Если сравнить, что ученые разных веков говорили о связи между математикой и физикой, нетрудно обнаружить некую парадоксальную «обратную пропорциональность»: чем больше успехов в познании природы достигали исследователи с помощью математических методов, тем большее недоумение у них самих вызывали эти успехи.
В то время как Кеплер и Декарт, по сути дела, отождествляли природу с математикой, современные ученые ясно осознали, что связь между объективно существующим физическим процессом и абстрактной, «выдуманной людьми» математической закономерностью есть не более чем интуитивное, ничем не обоснованное предположение, которое почему-то дает достоверные предсказания. Известный американский физик, нобелевский лауреат Е. Вигнер прямо называет эффективность математики в естественных науках «непостижимой»...
уверенности к сомнению!
Необходимое историческое отступление
Если внимательно рассмотреть труды великих естествоиспытателей XVII века – Галилея, Гюйгенса, Паскаля, Ньютона, Якоба и Иоганна Бернулли и др., – нетрудно убедиться, что это не последовательное, систематическое развертывание следствий и выводов, с математической строгостью вытекающих из исходных аксиом и постулатов, а набор более или менее остроумно поставленных и изящно решенных механических задач. Причем авторы этих решений никогда не упускали из виду, что объект их исследований состоит из мельчайших материальных частиц – корпускул, молекул.
что физическая задача должна решаться синтетически – набором разнородных средств. Тут может быть и удачное наблюдение, и логическое рассуждение, и математический анализ, и применение какого-нибудь не очень строгого, но плодотворного и дающего хорошее объяснение принципа, и остроумный эксперимент. Благодаря такому уважению к реальности исследователи тех времен редко отходили далеко от действительности, и сочинения большинства из них сохранили достоверность и ценность вплоть до наших дней.
синтетическо-геометрическим методом, и мы напрасно стали бы искать в этом трактате привычные нам с институтской скамьи «ньютоновы дифференциальные уравнения движения». Создав основы механики и методов математического анализа, великий геометр XVII века не слил их воедино: эта миссия выпала на долю Эйлера.
Эту линию развития довелось завершить П. Далласу и Ж. Лагранжу. Первый из них считал, что реальный мир может быть сведен хотя и к чрезвычайно сложному, но одному уравнению, которое охватит движение и самых больших тел, и мельчайших атомов. Существо, наделенное достаточно большой памятью, анализируя это уравнение, могло бы, по мнению Лапласа, «обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое». Что же касается Лагранжа, то в предисловии к своей знаменитой «Аналитической механике» он в 1788 году писал, что геометрия полностью изгнана со страниц его труда и что в нем нет ни одного чертежа, ни одного механического рассуждения. Единственное, чего требовал его метод, – это алгебраические операции, подчиненные планомерному и однообразному ходу.
Казалось бы, идея тождественности механики и математики торжествовала, но некоторые современники Эйлера и Лагранжа проницательно указывали на тайные дефекты в фундаменте их стройных теорий. Так, петербургский академик Даниил Бернулли ясно понимал, что для составления уравнений движения потребовалось «обезличить» материю и. превратить ее мельчайшую частицу – корпускулу – в математическую точку – носительницу трех координат, лишив ее всех физических свойств. Доказывая, что такая операция некорректна, что законы движения нельзя свести к законам чистой геометрии без какой-либо физической гипотезы, Бернулли скорбел по поводу тех ученых, которые предпочитают жонглировать математическими формулами и символами, не задумываясь о тех допущениях и принципах, с помощью которых математика привязывается, пристыковывается к физическим процессам.
История показала, что Бернулли был прав. «Обезличение» материи не прошло даром: к началу XIX века даже в пределах механики математически полученные результаты порой так сильно расходились с действительностью, что физики и инженеры стали равнодушно и даже враждебно относиться к математическим исследованиям. Положение усугублялось тем, что великие геометры XVII... XVIII веков, ставившие в центр своих исследований механические задачи и рассматривавшие математические методы как средство, а не как цель, не уделяли достаточного внимания строгому обоснованию начал самой математики, поэтому в начале XIX века часть сил была отвлечена на внутренние нужды, самой математической науки. Наконец в первой половине XIX века появились новые, не механические разделы физики – термодинамика и электромагнетизм, которые явно выпадали из рамок, очерченных уравнениями классической механики.
И вот в XIX веке все переменилось. Вместо величественного требования – выводить ход мировых явлений – немецкий физик Г. Кирхгоф выдвинул требование гораздо более скромное: задача математики – описывать физические явления наиболее полным и простым способом. Такой взгляд лишил то или иное математическое описание единственности и превратил эту науку в мастерскую, занятую изготовлением неких сеток, калек, которые при наложении на реальный физический процесс отображали более или менее полно его существенные черты. В результате один и тот же физический объект теперь мог быть представлен десятками одинаково правильных математических описаний, и выбор того или иного из них определялся не его правильностью, а удобством пользования.
При подобной множественности одинаково правильных интерпретаций одного и того же физического объекта или процесса никого уже не тревожило появление таких математических образов и миров, «следа которых нельзя найти между небом и Землей».
математиков терпеливее и выдержаннее.
Если новая закономерность не нашла себе немедленного практического применения, это вовсе не значит, что она не заслуживает признания. История науки изобилует примерами, подтверждающими таинственный «закон», открытый французским математиком Эрмитом: «Все математически правильное рано или поздно выходит из своих узких пределов и приобретает более широкое значение». Действительно таинственный закон, не правда ли? Ведь, в сущности, он утверждает, что выдумка, составленная по некоторым правилам, рано или поздно обнаружится в окружающем нас мире!
«Гвозди», которыми математика «приколочена» к физике
Согласно современным представлениям все содержательные утверждения можно разделить на две группы: те, которые констатируют факты, поддающиеся экспериментальной проверке, и те, которые не зависят от эксперимента и могут быть верны или неверны, как словесные утверждения. Так вот, утверждения второго рода называются «тавтологиями», и они-то как раз и составляют содержание математики. «Утверждение является тавтологическим, – писал австрийский математик Р. Мизес, – если оно независимо от любых экспериментов, потому что оно ничего не говорит о действительности вообще и представляет собой только переформулировку или пересказ произвольно установленных логических правил».
Таким образом, прав был Ч. Дарвин, когда утверждал: «Математика подобно жернову перемалывает лишь то, что под него засыплют». И чаще всего математическая «засыпка» представляет собой различные совокупности чисел, а содержание собственно математики – их перемалывание, то есть такие операции, которые меняют форму, не меняя существа. Если ясно понять это, эффективность математики в естественных науках перестанет быть загадкой: ведь обработка чисел не привносит в них ничего нового, и если они соответствуют физической реальности, то и все, полученное из них с помощью умозрительных операций, тоже соответствует действительности, Таким образом, все «секреты» и «тайны» сосредоточены там, где непрерывные, континуальные физические величины превращаются в ряды чисел. А это происходит не тогда, когда вычисляют, а тогда, когда измеряют, то есть «экспериментально с помощью меры сравнивают данную величину с другой, однородной с нею величиной, принятой за единицу измерения». Требование однородности играет здесь принципиальную роль, ибо только в пределах одного рода, одного качества возможно суммирование величин.
Нетрудно понять, что именно в единицах измерений и скрыта тайна необычайной эффективности математики в естественных науках, ибо эти единицы представляют собой, образно говоря, «гвозди», которыми математика «приколачивается» к физическим явлениям. И не случайно, что разработкой единиц измерений и их систем занимались самые выдающиеся и проницательные ученые мира.
Первым из них следует назвать великого немецкого математика, физика, астронома и топографа К. Гаусса. В 1832 году он опубликовал работу «Напряжение земной магнитной силы, приведенное к абсолютной мере», в которой показал, что, выбрав независимые друг от друга единицы измерений нескольких основных физических величин, можно с помощью физических законов установить единицы измерений всех физических величин, входящих в тот или иной раздел физики. Совокупность единиц, образованных таким путем, получила название «системы единиц», и первой из них стала предложенная Гауссом система СГС, в которой в качестве основных фигурировали единицы длины, массы и времени – сантиметр, грамм и секунда. Все же прочие легко выводились из них. Скажем, скорость – путь, пройденный за единицу времени, – должна измеряться в см/с; ускорение – изменение скорости в единицу времени – в см/с2
. Сила, определяемая по второму закону Ньютона как произведение массы на ускорение, – в см·г/с2
; работа – произведение силы на путь – в г·см2
/с2
; а мощность – работа в единицу времени – в г·см2
/с2
и т. д.
Ясно, что совокупность основных и всех мыслимых производных единиц системы СГС представляет собой не что иное, как сверхкраткий курс механики, закодированный в размерностях. Возникает естественный вопрос: может ли дать ценных для науки результатов их математический анализ?
В «перекрестиях» длины и времени
Сложность цивилизации, как в зеркале, отражается в сложности, используемых ею единиц измерения.
Потребности античного мира легко удовлетворялись считанными единицами – угла, длины, веса, времени, площади, объема, скорости. А в наши дни Международная система единиц измерений, помимо семи основных единиц (длина, масса, время, количество вещества, температура, сила тока и сила света), содержит две дополнительные (плоский и телесный угол) и около 200 производных, используемых в механике, термодинамике, электромагнетизме, акустике, оптике. Кроме Международной системы, используется на практике и ряд других систем; СГС – сантиметр, грамм массы, секунда; английская FPS – фут, фунт, секунда и т. д. Хотя с 1963 года Международная система является предметом законодательных актов во многих странах, среди ученых продолжаются споры о наиболее обоснованном выборе числа и вида основных единиц.
не придется расширять этот список дальше? Имеется ли строгое обоснование у всех существующих систем, или в основе их лежат не поддающиеся строгому определению соображения удобства пользования? Мысль о том, что для построения всей системы единиц измерений достаточно всего двух величин – длины и времени, – не нова; в 1873 году об этом говорил Дж. Максвелл, а с 1941 года ее пропагандировал и отстаивал английский ученый Б. Браун. В 1965 году опубликовал свою первую работу в этой области известный советский авиаконструктор Р. ди Бартини, который позднее получил ряд важных и интересных результатов совместно с кандидатом химических наук П. Кузнецовым.
Разработанная ими кинематическая система физических величин состоит из бесконечных вертикальных столбцов, представляющих собой ряд целочисленных степеней длины (на рисунке их количество ограничено интервалом от L–3+6
) и бесконечных горизонтальных строк – целочисленных степеней времени (в нашем случае от Т–6
до Т+3
Dim. |
L–1
|
L0
|
L1
|
L2
|
L3
|
L4
|
L5
|
L6
|
T–6
|
Скорость переноса мощности (мобильность) |
T–5
|
Мощность |
T–4
|
Градиент давления
|
Давление
Напряжение
|
Жесткость
|
Сила |
Энергия |
|
T–3
|
|
Вязкость |
Массовый расход |
Импульс |
Момент импульса |
T–2
|
|
Линейное ускорение |
Потенциал гравитационного поля |
Масса |
Динамический момент инерции |
T–1
|
Угловая скорость |
|
Скорость изменения площади |
T0
|
Кривизна |
Безразмерные величины (радиан) |
Длина |
Площадь |
Объем |
Момент инерции площади плоской фигуры |
T1
|
Период |
T2
|
Становым хребтом таблицы можно считать столбец L0
и строку Т0 точки по горизонтали вправо, мы получаем все чисто геометрические величины – длину, площадь, объем, перенос объема вдоль прямой, перенос объема на анизотропной площади и перенос объема в анизотропном пространстве. Перемещение же от нее влево дает распределение каких-либо безразмерных величин на единицу длины, площади и объема. (Простейшим примером величины L–10
может служить изменение угла поворота на единицу длины – кривизна.)
Сложнее понять смысл величин, находящихся в клетках столбца при перемещении по вертикали. Двигаясь вверх, мы получаем сначала частоту – изменение безразмерной величины за единицу времени. В простейшем случае это угловая скорость – изменение во времени угла поворота, выраженного в радианах. Затем следует изменение изменения безразмерной величины за единицу времени. В случае вращательного движения это представляет собой изменение угловой скорости, то есть угловое ускорение, и т. д.
Перемещение вниз от опорной точки дает «временную длину», то есть время, в течение которого происходит то или иное изменение безразмерной величины. В простейшем случае колебательного или вращательного движения это период. Считая время их, не зависящим от направления перемещения, мы можем ограничиться только «временной длиной», которая в совокупности с изотропным трехмерным пространством образует всем нам знакомое по учебникам четырехмерное пространство – время. Но могут существовать и более сложные случаи. Скажем, два скрепленных взаимно перпендикулярных маятника в зависимости от направления ускорения будут давать различные показания. Для учета этого обстоятельства требуется представление о «временной площади». Добавив третий маятник, перпендикулярный к первым двум, необходимо ввести представление о «временном объеме».
Уяснив себе суть изменений, происходящих при перемещении по горизонтали и вертикали, поняв, что смещение вверх на одну клетку эквивалентно изменению величины за единицу времени, а вправо – переносу величины на единицу длины, нетрудно заполнить все клетки кинематической системы. Скажем, в столбце L1
переход на этаж над единицей длины дает линейную скорость, то есть изменение длины во времени. Поднявшись выше, мы получаем изменение этой величины за единицу времени – то есть линейное ускорение. Еще выше расположено логически представимое, но не использующееся в физике понятие – изменение линейного ускорения за единицу времени, и т. д. Ниже клетки L1
T0
расположена встречающаяся в физике, но не имеющая специального названия величина – время, необходимое на изменение длины на единицу. Построив точно таким же образом все остальные столбцы, мы получим таблицу, в которой перемещение по диагонали вправо и вверх эквивалентно умножению исходной величины на линейную скорость.
Не правда ли, стройная и логическая система! Но в ней скрыты два подводных камня. Прежде всего: при выбранных нами пределах в целиком заполненной таблице насчитывается сто физических величин. По самому скромному подсчету, более половины из них пока не используется в науке. В то же время, как мы уже указывали, в научном обиходе сейчас применяется не менее 200 основных и производных единиц измерений, большей части которых мы не видим в нашей логично построенной системе.
В чем же дело? Почему возникает столь значительное количественное расхождение?
Причина в том, что одну и ту же размерность могут иметь различные физические величины. Скажем, в метрах измеряется и длина отрезка, и путь, пройденный точкой, и величина радиус-вектора, соединяющего движущуюся точку с полюсом. Поэтому каждая клетка таблицы определяет не одну, а целый набор разных физических величин, имеющих, однако, одинаковую размерность.
Второй подводный камень – отсутствие привязки таблицы к физической реальности, выражающееся в том, что в ней есть пока только «изменения», «скорости» и «ускорения», но нет таких фундаментальных величин, как масса, сила, энергия и др. Однако метод преодоления этой трудности был подсказан Дж. Максвеллом еще в 1873 году, когда он в своем трактате «Электричество и магнетизм» установил, что размерность массы – L3
· Т–2
. Основой для этого важнейшего выражения послужил третий закон И. Кеплера, чисто эмпирически установившего: отношение куба радиуса орбиты, по которой планета обращается вокруг Солнца, к квадрату периода ее обращения есть величина постоянная. Позднее Ньютон объяснил, что означает этот факт: формула доказывала существование некой величины, которую он назвал массой и которая сохраняется постоянной в планетных движениях...
От массы нетрудно перейти к размерности импульса – количества движения – путем умножения ее на скорость: для этого достаточно переместиться в клетку по диагонали вверх и вправо. Клетка вверх по вертикали дает изменение импульса во времени – силу, а клетка по горизонтали вправо – две величины, получающиеся умножением импульса на длину. Если произведение векторное, мы имеем векторную же величину – момент импульса. А если скалярное – то опять-таки скалярную, часто используемую в теоретической физике, – действие.
Умножив силу на путь, то есть, переместившись по горизонтали вправо, получаем одну и ту же размерность для скалярной величины – работы или энергии – и для векторной – момента силы. Поднявшись по вертикали вверх, что означает изменение энергии за единицу времени, получаем размерность мощности, и т. д.
Таблица законов природы
природы – значит установить экспериментально круг явлений, в которых сохраняется постоянной одна или несколько из находящихся в таблице величин. А поскольку все физические величины, в том числе и могущие оставаться в тех или иных процессах постоянными, находятся в ней, то можно утверждать, что в каждой ее клетке, образно говоря, гнездятся как известные, так и не открытые еще законы природы.
2
T–41
T–2
– закон колебательного движения маятника, суть которого состоит в постоянстве ускорения силы тяжести, и т. д. Но наиболее важную роль в истории развития науки сыграли так называемые законы сохранения...
Один из них мы уже знаем – это установленный Кеплером в 1619 году закон постоянства массы в планетных движениях. Однако он не был первым в истории законом сохранения. Таковым стал знаменитый второй закон Кеплере, датированный 1609 годом: секториальная скорость – площадь, ометаемая в единицу времени радиус-вектором планеты, движущейся по орбите, есть величина постоянная.
Третий в истории закон сохранения – закон сохранения импульса – открыл в 1686 году И. Ньютон, и после этого наступил более чем столетний перерыв. Лишь на переломе веков – в 1800 году – П. Лаплас оповестил о четвертом законе – законе сохранения момента импульса. Спустя 42 года Р. Майер открытием великого закона сохранения энергии продолжил ряд, а Дж. Максвелл в 1855 году завершил его, доказав закон сохранения мощности, необходимой для существования постоянного поля.
Нетрудно убедиться, что таблица Р. ди Бартини и П. Кузнецова позволяет упорядочено расположить эти шесть законов. Они идут от безразмерных констант по диагонали вправо и вверх, характеризуя тенденцию к включению в физическую картину мира все более сложных понятий. Причем новые, более сложные величины включают прежние законы сохранения на правах частных случаев, открывая такие классы явлений, в которых они утрачивают свою силу.
XX век распространил сферу применения физических величин на процессы экономической жизни, в которой потребовались надежные критерии оценки работы промышленных предприятий и транспорта. И оказалось, что здесь тоже действуют законы сохранения. Первый из них был сформулирован Р. ди Бартини и П. Кузнецовым к 1973 году, как закон сохранения мобильности – так они назвали скорость переноса мощности L6
· T–6 у дел, о ней нет и речи, здесь требуется другая мощность – на транспортировку автомобильной или железнодорожной платформы, доставляющей экскаватор к месту работы. Это обстоятельство и учитывается мобильностью – критерием с размерностью L6
· Т–6
.
Мобильность наличного парка экскаваторов есть величина постоянная, поэтому при планировании земляных работ сроки должны назначаться так, чтобы она не оказалась превышенной. В противном случае руководитель может оказаться в положении короля из сказки Сент-Экзюпери. «Если я прикажу моему генералу обернуться чайкой, и он не выполнит этого приказания, то кто будет в этом виноват: я или он?» – допытывался король у Маленького Принца. И получал на это совершенно справедливый ответ: «Вы, ваше величество!»
грузов на длину пути – так называемые тонно-километры L4
· Т–2
. Из этой величины логично выводится размерность часовой производительности транспорта – L4
· Т–3
– произведение веса на скорость. Нетрудно видеть: в этом критерии неявно предполагается, что если вес поезда увеличить в 2 раза, то скорость его при той же мощности должна уменьшиться во столько же раз. В действительности этого не происходит, а скорость уменьшается всего в 21/3
, то есть в 1,26 раза.
Причина такого сильного расхождения – некорректность выбора критерия для оценки транспортных услуг, и таблица позволяет предложить для этой цели иную величину. Работа транспортного средства пропорциональна произведению мощности на время – кубу скорости и массе. Поэтому легко убедиться, что критерием оценки работы транспорта должна быть величина
L3–23
· Т–3
· Т ≈ L6
· Т–4
.
В 1980 году П. Кузнецов и Р. Образцова предложили использовать в экономических расчетах эту величину, которой они дали название «тран».
Из размерности трана можно усмотреть, что он учитывает массу груза, длину пути и квадрат скорости, в то время как в тонно-километры скорость вообще не входит. Поэтому оплата труда, скажем, в железнодорожном транспорте при оценке с помощью тонно-километров совершенно не учитывает скорости доставки грузов и пассажиров, то есть не поощряет строгого соблюдения расписания. Применяя траны, мы приходим к такой системе стимулирования, которая требует точного выполнения графика движения поездов...
жидких и газообразных тел требует включения в таблицу новых механических величин, не имеющих применения в динамике точки. Учтя некоторые более сложные и тонкие детали, можно включить в таблицу электромагнитные, тепловые и световые величины.
Вот почему расширение поля физических представлений ведет как к заполнению пустующих клеток таблицы, так и к «разбуханию» уже заполненных. В последнем случае мы сталкиваемся со своеобразными, попадающими в одну и ту же клетку таблицы величинами.
Выработка новых физических понятий на основе теории размерностей, а также осознание глубинных связей между «размерными изотопами» еще далеко не завершены, и не исключено, что до окончания нашего столетия наука будет обогащена открытием новых, пока еще не обнаруженных в природе законов сохранения.
|