Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Уравнение: X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1) 1 , X2 , X3 , X4 . Известно, что: X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2) X1 X21 X3 + X1 X42 X3 + X2 X4 + X3 X4 = T, (3) X1 X2 X31 X2 X4 + X1 X3 X4 + X2 X3 X4 = –P, (4) X1 X2 X3 X4 = Q. (5) Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем: X1 X23 X4 = T + (X1 + X2 )2 , (6) (X1 + X2 )(X1 X2 – X3 X4 (7) Составляем квадратное уравнение: Y2 – (X1 X2 +X3 X41 X2 X3 X4 = 0, (8) где Y1 = X1 X2 , Y2 = X3 X4 . Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2 )2 перепишем уравнение (8) в виде: Y2 Решая уравнение (8) получаем: X1 X2 = 1 /2 (T + A221/2 ), (9) X3 X4 = 1 /222 – 4Q)1/2 ). (10) Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем: X1 X2 – X3 X4 = ([T + A]21/2 . (11) Учитывая, что A1/2 = X12 перепишем формулу (7) в виде: X1 X2 – X3 X41/2 . (12) P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . (13) A32 + (T22 = 0. (14) Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1 +X2 )2 и двух квадратных уравнений: X2 – (X1 + X2 )X + X1 X2 = 0, (15) X2 – (X3 + X4 )X + X3 X4 = 0. (16) 12 = – (X3 +X4 ) перепишем ф-лы (15), (16) в виде: X2 1/2 X + 1 /2 (T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0, (17) X2 + A1/21 /22 – 4Q)1/2 (18) Полное уравнение четвертой степени X4 + KX32 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.