Визначення та обчислення об єму тiла за площами паралельних перерiзiв об єм тiла обертання
Визначення та обчислення об’єму тiла за площами паралельних перерiзiв; об’єм тiла обертання.
П
лан
- Визначення та обчислення об’єму тiла
- Обчислення об’єму тiла за площами його поперечних перерiзiв
- Обчилення об’єму тiла обертання
Обчислення об’ємiв
1. Обчислення об’єму тiла за його за площами
поперечних перерiзiв
На рис. 10. 5 задано тiло, що обмежене зверху поверхнею
, а також площинами
,
,
,
.
Нехай треба визначити будь-яку площу
перерiзу тiла
. Тодi об’єм видiленої частини
Інтегруючи, отримаємо
2. Об’єм тiла обертання
Нехай фiгура
(рис. 10. 6) обертається навколо осi
. У результатi утвориться тiло обертання. Знайдемо його об’єм. Для цього видiлимо смужку шириною
. Його висоту можна взяти такою, що дорiвнює
. У результатi обертання фiгури
навколо осi
смужка опише цилiндричне тiло висотою
з радiусом основи
. Його об’єм
Пiсля iнтегрування отримаємо
(10. 6)
Приклад 1. площиною перпендикулярна до осi гiперболи i утворює кут
з першою площиною (рис. 10. 7). Знайти об’єм гiперболiчного вiдрiзка , якщо вiдстань вiд фокуса гiперболи до її найближчої вершини дорiвнює
2 м, а довжина перпендикулярного до її осi вiдрiзка , що з’єднує двi точки гiперболи i проходить через фокус, дорiвнює 10 м.
м,
фокус гiперболи ,
– одна з вiток гiперболи. Позначимо
,
матиме координати
Отже рiвняння гiперболи буде таким:
Пiдставивши сюди координати точки
i, враховуючи, що
, одержимо таку систему рiвнянь для визначення
i
:
Рис. 10. 7
Із рiвняння гiперболи знаходимо
(тут розглядається
лише одна вiтка гiперболи при
). Перетнемо тiло
площинами
i
. В результатi одержимо скибку
, вiддалену вiд площини
на вiдстань
. Через те , що
нескiнченно мала величина, то цю скибку можна вважати призмою, висота якої дорiвнює
Приклад 2.
Обчислити об’єм тiла, утвореного обертанням навколо осi
синусоїди
(рис. 10. 8).
Р о з в ‘ я з о к. Вiдступимо тут вiд стандартної формули для обчислення об’єму тiла обертання (див. 10. 6), бо вона,в даному випадку приводить до складнiших обчислень. Пiдемо iншим шляхом, розглянувши
елементарний об’єм тiла,
утвореного обертанням навколо осi
видiленої
смужки. У результатi її обертання
Рис. 10. 8
утвориться тонкостiнна цилiндрична трубка, висота якої
, внутрiшнiй радiус
, зовнiшнiй –
. Її об’єм
з точнiстю до нескiнченно малих першого порядку. Тому
| 
