.
Билет №1
1. Аксиомы стереометрии. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную прямую и точку вне ее.
2. Параллелепипед, его элементы. Теорема о точке пересечения диагоналей параллелепипеда.
Билет №2
1. Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на этой прямой.
2. Вывод формулы площади сферы.
1. Прямая, параллельная плоскости (определение). Признак параллельности прамой и плоскости.
2. Конус. Вывод формулы объема конуса.
Билет №4
1. Параллельные плоскости (определение). Признак параллельности двух плоскостей.
2. Вывод формулы объема пирамиды.
Билет №5
1. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.
2. Касательная плоскость (определение). Теорема о касательной плоскости шара (сферы).
Билет №6
1. Прямая, перпендикулярная плоскости (определение). Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Площадь боковой поверхности пирамиды. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.
Билет №7
1. Теорема о трех перпендикулярах.
2. Вывод формулы объема шара.
Билет №8
1. Перпендикулярные плоскости (определение). Признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Прямая призма (определение). Теорема о боковой поверхности прямой призмы. Задача о боковой поверхности наклонной призмы.
Билет №9
1. Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
2. Теорема о противолежащих гранях параллелепипеда.
Билет №1
аксиомы планиметрии:
1. какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
3. каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
6. на любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.
8. каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Стереометрия
- раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
С1
: какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2:
если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости a и b имеют общую точку, то существует прямая с
, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с
.
С3:
если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость a, содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Теорема 15. 1:
через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство
: пусть АВ - данная прямая и С - не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость a (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость a, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость a1
, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости a и a1
пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Параллелепипед, его элементы.
Бывает прямой и наклонный.
его линейными размерами (измерениями). У прямоуг параллеп три измерения.
Теорема 19. 3
: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Дано
: параллелепипед АВСДА1
В1
С1
Д1
., О - точка пересечения диагоналей С11
.
Доказательство
: рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС1
и ВД1
. Так как четырехугольники АВСД и ДД1
С1
С - параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д1
С1
параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД1
и ВС1
. Следовательно, четырехугольник ВАД1
С1
- параллелограмм. Диагонали параллелепипеда АС1
и ВД1
являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказываются другие диагонали. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Билет №2.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Теорема 16. 1:
через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.
Замечание она требует доказательства.
Доказательство
: пусть а
- данная прямая и А
- точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую и точку плоскостьa
.А
в плоскости a
прямую а1
, параллельную а
. Докажем, что прямая а1
а
, единственна. Допустим, что существует другая прямая а2
, проходящая через точку А
и параллельная прямой а
. Через прямые а
и а2
можно провести плоскостьa
2
. Плоскость a
2
проходит через прямую а
и точку А
, следовательно по теореме 15. 1 она совпадает с a
. Теперь по аксиоме параллельных прямые а1
и а2
совпадают. Теорема доказана.
Площадь сферы. (вывод формулы).
Площадь поверхности сферы - предел отношения объема слоя, покрывающего поверхность, к толщине этого слоя, если толщина этого стремиться к нулю.
Билет №3.
Теорема 16. 3
: пусть a - плоскость и а - не лежащая в ней прямая и а11
. Плоскости a и b пересекаются по прямой а1
. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1
. Но это невозможно, так как прямые а и а1
параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. ЧТД.
Конусом (а точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямой конус - прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
Параллельные плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 16. 4:
если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство
: пусть ab
- данные плоскости, а1
и а2
a
,
пересекающиеся в точке А
, в1
и в2
b
.
Допустим, что плоскости a
и b
не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с
. По теореме 16. 3 прямые а1
и а2
, как параллельные прямым в1
и в2
, параллельны плоскости b
, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую сa
через точку А
проходят две прямые (а1
а2
), параллельные прямой с
. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Вывод формулы объема пирамиды.
Билет №5.
Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны. ЧТД.
. Действительно, пусть a и b - параллельные плоскости, а и в - пересекающие их параллельные прямые, А12
,и В1
, В2
- точки пересечения прямых с плоскостями (см рисунок). Проведем через прямые а и в плоскость. Она пересекает плоскости a и b по параллельным прямым А1
В1
и А2
В2
. Четырехугольник А1
В1
В2
А2
- параллелограмм, т. к. у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит А1
А2
=В1
В2
. ЧТД.
- плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А.
касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
>ОА=R. Следовательно точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Билет №6.
Прямая, перпендикулярная плоскости.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900
. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
:
Площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет №7.
Теорема о трех перпендикулярах.
Теорема 17. 5:
если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство
: пусть АВ - перпендикуляр к плоскости a, АС - наклонная и с - прямая в плоскости a, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую СА1
, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости a. Проведем через прямые АВ и А1
С плоскость b. Прямая с перпендикулярна прямой СА1
. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости b, а значит, и прямой АС. Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1
, перпендикулярна плоскости b, а значит, и проекции наклонной ВС. ЧТД.
Вывод формулы объема шара.
Билет №8.
Перпендикулярные плоскости.
Теорема 17. 6:
Доказательство в плоскости a через точку пересечения прямой в с плоскостью a прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость g. Она перпендикулярна прямой с, т. к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости a и b перпендикулярны. ЧТД.
Призма
- многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Прямая призма
- боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям.
Боковая поверхность призмы
Теорема 19. 1:
боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
: боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
задача о боковой поверхности наклонной призмы:
боковая поверхность наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения и бокового ребра.
Билет №9.
Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
Теорема 17. 4:
две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство
: пусть а и в - две прямые, перпендикулярные плоскости a. Допустим, что прямые а и в не параллельны. Тогда существует некая прямая в1
параллельная а. Выберем на прямой в точку С, не лежащую в плоскости a. Проведем через точку С прямую в1
, параллельную а. Прямая в1
перпендикулярна плоскости a (теорема 17. 3). пусть В и В1
- точки пересечения прямых в и в1
с плоскостью a. Тогда прямая ВВ1
перпендикулярна пересекающимся прямым в и в1
. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. ЧТД.
Прямоугольный параллелепипед
- параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).
Теорема 19. 4:
в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство
:
Билет № 10.
Теорема 17. 3
Доказательство
: пусть а1
и а2
- две параллельные прямые и a - плоскость, перпендикулярная прямой а12
. Проведем через точку А2
пересечения прямой а2
с плоскостью a произвольную прямую х2
в плоскости a. Проведем в плоскости a через точку А1
пересечения прямой а1
с a прямую х1
, параллельную прямой х211
и х12
и х2
тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2
перпендикулярна любой прямой х2
в плоскости a. А это значит, что прямая а2
перпендикулярна плоскости a.
| 
