;полное решение вопроса о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829г Ж. Ш. Ф. Штурмом. В 1818г Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного И. Ньютоном метода численного решения уравнений , не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768г французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определенных уравнений» , изданный примерно в 1831.
Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807г и 1811г он представил Парижской АН свои первые открытия по теории распространения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория тепла», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных, который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, М. В. Остроградского и других математиков 19 века. «Аналитическая теория тепла» явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привел первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внес важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором учавствовали крупнейшие математики 18-го века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами (П. Дирихле, Н. И. Лобачевский, Б. Риман и др.). С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного.
|
