Реферат/сочинение: "Задачи линейной алгебры"

Задачи линейной алгебры

Реферат подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам

Министерство науки и образования Украины

ДГМА

Краматорск

2003

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ a _ij , а иногда с разъяснением: А = a _ij = ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы

(1. 1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1. 1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1 а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Основные операции над матрицами и их свойства.

Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц A = a _ij , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и В = b _ij , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = c _ij (i =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij которой определяются по формуле

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1. 2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = a _ij , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = c _ij (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле:

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1. 3)

Непосредственно из формулы (1. 3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A + (–1) В.

Произведение матриц или перемножение матриц.

_ij , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = b _ij_ij (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле:

× В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Формула (1. 4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пвресечении i-й строки и j-го столбца матрицьi С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

× =

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п имеет вид

D = (1. 5)

где d₁ , d₂ , …, d_n —какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂ = … = d_n

Среди всех диагональных матриц (1. 5) с совпадающими элементами d₁ = d₂ = … = d_n нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

E = O =

В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что

А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1. 6)

Первая из формул (1. 6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1. 7), но и элементарно проверяемое равенство

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).

Блочные матрицы

Предположим, что некоторая матрица A = a _ij случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыi А = A _ab элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу

элементами которой служат следующие блоки:

блоки.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

A = (1. 7)

Если порядок n матрицы (1. 7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

Если далее порядок п матрицы (1. 7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

A = (1. 8)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁ и обозначаемое одним из символов:

Итак, по определению

(1. 9)

Формула (1. 9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1. 8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.

Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Рис. 1 Панель инструментов Матрицы

введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)

После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,

или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.

Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.

Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.

из этих функций будут описаны позже.

Транспонирование

Рис. 2

Сложение

Смена знака матрицы

Умножение

При умножении следует помнить, что матрицу размерности m x n допустимо умножать только на матрицу-размерности n x p (р может быть любым). В результате получается матрица размерности m х р.

Рис. 6 Умножение матриц

Обратите внимание, что попытка перемножить матрицы A и B несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение, появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов второй матрицы.

Рис. 7 Умножение вeктopa и строки

Рис. 8

Определитель квадратной матрицы

Matrix (Матрица) (рис. 1) или набрать на клавиатуре <> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определить уже введенной матрицы, нужно выполнить следующие действия:

Переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизон-тальный отрезки синего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).

Ввести оператор нахождения определителя матрицы.

Рис. 9 Поиск определителя квадратной матрицы

Модуль вектора

Рис. 10 Поиск модуля вектора

Скалярное произведение векторов

Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ который является общеупотребительным символом векторного произведения.

Рис. 11 Скалярное произведение векторов

умножения см. в листинге на рис. 12.

Рис. 12 Особенности скалярного произведения векторов

Векторное произведение векторов

Задание 1.

Ответ: