Особливостi математичних методiв застосовуваних для вирiшення економiчних задач
Мiнiстерство освiти України
Київський нацiональний економiчний унiверситет
Доповiдь
Тема:”Особливостi математичних методiв, застосовуваних для вирiшення економiчних задач ”
Виконав: студент І-го курсу
Факультету ІСiТ
Солом’яний Максим Михайлович
Київ 2000
Особливостi математичних методiв, застосовуваних для вирiшення економiчних
задач
У економiчних дослiдженнях здавна застосовувалися найпростiшi математичнi методи. У господарському життi широко використовуються геометричнi формули. Так, площа дiлянки поля визначається шляхом перемножування довжини на ширину або об’єм силосної траншеї - перемножуванням довжини на середню ширину i глибину. Існує цiлий ряд формул i таблиць, що полегшують господарським працiвникам визначення тих або iнших розмiрiв.[5 (52)].
Нема що говорити про застосування арифметики, алгебри в економiчних дослiдженнях, це вже питання про культуру дослiдження, кожний економiст, що шанує себе, володiє такими навиками. Особняком тут коштують так називанi методи оптимiзацiї, частiше називанi як економiко-математичнi методи.
1) балансовий метод;
2) метод математичного моделювання;
4) метод економiко-математичних множникiв (оптимальних суспiльних оцiнок);
5) метод послiдовного наближення.[9 (153)].
У той же час академiк Канторович видiляв математичнi методи в чотирьох групи:
- макроекономiчнi моделi, куди вiдносив балансовий метод i моделi попиту;
- моделi взаємодiї економiчних пiдроздiлiв (на основi теорiї iгор);
І з тiєї, i з iншiй класифiкацiєю можна сперечатися, оскiльки, наприклад моделi попиту можна по рядi особливостей вiднести до нелiнiйного програмування, а стохастичне моделювання iде коренями в теорiю iгор. Але все це проблеми класифiкацiї, що мають визначене методологiчне значення, але в даному випадку не настiльки важливi.
З точки ж зору ролi математичних методiв варто говорити лише про широту застосування рiзних методiв у реальних процесах планування.
З цього погляду безсумнiвним лiдером є метод лiнiйної оптимiзацiї, що був розроблений академiком Канторовичем у 30-тi роки ХХ-го столiття. Частiше усього задача лiнiйного програмування застосовується при моделюваннi органiзацiї виробництва. От як по Канторовичу виглядає математична модель органiзацiї виробництва:
виробництва, причому для кожного з них заданi об'єми вироблених iнгредiєнтiв, розрахованi на реалiзацiю цього способу з одиничною ефективнiстю, тобто заданий вектор ak = (a1k, a2k,... , amk ), k = 1,2... ,S, у котрому кожна з компонент aik
вказує об'єм виробництва вiдповiдного ( i-го ) iнгредiєнта, якщо вона позитивна; i об'єм його витрати, якщо вона негативна ( у способi k ).
Вибiр плану означає вказiвка iнтенсивностей використання рiзних технологiчних способiв, тобто план визначається вектором x = (x1, x2,... , x
s
S
a ikxk
> bi
;
i=1,2,... ,m. (1)
k=1
Якщо i > 0, то нерiвнiсть означає, що є потреба в iнгредiєнтi в розмiрi i, якщо i < 0,то нерiвнiсть означає, що є ресурс даного iнгредiєнтiв розмiрi - i =: i:. Далi передбачається, що використання кожного способу, зв'язаного з витратою одного з перерахованих iнгредiєнтiв або особо видiленого iнгредiєнта в кiлькостi Ck при одиничнiй iнтенсивностi способу k. У якостi цiльовiй функцiї приймається сумарна витрата цього iнгредiєнта в планi.
s
f(x) =
S
ckxk. (2)
k=1
Тепер загальна задача лiнiйного програмування може бути подана в математичнiй формi.
Для заданих чисел aik, ck, i bi найти
s
min
S
ckxk
k=1
при умовах
> 0, k = 1,2,... ,s [1]
s
S
aikxk > bi
, i = 1,2,...,m [2]
k=1
Задача лiнiйного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рiшення, (вектор x =( x1, x2,... , xk)), те iснує i має рiшення зворотна задача заснована на транспонуваннi матрицi прямої задачi. Рiшенням зворотної задачi є вектор y = ( y1, y2... ,ym) компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовленi оцiнки ресурсiв, тобто оцiнки, що показують цiннiсть ресурсу i наскiльки повно вiн використовується.
його дуже детально пророблений, i навiть складенi прикладнi пакети програм, що застосовуються в багатьох галузях планування.
Метод лiнiйної оптимiзацiї з того моменту, як вiн був розроблений Канторовичем, не залишався без змiн, вiн розвивався i продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) у сучаснiй iнтерпретацiї виглядає в такий спосiб.
S
aij xj < bi (i
Î
I)
(3)
j
Î
A1
По-перше обмеження записується не бiльше, або дорiвнює , а менше, або дорiвнює, що бiльше вiдповiдає економiчному змiсту правої сторони обмеження (bi - кiлькiсть ресурсiв). У Канторовича ж ресурс записується - bi = :bi: - тобто негативним числом, що для економiчного складу розуму неприродно ( як може бути ресурсу менше нуля).
По-друге, пiдсумовування робиться не по всiх способах виробництва, а лише по визначенiй їх пiдмножинi (j ( A1), що також вiдповiдає економiчним реалiям, коли по технологiчним, або iншим причинам не всi способи виробництва беруть участь у якому конкретному обмеженнi.
у видi обмежень. Це такi прийоми, як запис обмежень по використанню виробничих ресурсiв, запис обмежень по гарантованому об'ємi робiт або виробництва продукцiї, прийоми моделювання при невiдомих значеннях показникiв i багато хто iншi, на котрих тут не варто зупинятися.
Цiль усiх цих прийомiв - дати бiльш розгорнуту модель якогось явища з господарської практика, зекономивши при цьому на кiлькостi змiнних i обмежень.
Незважаючи на широту застосування методу лiнiйного програмування, вiн враховує лише три особливостi економiчних задач - велика кiлькiсть перемiнних, обмеженiсть ресурсiв i необхiднiсть цiльової функцiї. Звичайно, багато задач з iншими особливостями можна звести до лiнiйної оптимiзацiї, але це не дає нам права випустити з уваги iнший добре розроблений метод математичного моделювання - динамiчне програмування. По сутi, задача динамiчного програмування є описом багатокрокових процесiв прийняття рiшень. Задача динамiчного програмування можна сформулювати в такий спосiб :
є деяка кiлькiсть ресурсу х, що можна використовувати N рiзними способами. Якщо позначити через хi кiлькiсть ресурсу, використовувана i-m способом, то кожному способовi зiставляється функцiя корисностi (хi), що виражає прибуток вiд цього способу. Передбачається, що всi прибутки вимiрюються в однакових одиницях i загальному прибутку дорiвнює сумi прибуткiв, отриманих вiд використання кожного способу.
Тепер можна поставити задачу в математичнiй формi. Знайти
max y1(x1)+ y2(x2)+ ... + yn(xn) (4)
(загальний прибуток вiд використання ресурсiв усiма способами) при умовах:
- що видiляються кiлькостi ресурсiв невiдємнi;
[1] x1 > 0,... , x > 0
- загальна кiлькiсть ресурсiв дорiвнює x.
[2] x1 + x2 + ... + x = x
¦
1
(x) = max {
j
1
(x1)}, (5)
<=X1<= X
¦
k
(x) = max {
j
k
(xk)+
¦
k-1
(x - xk)}. (6)
до = 2,3,... , N,
При виводi цих рекурентних спiввiдношень, по сутi, використовувався наступний принцип, оптимальна стратегiя володiє тим властивiстю, що стосовно будь-якого початкового стану пiсля деякого етапу вирiшення сукупнiсть наступних рiшень повинна складати оптимальну стратегiю. Цей принцип оптимальностi лежить в основi всiєї концепцiї динамiчного програмування. Саме завдяки йому вдасться при наступних переходах випробувати не всi можливi варiанти, а лише оптимальнi виходи. Рекурентнi спiввiдношення дозволяють замiнити надзвичайнi-трудомiсткi обчислення максимуму по N перемiнним у вихiднiй задачi рiшенням N задач, у кожнiй iз який максимум знаходиться лише по однiєї перемiнної.
Таким чином, метод динамiчного програмування дозволяє врахувати таку важливу особливiсть економiчних задач, як детермiнованiсть бiльш пiзнiх рiшень вiд бiльш раннiх.
Крiм цих двох, досить детально розроблених методiв, в економiчних дослiдженнях останнiм часом стали застосовуватися множина iнших методiв.
Одним iз пiдходiв до рiшення економiчних задач є пiдхiд, заснований на застосуваннi нової математичної дисциплiни - теорiї iгор.
Суть цiєї теорiї полягає в тому, що гравець (учасник економiчних взаємовiдносин) повинний вибрати оптимальну стратегiю в залежностi вiд того, якими вiн представляє дiї супротивникiв (конкурентiв, чинникiв зовнiшнього середовища i т. д.). У залежностi вiд того, наскiльки гравець iнформований про можливi дiї супротивникiв, гри (а пiд грою тут розумiється сукупнiсть правил, тодi самий процес гри це партiя) бувають вiдкритi i закритi. При вiдкритiй грi оптимальною стратегiєю буде вибiр максимального мiнiмуму виграшу (у термiнах Моргерштерна - "максимина") iз усiєї сукупностi рiшень, поданих у матричнiй формi. Вiдповiдно супротивник буде прагне програти лише мiнiмальний максимум ("мiнiмаск") який у випадку iгор iз нульовою сумою буде дорiвнює "максимину". У економiцi ж частiше зустрiчаються iгри з ненульовою сумою, коли виграють обидва гравцi.
Крiм цього ,в реальному життi число гравцiв рiдко буває дорiвнює усього двом. При бiльшому ж числi гравцiв з'являються можливостi для кооперативної гри, коли гравцi до початку гри можуть утворювати коалiцiї i вiдповiдно впливати на хiд гри.
Стратегiї гравцiв не обов'язково повиннi мiстити одне рiшення, може бути так, що для досягнення максимального виграшу буде потрiбно застосовувати змiшану стратегiю (коли двi або декiлька стратегiй застосовуються з якiйсь iмовiрнiстю). Крiм того в закритих iграх теж потрiбно враховувати iмовiрнiсть того або iншого рiшення супротивника. Таким чином, у теорiї iгор стало необхiдним застосування апарата теорiї iмовiрностi, що згодом знайшов своє застосування в економiчних дослiдженнях у видi окремого методу - стохатистичного моделювання.
розмiру, узяте щодо всiх можливих станiв.
У випадку не жорсткої, або двохпiдрядної задачi стохатистичного моделювання з'являється можливiсть редактування отриманого плану пiсля того, як стане вiдомим стан випадкового розмiру.
Крiм цих методiв застосовуються методи нелiнiйного, цiлочисленого програмування i багато хто iншi. Коротенько, сутнiсть методу нелiнiйного програмування полягає в перебуваннi або седловиннiї точцi, або загального максимуму або мiнiмуму функцiї. Основна складнiсть тут у трудностi визначення, чи є цей максимум загальним або локальним. Для цiлочисленого моделювання основна труднiсть саме i полягає в трудностi добору цiлого значення функцiї. Загальним для застосування цих методiв на сучасному етапi є можливiсть часткового зведення їх до задачi лiнiйного моделювання. Можливо, у недалекому майбутньому буде знайдене яке оригiнальне рiшення таких задач специфiчними методами, бiльш зручними, чим сучаснi методи рiшення подiбних задач (для який вони є), i бiльш точнi, нiж наближенi рiшення методами лiнiйного програмування.
Список використаної лiтератури
1. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ. И. М. Андреевой [ и др.]. Под ред. Н. Н. Воробьева. М., Изд. Иностр. лит., 1960. 400 с.
2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. Пер. с англ. Н. М. Митрофановой [и др.] Под ред. А. А. Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.
3. Гатаулин А. М., Гаврилов Г. В., Сорокина Т. M. и др. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.
4. Канторович Л. В., Горстко А. Б. Оптимальные решения в экономике. М.,"Наука",1972. 232 c.
5. Кравченко Р. Г., Попов И. В., Толпекин С. З. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с.
6. Моисеев Н. Н. Человек, среда, общество. Проблемы формализованного описания. - М., "Наука", 1982. 240 с.
"Знание",1975. 191 с.
8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер. с англ. Под ред. и с доб. Н. Н. Воробьева. М.,"Наука",1970. 707 с.
9. Немчинов В. С. Избранные произведения. Том 3. Экономика и математические методы. М.,"Наука",1967. 490 с.
| 
