiй системi вiдлiку момент iмпульсу замкнутої системи частинок залишається постiйним, тобто не змiнюється з часом.
Причому це справедливо для моменту iмпульсу, взятого вiдносно будь- якої точки iнерцiальної системи вiдлiку.
Таким чином, в iнерцiальнiй системi вiдлiку момент iмпульсу замкнутої системи частинок:
Якiсним пiдтвердженням закону збереження моменту iмпульсу може бути дослiд з лавкою Жуковського. Демонстрацiйна лавка, яку запропонував Жуковський, являє собою металевий круг, який обертається з досить малим тертям навколо вертикальної осi. Людина з гантелями в руках сiдає на лавку, Момент зовнiшнiх сил дорiвнює нулю (моментом сил тертя можна знехтувати, оскiльки сили невеликi; центр тяжiння системи людина – площадка лежить на осi обертання, тобто момент сили тяжiння дорiвнює нулю). Лавку приводять в обертання з кутовою швидкiстю [pic], коли людина тримає гантелi на витягнутих в сторони руках. Якщо людина пiднесе гантелi до грудей, кутова швидкiсть помiрно зросте; при розведеннi рук – знову зменшиться. Змiнюючи положення гантелей, людина знiмає момент iнерцiї.
зовнiшнiх сил, що дiють на систему, дорiвнює нулю, то загальний момент кiлькостi руху системи залишається незмiнним.
Землi i обертання Землi навколо осi пiдкоряються закону збереження моментiв. Тертя приливiв в земному океанi i земнiй корi, якi виникають пiд дiєю притягання Мiсяця, постiйно сповiльнюють обертання Землi. Дiя закону збереження моментiв обумовлює збiльшення швидкостi обертання Мiсяця навколо Землi. Прискорення руху Мiсяця на орбiтi супроводжується деяким вiддаленням його вiд Землi (бiля 1,5 км у столiття). Колись, в далекому майбутньому, перiоди обертання Мiсяця навколо Землi i Землi навколо осi стануть однаковими.
Уже з цього прикладу видно, що застосовуючи закон збереження моменту iмпульсу до системи тiл, потрiбно пам’ятати, що при цьому тiла часто розглядати як матерiальнi точки. Тверде тiло може обертатися навколо осi, що проходить через нього i, розглядаючи тiло як точку, ми не враховуємо момент iмпульсу.
Із закону збереження моменту iмпульсу випливає, що внутрiшнi сили не можуть змiнити момент iмпульсу тiла або системи тiл, однак це не означає, що внутрiшнi сили не можуть змiнити момент iмпульсу тiла або системи тiл. Однак це не означає, що внутрiшнi сили не можуть визвати обертання частин всерединi системи. Якщо деяка частина системи починає обертатися в одному напрямi, то iнша, еквiвалентна її частина почне обертатися в протилежному напрямi так, що в цiлому для системи закон збереження моменту iмпульсу буде виконуватися.
Закон збереження моменту iмпульсу вiдiграє таку ж важливу роль, як i закони збереження енергiї та iмпульсу. Уже сам по собi вiд дозволяє зробити в деяких випадках ряд суттєвих висновкiв про властивостi тих чи iнших процесiв, зовсiм не вникаючи в їх детальний розгляд.
вiдлiку сумарний момент зовнiшнiх сил [pic] протягом певного промiжку часу, то момент iмпульсу системи вiдносно точки [pic] зберiгається за цей час. У незамкнутих системах, взагалi кажучи, такої точки може i не бути, що слiд перш за все з’ясувати для кожного конкретного випадку.
У бiльш обмеженому випадку в незамкнутих системах може зберiгатися не сам момент iмпульсу [pic], а його проекцiя на деяку нерухому вiсь [pic]. Це буває тодi, коли проекцiя сумарного моменту [pic] всiх зовнiшнiх сил на цю вiсь дорiвнює нулю. Дiйсно, спроектувати рiвняння (20) на вiсь [pic], сприймаємо:
[pic]. (22) тут [pic] i [pic] – момент iмпульсу i сумарний момент зовнiшнiх сил вiдносно осi [pic]:
[pic], [pic], де [pic] i [pic] – момент iмпульсу i момент зовнiшнiх сил вiдносно осi [pic] для [pic]-тої частинки системи.
Із рiвняння (22) випливає, що якщо вiдносно деякої нерухомої в данiй системi вiдлiку осi [pic] проекцiя [pic], то момент iмпульсу системи вiдносно цiєї осi зберiгається:
При цьому сам вектор [pic], визначений вiдносно довiльної точки [pic] на цiй осi, може змiнюватися. Наприклад, якщо система рухається в однорiдному полi тяжiння, то сумарний момент всiх сил тяжiння вiдносно довiльної нерухомої точки [pic] перпендикулярний до вертикалi, а значить, вiдносно довiльної вертикальної осi [pic] i [pic], чого не можна сказати про вектор [pic].
Мiркування, якi приводять до закону збереження моменту iмпульсу, цiлком спираються на справедливiсть законiв Ньютона.
Враховуючи значну роль, яку вiдiграє закон збереження моменту iмпульсу в механiцi, у фiзицi поняття моменту iмпульсу поширюють на немеханiчнi системи (якi не пiдкоряються законам Ньютона) i постулюють закон збереження моменту iмпульсу для всiх фiзичних процесiв.
Такий розширений закон збереження моменту iмпульсу уже не є наслiдком законiв Ньютона, а являє собою самостiйний загальний принцип, який є узагальненням дослiдних фактiв. Поряд iз законами збереження енергiї та iмпульсу закон збереження моменту iмпульсу є одним iз найважливiших фундаментальних законiв природи.
ВИСНОВОК
Кожен iз розглянутих законiв збереження є унiкальним i являється є законом природи. Повна енергiя (сума кiнетичної i потенцiальної енергiї) iзольованої системи, в якiй дiють лише консервативнi сили, є величиною сталою, якi б механiчнi змiни не вiдбувалися при цьому всерединi системи. Це твердження називається законом збереження i перетворення механiчної енергiї. У разi, коли в системi дiє i сила тертя, повна механiчна енергiя не залишається сталою. Дiя сил тертя призводить до збiльшення внутрiшньої енергiї. Точнi експериментальнi дослiдження показали, що всi “втрати” механiчної енергiї дорiвнюють збiльшення внутрiшньої енергiї. Це пiдтверджує, що в природi дiє закон збереження i перетворення будь-якого виду енергiї.
Закон збереження i перетворення енергiй вiдкритий у 1840 р. Р. Майєром. Незважаючи на те, що вчений здiйснив вiдкриття на основi медико- бiологiчних дослiджень, вiдкритий ним закон виявився справедливим для усiєї природи. Повний iмпульс замкнутої системи є величина стала. Це є закон збереження iмпульсу. З нього випливає, що внутрiшнi сили, якi дiють в системi, не можуть змiнити повний iмпульс системи, вони можуть зумовити тiльки обмiн iмпульсами окремих тiл системи. Оскiльки закон збереження iмпульсу є унiверсальним законом, то вiн справджується в усiх вiдомих взаємодiях. Імпульс можуть мати не тiльки тiла, а й поля. Прикладом прояву iмпульсу електромагнiтного поля є тиск свiтла. При вiдсутностi моменту зовнiшнiх сил ([pic]). Момент iмпульсу тiла залишається незмiнним. Це є закон збереження моменту iмпульсу. Вiн охоплює бiльш широке коло явищ, нiж закон збереження iмпульсу. Цей закон дозволяє при вивченнi конкретних видiв руху повнiстю виключати iз розгляду внутрiшнi сили, а вiдповiдним вибором осi моментiв виключити i ряд зовнiшнiх сил, моменти, яких вiдносно даної осi дорiвнюють нулю. Тому вiн широко застосовується не лише в теоретичних дослiдженнях, але й в технiчних розрахунках.
Оскiльки цi закони є дуже важливими i необхiдними для кращого опанування матерiалу, то в школi слiд детальнiше вивчати дану тему.
ЛІТЕРАТУРА
1. Архангельський М. М. Курс физики. Механика. – М.: Просвещение,
1975. – с. 186-190
2. Иродов И. Е. Основные законы механики. – М.: Высшая школа, 1978.
– с. 62-64, 82-91, 100-105, 129-140
3. Савельев И. В. Курс физики. Механика. Молекулярная физика. – М.:
Наука, 1989. – т. 1 – с. 57-60, 89-92
4. Стрелков С. П. Механика. – М.: Наука, 1975. – с. 95-96
| 
