Виды доказательств

Виды доказательств Прямое и косвенное доказательство.......................................... 3 Прямое доказательство..................................................................... 4 Косвенное доказательство.............................................................. 5 Внутренне противоречивые следствия................................................. 7 Разделительное доказательство........................................................... 9 ЛИТЕРАТУРА............................................................................................. 12 Прямое и косвенное доказательство Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику доволь­но интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих матема­тических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным; никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу до­казательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Мате­матик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из лабирин­та и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился». Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначе его части лишатся связи, и оно в любой мо­мент может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целост­ного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это, по словам французского математика А. Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры. Минимальное требование — это понимание логического выве­дения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае до­стигается интуитивная ясность того, что мы делаем. «Я принужден сознаться, — заметил как-то Пуанкаре, — что положи­тельно не способен сделать без ошибки сложение. Моя память не плохая; но чтобы стать хорошим игроком в шахматы, она оказалась бы недоста­точной. Почему же она не изменяет мне в сложных математических рас­суждениях, в которых запутались бы большинство шахматных игроков? Это происходит, очевидно, потому, что в данном случае память моя на­правляется общим ходом рассуждения. Математическое доказательство не есть простое сцепление умозаключений: это умозаключения, расположен­ные в определенном порядке; и порядок, в котором расположены эти эле­менты. Если у меня есть чувство... этого порядка, вследствие чего я сразу могу обнять всю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент; каждый из них сам собою займет свое место...» То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказатель­ства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства. С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам по­лучается тезис. Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два тре­угольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треуголь­ников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°. В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех, признанных обос­нованными утверждений, которые способны быть убедительны­ми аргументами для доказываемого положения; установление логи­ческой связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис. Еще пример. Нужно доказать, что космические корабли под­чиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точ­ках космического пространства. Очевидно также, что космичес­кий корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соот­ветствующее дедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемого утверждения. Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии». В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выве­дения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом пока­зывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, зна­чит, тезис является верным. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание до­казываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено след­ствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое след­ствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным. Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен грип­пом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа. Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо прямого обо­снования тезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровер­гаются объективными данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен. Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать осо­бенной убедительностью. Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем, что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать не­состоятельность его отрицания. В зависимости от того, как реша­ется последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства. Следствия, противоречащие фактам снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой. Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а зна­чит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно. По логическому зако­ну непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу ут­верждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий ка­кого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно. Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, по­скольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов. Ложным будет также положение, из которого выводится внут­ренне противоречивое высказывание или высказывание о тожде­стве утверждения и отрицания. Хорошим примером такого рассуждения служит известное до­казательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11,13,... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допуще­ние. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •... • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Зна­чит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следователь­но, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся про­стым. Это означает, что сделанное предположение ложно и пра­вильно противоположное утверждение: ряд простых чисел беско­нечен. В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится ло­гическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике. Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровен­ная нелепость. Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания. К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, вы­ведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти. По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии». Эту же схему использовал однажды древнегреческий философ Демо­крит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отри­цания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно. Разделительное доказательство Во всех рассмотренных кос­венных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге оста­ется только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание воз­можностей только двумя. Это приведет к так называемому раздели­тельному косвенному доказательству, или доказательству через исклю­чение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что дока­зываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпы­вающих все возможные альтернативы данной области. Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит дру­гую, два варианта будут отброшены и останется только третий: ве­личины равны. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исклю­чаются все возможности, кроме одной, которая и является доказы­ваемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтер­нативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовмести­мость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими об­стоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказа­тельств: рассматриваются не все возможности. С помощью разделительного доказательства можно попытать­ся, например, показать, что в Солнечной системе жизнь есть только на Земле. В качестве возможных альтернатив выдвинем утвержде­ния, что жизнь есть на Меркурии, Венере, Земле и т. д., перечисляя все планеты Солнечной системы. Опровергая затем все альтерна­тивы, кроме одной — говорящей о наличии жизни на Земле, получим доказательство исходного утверждения. Нужно заметить, что в ходе доказательства рассматриваются и опровергаются допущения о существовании жизни на других пла­нетах. Вопрос о том, если ли жизнь на Земле, вообще не поднима­ется. Ответ получается косвенным образом: путем показа того, что ни на одной другой планете нет жизни. Это доказательство оказа­лось бы, конечно, несостоятельным, если бы, допустим, выясни­лось, что, хотя ни на одной планете, кроме Земли, жизни нет, живые существа имеются на одной из комет или на одной из так называемых малых планет, тоже входящих в состав Солнечной сис­темы. Заключение Заканчивая разговор о косвенных доказательствах, обратим внимание на их своеобразие, ограничивающее в известной мере их применимость. необходимо обосновать, а на оши­бочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несо­мненна. 1. Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить, М,: Наука, 1981. 3. Горский Д. П., Ивин А. А., Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике. М,: Просвещение, 1991. 5. Ивин А. А, По законам логики. М., 1983. 8. Поварнин С. И. Искусство спора. М., 1995.