Математический анализ
ГЛАВА#1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.
ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий
ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо,
из которой выброшена сама точка.
ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (а;+ ).
ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (- ;b).
ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух
любых окрестностей + и -.
Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности
т. Хо,если для любого числа >0 существует проколотая
окр. т. Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего
прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .
>0 U U => ¦f(x)¦<
Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо,если
в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно
малое в окрестности т. Хо.
limf(x)=А
Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо,если в некоторой
окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х),
где (х)-б. м. в окр. т. Хо.
Иными словами,f(х)-непрерывна в т. Хо,если она в этой точке
области определения.
Схема:1. ф-я элементарна
2. определена
3. непрерывна
4. предел равен значению ф-ции
5. значение ф-ции равно 0
6. можно представить в виде б. м.
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б. м. -0
Теорема#2:Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо,то их
сумма тоже б. м. в этой окр.
Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр. т. Хо,если сущ.
проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М
в каждой точке прок. окр. т. Хо.
>0: ¦f(x)¦<M x U
Теорема#3:Если (х) -б. м. в окр. т. Хо,то она ограничена
в этой окр.
Теорема#4:О произведении б. м. на ограниченную:
Если ф-ция (х) -б. м.,а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо,то
(х)*f(х) -б. м. в окр. т. Хо.
Теорема#5:О промежуточной б. м.:
Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х)< (х)< (х)
в окр. т. Хо U ,то (х) -б. м. в окр. т. Хо.
Две б. м. называются сравнимыми,если существует предел их
отношения.
Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются одного порядка,
если предел их отношений есть число не равное 0.
Две б. м. в окр. т. Хо называются эквивалентными,если
есть б. м. более высокого порядка,чем и чем.
Теорема#2:Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого
порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б. м.
Таблица основных эквивалентов б. м.:
Х0
е-1 х
ln(1+х) х
(1+х) -1 х
Асимптотические представления:
Х0
sinx=x+0(x)
e =1+x+0(x)
ln(1+x)=х+0(x)
(1+x) =1+ x+0(x)
Св-во экв. б. м.:
Если (х) и (х) -экв. б. м. в окр. т. Хо,а (х) и (х) -экв. б. м.
в окр. т. Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А.
§2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.
(х). (х)=о( (х)).
Замечание:Если (х)-более высокого порядка,чем (х),
то (х)=о(k (х)),k=0
Теорема БЕЗУ:Если -корень многочлена,то многночлен
делится без остатка на (х- ).
Если предел ф-ции f(х) в т. Хо равен А и А>0,то
А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр. т. Хо.
<0,то 3А/2<f(х)<А/2.
ТЕОРЕМА#1. Необходимое условие ограничиности ф-ции,
в окрестности этой точки.
ТЕОРЕМА#2. Арифметические операции над ф-циями,
имеющих предел.
lim f(х)=B,то
тогда 1. сущ. предел их суммы и он равен сумме пределов.
2. сущ. предел их произведения и он равен
произведению пределов.
3. если В=0,то сущ. предел отношения и он равен
отношению пределов.
Т. 1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т. Хо,больше 0,
то f(х)>0 в прокол. окр. т. Хо.
Наоборот,если f(х),имеющая предел в т. Хо,меньше 0,
то f(х)<0 в прокол. окр. т. Хо.
>0 в
некоторой прокол. окр. т. Хо,то и предел f(х)>0 в т. Хо.
Т. 3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т. Хо:
lim f(х)=А
<f(х) в некоторой прокол. окр. т. Хо,то и
пределы А<В.
Т. 4 о пределе промежуточной ф-ции:
Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
А в т. Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.
окр. т. Хо,то тогда сущ. предел f(х) и он равен А.
ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
ф-ции:
Если ф-ция f(u) непрерывна в т. Uо,а ф-ция u= (х) имеет
предел в т. Хо,и предел ф-ции (х) равен Uо,то тогда
сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т. Хо и этот предел
от предела. f[ (х)]=flim (х).
§4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область
определения которой -натуральные числа.
Формула НЬЮТОНА-бинома:
(a+b)= с a b
c=n!/k!(n-k)!
c -кол-во сочетаний из n по k.
n!=1*2*3*...*n
СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного
множества,в частности рассматривают сочетания множества
Замечание: 0!=1
Таблица биномиальных коэффициентов:
n=1 1 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
lim(1+x) =e
§5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ. ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
БЕСКОНЕЧНОСТИ. АСИМТОТЫ.
Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр. т. Хо,если
1/f(х) будет б. м.
Асимтоты:
Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от
т. М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда
растояние от т. М до фиксированной т. О стремится в беско-
нечность.
Асимтоты графиков ф-ции:
Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при
х_+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
х_+ .
Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка
ф-ции f(х) при х_+ ,необходимо и достаточно существование
предела при х_+ f(х)/х=k и сущ. предела при х_+
[f(х)-kx]=b,т. е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то
ас-ты нет.
разрыва. Классификация точек разрыва:
предел,но не является непрерывной.
1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет
предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.
точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.
§6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.
ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,
т. к. непрер. ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,
имеющих предел,распространяются на непрерывные.
>0,то ф-я больше
нуля в некоторой окр. т. Хо или;если f(х) и f(х) непрер.
Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она
непрерыв. в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в
ТЕОРЕМЫ КОШИ:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах
<0),
то сущ. точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.
Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.
принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого
числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ. т. С,принадлеж. отр.
[a;b],такая что f(С)=Q.
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т. е. ф-я
ограничена)
Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой
точке этого отрезка.
ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА.
точек A и B явл. началом,а какая концом.
Два направленных отрезка называются равными,если они лежат
на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют
одинаковые длины,т. е. если один получается из другого парал.
переносом.
Вектором называется направленный отрезок.
Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой
или на парал. прямых.
Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или
парал. пл-тях.
Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало
при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.
а,такой что:
1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦
a=0,если =0
2. দа
দа,если >0
দа,если <0
СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:
1. Коммутативность:
Для любых а и b:а+b=b+a
замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить
как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,
причем начало всех трех векторов совмещены.
2. Ассоциативность:
Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)
замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а
нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора
с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.
3. Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а:
а+0=а.
такой что а+(-а)=0
5. Для всех а:1*а=а
6. Для любого а и любых чисел и :( * )*а= ( а)= ( а)
7. Для любого а и любых чисел и :( + )*а= а+ а
8. Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b
Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b))
Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор
а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., .
Множество,для элементов которого определены операции (сложения
и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в
(аксиом) называется линейным пространством.
§2. Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.
Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если
хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация
остальных векторов этой системы.
ИЛИ
Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи-
мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., ,
не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а
равнялась нуль-вектору.
Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв-
ляется линейно зависимой,т. е. ни один вектор этой системы не яв-
ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-
бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда
все коэффициенты равны 0.
Размерностью линейного пространства называется максимальное число
линейно не зависимых векторов.
быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому
базису единственно:
а= е + е + е
этому базису называются координатами.
а=( , , )
замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные
координаты.
Условие коллинеарности:
/ = / = /
замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство
нужно понимать так,что в числителе тоже 0.
Каноническое ур-е прямой:
x x /m=y-y /p=z-z /q
§3. ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР. ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ПРИЛОЖЕНИЕ.
угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в
направлениях этих векторов.
Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число
равное произведению модуля а на cos угла между ними.
Пр а=¦а¦*cos a,b
Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b
Пр (ka)=kПр а
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между
точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.
длин этих векторов на cos угла между ними.
1. условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> аb
2. коммутативность: (а,b)=(b,а)
3. билинейность:
3. 1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)
(а,b +b )=(а,b )+(а,b )
3. 2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)
Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений
соответствующих координат.
(а,b)=x x +y y +z z
Приложения:
<=>аb
4. Пр а=(а,b)/¦b¦
Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые
вектор образует с векторами базиса i,j,k.
cos =x/¦a¦
cos =z/¦a¦
cos +cos +cos =1,т. к. (x +y +z )/¦a¦=1.
§4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
число строк равно числу столбцов и равно n.
определителем матрицы.
Определителем кв. матрицы n-порядка называется число равное
причем перед каждым произведением по определенному правилу
ставится знак "+" или "-".
Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то
ставится "+",а где-то "-".
Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца
образуют главную диагональ матрицы.
номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-
1. При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.
2. Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее
определитель умножится на -1.
3. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов
какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
умножить на число k, то ее определитель умножится на k.
5. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы
стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки
у всех трех определителей одинаковы.
6. Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке
(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
8. Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-
нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки
стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные
строки совпадают со строками данного определителя.
Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель
матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку
и столбец,в которых стоит а.
Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное
А =М *(-1)
Достаточные признаки
равенства нулю
определителя:
1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно
нулю,то определитель равен 0.
3. Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы
которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.
условие равенства нулю
определителя:
Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и
достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.
§5. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с. В
противном случае тройка называется левой.
СВ-ВА ориентированных троек векторв:
1. Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.
Такая перестановка называется циклической перестановкой. Т. е. при
цикл. перестановке ориентация тройки не меняется.
2. Если a,b,c -правая,то тройки b,a. c и a,c,b -левые. Т. е.,если
поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки
изменится.
Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:
1. если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение
с=[a,b]=0.
2. если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,
т. е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую
сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая. Длина векторного
построенного на векторах а и b.
СВ-ВО векторного произведения:
<=>a¦¦b.
2. Антикоммутативность:
[a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].
3. Билинейность:
3. 1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]
[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].
3. 2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].
¦i j k¦
[a,b]=¦x y z¦
¦x y z¦
Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.
> n=(A,B,C)
Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее
проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между
направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.
скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на
([a,b],c)
Геометрический смысл
смешанного произведения:
равно 0.
2. Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-
ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,
причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-
вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.
произведения:
([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.
(a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.
Эти смешанные произведения равны,т. к. параллелипипед один и тот же
и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-
ция троек не меняется).
(a,b,c)=([a,b],c)
2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)
3. Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0
4. Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0
5. Трилинейность:
5. 1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)
5. 2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)
Вычисление смешанного
a=(x ,y ,z )
b=(x ,y ,z )
c=(x ,y ,z )
¦x y z¦
§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.
Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ-
против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы
tg =(k -k )/1+k k
Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде
-б. м. более высокого порядка, чем х.
Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х
Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается
Производной ф-цией f(х) в т. Хо называется предел отноше-
ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда
х0.
(х )'= х
(a )'=a lna, ((e )'=e )
(log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
sin'x=cosx
tg'x=1/cos x
ctg'x=-1/sin x
arcsin'x=1/ 1-x
arccos'x=-1/ 1-x
sh'x=chx (shx=e -e /2)
ch'x=shx (chx=e +e /2)
f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если
f'(х)=0, то это слагаемое б. м. одного порядка с х.
Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
называется дифференциалом ф-ции в т. Хо.
Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т. Хо называется
главная часть приращения, линейно зависящая от х.
Асимтотическое представление:
f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
§2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная
тождественна 0.
(C)'=0
2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т. Хо, то:
2) их произведение дифф. в т. Хо и (uv)'=u'v+uv'
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
3) если кроме того v(x )=0, то отношение
(u/v)'=u'v-uv'/v
3. Правило дифф. сложной ф-ции.
>
f(u(x)) -дифф. в т. Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )
| 
