БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через xi валовый выпуск i-й отрасли за планируемый период и через yi Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.
| № отрас. |
потребление
|
итого
производ.
потребление
( е хik )
|
продукт
( уi )
|
вал овый
выпуск
( хi )
|
|
2
|
…
|
k
|
…
|
n
|
|
1
|
| х12
| | х1k
| ...
| х1n
| е х1k
| y1
| х1
|
|
2
|
х21
| х22
| ...
| х2k
| ...
| х2n
| е х2k
| y2
| х2
|
|
...
|
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
i
|
хi1
| хi2
| ...
| | ...
| | | yi
| хi
|
|
...
|
...
|
|
...
|
|
...
|
...
|
|
...
|
...
|
|
хn1
| хn2
| ...
| хnk
| ...
| хnn
| | | |
произв.
отрасль
| е хil
| е хi2
| ...
| е хnl
| ...
| е хin
|
|
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :
х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1
х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 333 ( 1 )
|
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , 333 ( 2 ) а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом : _
x = ( x1 , x2 , … , xn ). 333 ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у х, т. к. кроме искомых неизвестных хk n2xik , которые в свою очередь зависят от xk. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений : 33333 xik
aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
33333xk
aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т. е., что x'ik 333 xik
––– = ––– = aik = const 333 ( 4 )
x'k 333 xk
Исходя из этого предложения имеем
т. е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу 333 a11 a12 … a1k … a1n
333 a21 a22 … a2k … a2n
333 ai1 ai2 … aik … ain
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной. Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл. 1 Подставляя значения во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )
……………………………………
xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,
Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:
33333333 _ 3 _
где Е – единичная матрица n-го 33333 1-a11 -a12 … -a1n
333333 …………………
333333 -an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: Табл. 2
|
|
Потребление
|
Итого затрат
|
Конечный продукт
|
Валовый продукт
|
|
1
|
|
|
240
|
|
|
|
|
315
|
85
|
400
|
|
Итого затрат в k-ю отрасль …
|
|
|
|
|
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл. 2Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат: 100 160 275 40
а11 = –––– = 0. 2 ; а12 = –––– = 0. 4 ; а21 = –––– = 0. 55 ; а22 = –––– = 0. 1
500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток. х1 - 0. 2х1 - 0. 4х2 = у1
х2 - 0. 55х1 - 0. 1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т. д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т. д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т. е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А
Так, например, если
0. 9 0. 8 0. 1 -0. 8
А= , то Е - А =
0. 6 0. 9 -0. 6 0. 1
и уравнение ( 6' )
запишется в виде
0. 1 -0. 8 х1 у1
-0. 6 0. 1 х2 у2
или в развернутой форме 0. 1х1 - 0. 8х2 = у1 ( a )
-0. 6х1 + 0. 1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0. 5х1 - 0. 7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т. е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
S = sik+ , запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т. е. 1
_ 0
У1 = :
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0 S21 _
х = S : = : = S1
0 Sn1 задавшись ассортиментным вектором, 0
У2 = 0
:
0
получим 0 S12
_ 1 S22 _
х = S : = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
_ : S2k _
х = S 1 = : Sk55555 ( 9 )
0
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т. д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й
k-го n-й k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т. д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й
Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл. 2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0. 4 и 2-й отрасли a22=0. 1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0. 4100=40 ? Конечно, нельзя, т. к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0. 2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0. 240=48. Однако и эта цифра неверна, т. к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т. д. Но дело не только в этом. Согласно табл. 2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п. 2 ):
0. 8х1 - 0. 4х2 = 0
-0. 55х1 + 0. 9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0. 8 и х2=1. 5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0. 8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0. 4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0. 8-0. 4=0. 4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0. 4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.
Очевидно, что всегда Sik > aik.
Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):
x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,
что можно записать короче в виде: _ _
x = Sk·yk ( 10 )
У = : , то валовый выпуск k-йxk
уn
SkУ, т. е. _ _
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
_ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл. 2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0. 2 0. 4
А =
0. 55 0. 1
Следовательно,
1 -0. 2 -0. 4 0. 8 -0. 4
Е - А = =
-0. 55 1 -0. 1 -0. 55 0. 9
Определитель этой матрицы
0. 8 -0. 4
D [ E - A ] = = 0. 5
-0. 55 0. 9
0. 9 0. 4
( Е - А )* = ,
0. 55 0. 8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:
S = ( Е - А )-1 = ––– =
0. 5 0. 55 0. 8 1. 1 1. 6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0. 8 и S21=1. 5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0. 2 и а21=0. 55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1. 8-0. 2=1. 6 и 1. 1-0. 55=0. 55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0. 8 и S22=1. 5, откуда косвенные затраты составят 0. 8-0. 4=0. 4 и 1. 6-0. 1=1. 5.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ): х2
_ _ 1. 8 0. 8 480 1000
1 1. 6 170 800.
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т. Д.
Расширим табл. 1, включив в нее, кроме производительных затрат xik
Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik,
xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и
xk
xn+2,k
капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего
xk
k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т. е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы
…………………………………
А' = ai1 ai2 … aik … ain
…………………………………
an1 an2 … ank … ann
an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n
При решении балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т. е.
_ 1
У = 0
0.
S11
_ _ S21
x = S1 = :
Sn1
k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т. д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,
т. е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А'S.
k-й отрасли, составят: _ _
Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений: _ _
Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S' = Si1 Si2 … Sik … Sin
………………………………… ( 15 )
Sn1 Sn2 … Snk … Snn
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки
Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе Ух ( для чего используется матрица SУ. Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 )
т. е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл. 2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл. 3
aik
0. 2 0. 4
А' = 0. 55 0. 1
0. 5 0. 2
1. 5 2. 0
Табл. 2
|
|
|
|
|
Валовый продукт
|
|
1
|
|
|
|
500
|
|
2
|
|
315
|
85
|
400
|
|
|
|
330
|
|
|
|
Капиталовложения
|
|
1850
|
|
|
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
_ _
_ _
и капиталовложений Sn+2,k = S4,k: _ _
S41 = a4·S1 = 1. 5 · 1. 8 + 2. 0 · 1. 1 = 4. 9 ;
S42 = a4·S2 = 1. 5 · 0. 8 + 2. 0 · 1. 6 = 4. 4.
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1. 8 0. 8
S' = 1. 1 1. 6
4. 9 4. 4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором
У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и
85
xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0. 72 · 85 = 268. 8 + 61. 2 = 330 тыс. чел. -ч. и xn+2 = xn = 4. 9 · 240 + 4. 4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс. руб., что совпадает с исходными данными табл. 3.
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268. 8 и на продукцию 2-й отрасли 61. 2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480. Тогда 170
_ х1 1. 8 0. 8 1000
х = х2 = 1. 1 1. 6 480 = 800
х3 1. 12 0. 72 170 600
х4 4. 9 4. 4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел. -ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс. руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. -ч.
Таблица
|
|
|
|
|
|
I
|
II
|
III |
|
Сырье I
|
1. 4
|
|
0. 8
|
a 4
|
5 |
|
Сырье II
|
- |
0. 6 |
|
a 5 |
12
|
| 12
Сырье III
|
2. 0
|
1. 8
|
2. 2
|
a 6
|
|
|
Трудоемкость
|
10
|
|
20
|
a 7
|
12
|
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т. е.
_ _ 235
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т. д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1. 4 2. 4 0. 8 235 1088 Сырье I
0 0. 6 1. 6 186 = 746 Сырье II
2. 0 1. 8 2. 2 397 1678 Топливо
0. 1 0. 2 0. 2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1. 4S11 + 2. 4S21 + 0. 8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы: I II III
1. 4 2. 4 0. 8 1. 04 0. 21 0. 02 1. 97 2. 92 1. 36 Сырье I
2. 0 1. 8 2. 2 0. 03 0. 13 1. 26 2. 53 2. 60 5. 23 Топливо
10 20 20 15. 2 24. 8 28. 0 Труд
в) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:
I II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1. 2 ) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111 635 I II III
( 5; 12; 2; 1. 2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:
0. 17 0. 84 2. 09 I II III
( 5; 12; 2; 1. 2 ) 2. 53 2. 60 5. 23 = ( 35. 3; 59. 6; 75. 7 )
15. 2 24. 8 28. 0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35. 3 руб., 59. 6 руб., 75. 7 руб.
| 
