Обобщённая задача о фальшивых монетах

Обобщённая задача о фальшивых монетах М. Мамикон Многим читателям хорошо известна следующая классическая задача о фальшивых монетах, поражающая тем, что она разрешима: Задача о мешке с фальшивыми монетами Имеются N мешков и в каждом из них достаточное количество монет. Все мешки, кроме одного, содержат одинаковые «нормальные» монеты, в одном же мешке все монеты фальшивые. Известен вес нормальной монеты и известно, что фальшивая монета на 1 грамм легче нормальной. Требуется при помощи одного взвешивания на весах с разновесками обнаружить мешок с фальшивыми монетами. до веса такого же количества нормальных монет (который нам известен) на количество граммов, равное номеру именно того мешка, который содержит фальшивые монеты. (Эта задача решается – правда, хитрее – и в том случае, когда вес нормальной монеты неизвестен и разновесков нет. Подумайте, как.) Раздумывая над этой задачей, я пришёл к более удивительному выводу о том, что одним взвешиванием может быть решена и более сложная задача: Задача о нескольких мешках с фальшивыми монетами Пусть в условиях предыдущей задачи имеется не один, а несколько мешков с фальшивыми монетами, причём их количество неизвестно. Требуется при помощи одного взвешивания на весах с разновесками обнаружить все эти мешки. Решив и эту задачу, я осмелился на дальнейшие усложнения. Задача оказалась разрешимой при ещё более удивительных условиях: Задача о мешках с тяжёлыми и лёгкими монетами Среди N мешков имеются некоторое (неизвестное) количество мешков с тяжёлыми и некоторое (тоже неизвестное) количество мешков с лёгкими монетами. Лёгкая монета на 1 г легче нормальной, а тяжёлая, наоборот, на 1 г тяжелее нормальной. Требуется при помощи одного взвешивания на весах с разновесками узнать, какие мешки содержат нормальные монеты, какие – тяжёлые, а какие – лёгкие. (Напомним, что внутри данного мешка все монеты одинакового веса и что вес нормальной монеты известен.) Разрешимость и этой задачи вдохновила меня на дальнейшее обобщение, которое уже напрашивалось само собой. До сих пор мы фактически рассматривали задачи о двух или трёх сортах (типах) монет, поэтому естественна следующая Задача о мешках с разносортными монетами и нам оно неизвестно. Монеты разных сортов отличаются друг от друга по весу, причём на целое число граммов. Вес монеты каждого сорта нам известен. Требуется при помощи одного взвешивания на весах с разновесками определить, к какому сорту принадлежат монеты в каждом мешке. Мы предлагаем читателю попробовать самостоятельно решить предыдущие задачи, прежде чем перейти к излагаемому ниже решению обобщённой задачи о фальшивых монетах. Решение задачи о мешках с разносортными монетами Перенумеруем последовательно мешки от 0 до N – 1. Обозначим вес самой лёгкой монеты через m. Пусть мешок под номером j содержит монеты веса m + Δj, то есть Δj определяет сорт монеты в j-м мешке. Пусть в зависимости от сорта монеты величины Δ могут принимать (целые) значения 0, 1, 2, ..., меньшие k, то есть количество сортов монет равно k. Теперь возьмем из мешка с номером j количество монет, равное k j, то есть из первого мешка – одну монету, из второго – k, ..., из последнего – kN–1 монет. Всего взятых монет будет N–1 M = ∑ k – 1 . j=0 Их суммарный вес S на весах будет равен N–1 N–1 S = ∑ (m + Δj )k j = m·M + ∑ Δj k j. j=0 j=0 Поскольку всегда Δj < k, вторая сумма в правой части N–1 Δ = ∑ Δj k j = Δ0 + Δ1 k + Δ2 k2 + ... + ΔN–1kN–1 j=0 представляет собой перевод числа Δ из десятичной системы счисления (в которой работают весы) в систему счисления с основанием, равным k. В этой системе Δ записывается в виде числа со следующей последовательностью цифр: Δ → ΔN–1 ΔN–2... Δ2 Δ1 Δ0 . (*) Мы видим, что каждая цифра этой записи показывает сорт монеты в последовательности мешков, взятой в обратном порядке. В этом состоит суть нашего решения. Итак, из суммарного веса S всех выбранных M монет вычитаем величину Mm – вес того же количества монет наилегчайшего сорта и оставшееся число Δ = S – Mm переводим в систему счисления с основанием k (разлагаем по степеням k, начиная со старшей). Тогда мы получим число вида (*). Его j-я цифра с конца (счёт ведётся от нуля) показывает сорт монеты Δj в мешке под номером j. Пример В приводимой ниже таблице указаны веса монет, содержащихся в пяти мешках. Сверху дана нумерация мешков справа налево (это и есть обратный порядок), а под мешками указаны сорта монет. Они являются искомыми. 4 3 2 1 0 11 г 12 г 10 г Δj 1 2 0 2 0 сорт монеты Δj 81 27 9 3 1 количество взятых монет kj В этом случае k = 3 и количество взятых монет соответствует степеням тройки, как показано в последней строчке таблицы. Всего мы взяли M = 121 монету. Их общий вес на весах будет равен S = 1351 г. Вычитая величину M·m = 121·10, получим Δ = 141 г. Переводя Δ в троичную систему Δ = 1·34 + 2·33 + 0·32 + 2·31 + 0·30, получим число 12020, последовательность цифр которого совпадает с исходной последовательностью сортов, приведённой в таблице. Если k = 10, то надобность перевода Δ из одной системы счисления в другую отпадает. Для случая k = 3 существует несколько отличная от нашей интерпретация решения задачи. Найти её мы предоставляем читателю. солдатами с целью их дезорганизации и что те потеряли над её решением более 40 000 человеко-часов. В книге Д. Бизама и Я. Герцега «Многоцветная логика» (М., «Мир», 1978 г.) рассматривается также случай двух мешков с фальшивыми монетами и приводится решение этой задачи при помощи двух взвешиваний.