Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ Экзаменационная программа n. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn. 3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах. 5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х а. 7. Теорема о пределе сложной функции. 9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда 17. Признаки Даламбера и Коши. 19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и . Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции. 23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями. 25. Производная обратной функции. 26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация. 32. Теорема Коши. 33. Правило Лопиталя. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции. 37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции. 39. Асимптоты. 40. Первообразная и ее свойства. 42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. 47. Свойства определенного интеграла, 49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. 52. Площадь плоской фигуры. 55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. #1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. R'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX   >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции  опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0  x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x)  x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y)  x,y,z X в этом случае функция  метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у #2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т. п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1) #3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>0 $n1 при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/ xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xnТ} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аNа. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена. #4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т. к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/ при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®Ґ)Т} Если n0:n>n0 aNbNcNLim aNLim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ => cN<(a+E) &  n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т. е.  n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xNN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => n0’: n>n0’ хN-х0”: n>n0” yN-ymax{n0’, n0”}: хN-х<х-у/2 & уN-у<х-у/2, т. е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием. #5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0  =(E)>x 0xaf(x)=} Если E{бол}>0  =(E)>0 x 0xaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0  =(E)>x 0xaf(x)=-} Если E>0  =(E)>x 0xf(x)=A} Если >0  =()>0 : x x> вып f(x)-A< {O limxf(x)=} Если E{бол}>0  =(E)>0 : x x> вып f(x)>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>x a(-)xaxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного  1) =()>x 022()>0 при x 02 f(x)-B<  f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2), тогда при х уд. 0xaf(x)=A, то для =1 >x 0xaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если limxaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при ха {Док} Возьмём E>0  =(E) >x уд. 0 1/f(x)0 x, уд. 00 тогда  2>0 при 0E  1/f(x) –бб при ха {T} Сумма двух б. м при xa есть бм при xa {Д} Пусть limxaf1(x)=0 limxaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>х 0x, 0xaa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть limxag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т. е.  >0 х U(a,1) g(x)< >0   2>0 при x, 0xaf(x)g(x)=0 #6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x)  f(x)=A+(x) ;Где (x) – б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем  >0   завис от  такое что ()>х, 0 /f(x)-A/< =>(x)/=/f(x)-A/< таким образом (x) – бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) – бмф при ха тогда при  >0  >х удв 0(x)/ < => lim(ха)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ lim(ха)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т. к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(ха)(ха)f2(x)=b2 и b1 1)1=c-b1>0 1>хU(a,) /f1(x)-b1/<1 = c-b1 =>f1(x)0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/<=b2-c => c-b2 хU(a,) => f1(x) f1(x)(ха)f1(x)=b1 lim(ха)f2(x)=b2 и  U(a,) так что хU(a,) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limxa(x) ; limxaf(x) причём limxa(x)=A limxa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда limxaf(x)=A {Док-во} E>0  2>0 x 00 x, 0 #7limxalimyAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда limxayAg(y) {Док-во} E>0 т. к.  limyAg(y)=B  >0 y , 0xaдля Е1=  <1 x , 0xag(f(x))=B=limyAg(y) #8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если  C>0 f(x)C(g(x)) x  E f(x)=O(1) на E  f(x) ограничена на Е т. е.  С>C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limxf=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если  U(a) f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел  limxag(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и  limxaf(x)/g(x)=1   E(x), E(x)0 при xa f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limxaE(x)=0  f(x)/g(x)=1+E(x)  limxa f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б. м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б. м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б. м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б. м. к-ого относительно б. м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и gk(x) б. м. одного порядка при xa №9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для  >0  =()>h /h/< /f(a+h)-f(a)/<  Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0),  f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limxa+0f(x) (f(a-0)=limxa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а  f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a)<0 {Док-во} возьмем  =/f(a)//2>0 тогда  >0 такое что xU(a) =>< =/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=> xU(a) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> xU(a) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 =><-c чтд #10 интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b  X , a0  по теореме Больцана –Каши  с(a,b) (c)=0  f(c)-C=0 f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения . [a,b] f()=minf(x) x[a,b]; f()=maxf(x) x[a,b] f()<=f(x)<=f() x [a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХRn называется равномерно непрерывной на Х если для >0 =()>0 x’,x’’X,(x’,x’’)<f(x’)-f(x’’)<; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т. к. для >= x’,x’’R, x’-x’’<= {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём. #11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/< так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в т а  >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => #12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B]  x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b]  мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал  то оно справедливо для +  ф-ция  - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В  х0=(y0)=b Возьмём  #13 f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h limh0h=0; 3)f(x)=xnN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций  по индукции xn=xn-1x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1m+b1xm-1+..+bmxR, sinx<=x Рассмотрим еденичную окружность.(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0<=x<=/2 т. к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки  BB’<=BAB’ ; BB’=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx  2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -/2<=x<0 то sinx=-sinx=sin(-x)<=-x=x ; 0<-x<=/2 Если x>/2  sinx<=1</2h0f(x)=cosx+h-cosx=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2h/2 h0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 f=(ax+h-ax)=ax(ahh0ax(ahax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр. #14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп  сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim(n)an=0 док-во если ряд an сх то  lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1) тогда lim(n)an = lim(n)(Sn-S(n-1)) = lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an   >0  n такое что при n>n и р Z p>n+1+an+2+an+p/<; {} (n=1..)1/n( в степ )  ><1 расход; n<=n Пусть <=1  1/n>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)> для =1/2 при  n  p=n-1 вып-ся нер-во an+…+an+p>  ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8k-1+1)+,,,+1/(2k)); 1/(n+1)+1/(n+2)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n<1+1/2+1/2)  {S2kn k n<2k  Sn2k ряд сход. #15 {Св-ва сходящихся рядов} Если +n=1k=m+1+ak-остаток ряда. Обозначим Аn(1,+)an A’s=am+1+…+am+sk=m+1+’s=Am+s-Am т. к. limnaAn  limS+ limS+’S=lims+Am+S-Am  k=m+1+ak cx-cя; Пусть k=m+1+m+S=AS’+Am; n=m+s  An=A’n-m+Am (n>m) Т. к. lims+’Slimn+’n=m  limn+A=limn+An-n+Am n=1+an ряд сх. {Следствие} Если ряд (1,+)an сх-ся и n=(k=n+1,+)ak limn+n(1,n)ak, A=limn+An  A=An+nn limn+n=A-limn+An(n=1,+)an и (n=1,+)bn сх-ся и -число, то (n=1,+)(an+bn) сх-ся и (n=1,+)an сх-ся {Д} Пусть Аn=(k=1,n)ak, Bn=k=1nn+n+limn+(An+Bn)=A+B, limn+An=A Т. к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда (n=1,+)(an+bn) и An=a1+…+an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. #16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и  no такое что при n>  M> (k=no+1..)ak сх-ся =>(k=1..)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n) an/bn =k то; 1). 0<=k<+ из сход bn следует сходимость an; 2). 0 =1  no такое что при n>no an/bn an<(n+1)bn n>no => из сх bn следует сходимость an =>aк сходится 0<к<=+ =к/2 (к<+) и =1 к=+  no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+) an/bn>1; k=+ => при n>no аn><+) => из расход bn =>аn расх =>ак а>bn (k=+)  Утв. #17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} an an><=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т. к. (n=1,+)qn-1 cх-ся как бесконечная => (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>limn+an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k><1 >0 k+<1 n0 n>n0 an+1/ann=1+an сх-ся. Пусть k>1; k<+ >0 k->1  n0 при n>n0 an+1/an>k->1  n=1+an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть  lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход #18 {O} Знакопеременными рядами называют n=1+(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд (-1)n-1 сn cn><=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S; Из вышесказанного следует lim(n)Sn=lim(n)S2k = lim(k)S2k+1=S {Док-ть самим} #19 Ряд n=1an. Если an – cх а an - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд n=1+an -абс сх  n=1+аn -сх-ся  по критерию Коши >n при n>n и pZ p>=0 вып-ся нер-во: an+an+1+…+an+p<=an+…+an+p<  по критерию Коши  n=1+an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если n=1+an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды n=1+n=1+ с произвольными членами} При исследовании ряда n=1+n+<1 ряд еn=1+Ґan- сход при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>n=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еnan; k=limn+ nan; при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>n=1+Ґ #20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для > n при n>n вып zn-z0< ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limnzn >0 n при n>n =zn-z0< Т. к. zn-z0=((xn-x0)+(yn-y0)) zn-z0>=xn-x0 и zn-zo>= yn-y0  при n>n<=zn-z0< ; yn-y0<=zn-z0<  по опр. limnn того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=+i Необх. и достаточно чтобы сход ряды (n=1,+)xn и (n=1,+)уn и имели своими суммами числа  и  - соответственно Sn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)yk и если ряд (n=1,+)zn –сх то limn+zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn  т. к. (n=1,+)zn –сх  (n=1,+)xn сх и (n=1,+)уn –сх  limn+xn=limn+yn=0 limn+n+xn+ilimn+(n=1,+)zn –абс сход  (n=1,+)zn -сх  Т. к. xn<=(xn+yn)=zn, yn<=zn (zn=xn+iyn)  по признаку сравнения (n=1,+)xn -cх и (n=1,+)yn -сх  (n=1,+)xn –сх и (n=1,+)уn-сх  (n=1,+)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть (n=1,+)xn и (n=1,+)уn сх zn=(xn+yn)<= (yn+2xnyn+yn) <= (xn+yn)=xn+yn то по признаку сравнения (n=1,+)zn - cх-ся. #21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние 0; f'(x0)=limx0(f(x0+x)-f(x0))/x {O} A=const Вырожение Ах –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение х обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т. о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть y=f(x0+x)-f(x0) т. к.  limx0y/x=f’(x0) y/x=f’(x0)+(x), где (x) 0 при х0  y=f’(x0)x+(x), где (х)0 при х0  y=f’(x0)x+(x)x limx0y=0  в f(x)-непрерывно в т. х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т. х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение у=f(x0+x)-f(x0), x0+xU(x0) можно представить в виде у=Ах+о(х), х0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0  y =f(x0+x)-f(x0)= Ax+o(x), x0; limx0y/x= limx0x)/x)=A; т. о. в т. х0 f’(x0)=limx0y/x=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 f’(x0)=limx0y/xy/x=f’(x0)+(x), limx0(x)=0  y=f’(x0)x +(x)x y=f’(x0)x+o(x), x0  ф-ция f- дифференцируема в т. х0 №22x(a,b), y0=f(x0), y0+y=f(x0+x) M0(x0,y0) M(x0+x,y0+y){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(x)(x-x0), k(x)=y/x; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) у0 при х0 M0M=(x+y)0 при х0 В этом случае говорят что MM0 {О} Если  limx0x)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(x)(x-x0) получается из ур-ния k(x)=y/x при х0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т. к. k(x)=y/x, то k0=limx0x)= limx0y/x=f’(x0)  уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tg; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(x)(x-x0)  касательная есть предельное положение секущей при M0M т. к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т. е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали #23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V №24 Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=(x)  дифф. в точке х0 .   y0=(x0) тогда сложная ф-ия z=f((x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’yy’x=f’(y)’(x) ; dz/dx=dz/dy  dy/dx {Док}Т. к. z=f(y) - дифф. в точке y0 z=f’(y0)y+(y); Т. к. y=(x)- дифф. в точке х0 y=’(x0)x+(x); z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y); Т. к y=(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке  (x0y0). (x)=f’(x0)(x)+(y); limx0/x; limx0(x)/x= limx0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]= limx0(y)/x= limx0(y)/y limx0y/x=’(x0); (f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x), где limx0(x)/x=0 (f((x)))’x’x=f’(y0)’(x0) #25’(x)0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’()0, равная '(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. xx0yy0x0 y0 y/x=1/y/x ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limx0y=0x0y0 f’(x0)=limx0y/x= limy01/y/x=1/limy0x/y=1/’(y0) ; f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0) #26 v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x); y’=uv(v’lnu+vu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const y=c-c=0limx0y/x(C)’=0 ; 2) y=sinx y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/1-x 6)(arccosx)’=-1/(1-x) 7) (arctgx)’=1/(1+x) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x)’=x-1 #27 (n)(n-1)’ т. о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)nf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn(n) = u(n)n1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)1n u(n-k)v(k) + uv(n) =k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!(n-k)! , 0! = 1, v(0) (n) = k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. #28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t’(x0)=y’t(t0)t’x’x’t’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’xx=0=(y’t/x’)’ xx=x0=(y’t’ttt=t0t’xx=x0’’tt(t0)x’t(t0)-y’t(t0)xtt’’(t0)/(x’t(t0)) #29 Теорема (Ферма). f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с’(c)=limxx)-f(c))/x ;Так как у нас f(c)>=f (x) xU(с), то для достаточно малых x> 0 ;(f(c+x)-f(c))/x откуда в пределе при x0 получим, что f’(с)<=0. Если же x<0, то (f(c+x)-f(c))/x>x0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. #30Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка0(а,b), f постоянна на [а, b], то для всех c(a, b) производная f'(c)=0. Будем теперь считать, что f. Так как f непрерывна на [а, b],x1 [а, b],f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a)[а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) х(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х. #31 Пусть функция f(x b]b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с tg=k=(f(b)-f(a))/(b-a)  существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т. к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b) и F(a)=0=F(b)  по теореме Ролля  с(a,b) F’(c)=0  f’ Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) х(a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с(а, b). b),с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b)) #32Если функции f(x) и g(xg'(x) c(a, f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) g(b)-g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на (а, b) и F(aF(b(a, b),’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы. #33xa+0f(x)=limxa+0’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т. к. в т. a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где axa+0xa+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+) c>0 ; 2) limx+f(x)=limxa+g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+) g’(x)0 ;4) limxa+’(x)/g’(x)=k Тогда limxa++t0 по условию 2) limt0f(1/x)= limt0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt0’(1/t)/g’(1/t)=k по т1 limxa+xa+’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limxa+0f(x)=+; limxa+0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k #34(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)(n)(x0)(x-x0)(n)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f(n)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n(n-1)(n-2)…An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn/2!+…+f(n)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(n)n(x)=f(x)-Pn(x) Т. к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в () x0 то limxx0rn(n-1)xx0 (rn(n-1)(x))-rnn-1nn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limxx0rn(x)/(x-x0)n= limxx0rn’(x)/n(x-x0)n-1xx0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 rn(x)=o((x-x0)n),xx0 #35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex(k)(x)=ex, f(k)x/2!+…+xn/n!+o(xn), x0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)mm-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-12m0; cosx=1-x/2!+x4/2!-x6mx2m2m+1),x0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x), f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)k-1k ;f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)! Подставим в формулу Тейлора  l(1+x)=x-x/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn0 ; 5)f(x)=(1+x) ’(x)=(1+x)-1, f’’(x)=(-1)(1+x)-2; f(k)(-1)…(-k+1)(1+x)-k ;f(k)(-1)…(-k+1); (1+x)x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xnn0 #36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0(a,b), x>0, тогда f(x0+x)-f(x0)>=0; x0; (y<=0)  y/x>y/x<=0)  f’(x0)=limx0y/x>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть  x(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a0, f’(c)>’(c)<=0) f(x2)-f(x1)><=0) f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1))  ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>(a,b) (f’(x)<0,x(a,b))f’(c)>0 (f’(c)<0)f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0) #37{Т}Пусть () x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т. к. (.) x0 –экстремум   U(x0,)  xU(x0,) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т. е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр. U(x0,) по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т. е.  > x(x0,x0+] f’(x)<0 (or f’(x)> x(x0-,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x(,x0+); f’(x)>0,a для x(x0-,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x(x0-,x0) f’(x)<0, а для x(x0,x0+) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x(x0-,x0) f’(x)>0 для x(x0,x0+) f”(x)<0. По теореме Лагранжа f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)  между х0 и х Если х>x0  x-x0>0 x0<0f> f(x) #38x1,x2 X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где  q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10,q2>0, q1+q2=1 тогда т. х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1 f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу хх1 или хх2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) xx1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) xx1 f’(x)<=f’(x2) производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’() Причём т. к. (f’(1)<=f’(2)  выполнено нер-во 1  ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая)  f’ – возрастает(убывает)  f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+(x)(x-x0), (x)0 при xx0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2(x))(x-x0)/2! ; Если предположить что f’’(x)0 то т. к. (х)0 при хх0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x)  при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию  f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ;  лежит между х и х0) =f’()(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа  леж ме/ду  и х0)=(x-x0)(f’()-f’(x0))=(x-x0)(-x0)f’’(); Т. к. т-ка  лежит между х0 их то т-ки х и  лежат по одну сторону от т. х0 (х-х0)(-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(); Т. к. т.  лежит между  и х0 то т-ки х и  лежат по одну сторону от т. х0  Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак  х0-т. перегиба. #39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х+ Аналогично при х-{}Найдём расстояние до пр L (x)=f(x)-ax-b/(1+a) Т. к. прямая L –является асимптотой то limx+(x)=0 limx+(f(x)-ax-b)=0 limx+(f(x)/x-a-b/x)=0 limx+ a= limx+x+x++ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limxх0-0f(x)= limxх0+0f(x)= то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой. Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и (x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и (x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию (х)=F(x)-(x) для неё ’(x)=F’(x)-’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2X по теореме Лагранжа (х2)-(х1)=’(c)(x2-x1)=0 т. е (x2)=(x1) (x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная. #41f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство (f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т. к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/aaF’(ax+b)=f(ax+b); #42: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда f(x)dx=f((t))’(t)dt+C=f((t))d((t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл V(x)U’(x)dx=U(x)V(x)-U(x)V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т. к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (UV)’=U’V+UV’U’V=(UV)’-UV’; Т. к. существует итегралл UV’dx по условию Если  (UV)’dx=UV+C то U’Vdx=(UV)’dx-UV’dx=UV-UV’dx+C  производную постоянную к U’Vdx=UV-UV’dx; Пример exsinxdx=exsinx-ex’(x)=ex V’(x)=sinx=exsinx-(excosx-exsinxdx); exsinxdx=exxexsinxdx; 2exxsinx-excosx exsinxdx=(exsinx-excosx)/2 #43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1…(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)Pn(z)=(z-a)mQn-m(z) a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)Pn(x) xR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т. к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом Pn(x)=(x-a1)1…(x-ar)r(x-z1)1…(x-zs)bs(x-zs)s=(x-a1)1…(x-ar)r(x+p1x+q1)1…(x+psx+qs)s; Pj/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arR, Pj,qjR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)mQ1(x), Q1(a)0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)mQ1(x), Q1(z1)0, p/4-q<0; то сущ M и NR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x+px+q)m+px+q)m+px+q)m1…(x-ar)r(x+p1x+q)(x+psx+qs)psR,p1q1.. psqsR, Pj/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j)I Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,I; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)1+..+A1(1)2(1)/(x-a2)2+…+A2(2)/(x-a2)2+(M1(1)x+N1(1))/(x+p1x+q1)1+…+(M1(1)x+N1(1))/(x+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x+ps+qs)s()x+Ns(s))/(x+psx+qs). ; {}Из этого следует что от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.Adx/(x-a)=Alnx-a+C ; 2.Adx/(x-a)m=A(x-a)-mm-1(Mx+N)dx/(x+px+q)=(M/2)ln(x+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.(Mx+N)dx/(x+px+q)m+px+q)m-1dt/(t+a)m #44 Ф-цию вида R(x,m(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tmm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)  R(x,m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)=R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида R(x,ax+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t(a)+b –рациональная функ-ция от t Ч. Т. Д ;Если а<0 с>0 (ax+bx+c)>ax+bx+c=xt+c {}{} #45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-R(x, у)ху, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл. Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx). где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и,t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Qи,и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, vи, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx). #46[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,i удовлетворяющее условию x0=a(f,1,…,i)=I=1iI)x; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред  ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается abf(x)dx Если  E >0 E=(E)> мелкости <Ei[xi-1,xi], I=1,…,i I=1ii)x-I 0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение  отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек  {njo}>nnjo Рассмотрим сумму I=1if(I)xi=f(io)xjo +I=1i)xi=f(jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim(f,1,…,0n,..,i)=lim(f(jo)xjo+B)= m>1,…,jo(n),…,i)>m Отсюда , что интегральная сумма при мелкости разбеения 0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что  I=lim0E>E>, <Ei выполняется нер-во -I-I+I<-I+I E1,..,i>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч. Т. Д. #47аa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред baabf(x)dx {Св-во1} abdx=b-a действительно ф-ция f(x)1 на [a,b] по этому при любом разбиении  и любом выборе (.) i f(i)=1=i=1if(i)xi=i=1ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-a  lim0ab(f(x)+g(x))dx= ab abg(x)dx {док} Пусть ={xi} i=i i=o i[xi-1,xi] ,тогда E(f+g)=i=1ii)+g(i)xi=ii=1f(i)xi+ii=1i)xi=lim0(f)=abf(x)dx; lim0(g)=abg(x)dx ; lim0ababab0(f+g)=abab ф-ция f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aтbf(x)dx=aтbaтbf(x)dx=aтсf(x)dx+стbf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] [a. b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inff(x)>0 ( M>0  x[a,b] f(x)>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и х[a,b] f(x)0 тогда aтbf(x)dx0 #48<=f(x)<=M, для х[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т. е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ  mM и aтbf(x)g(x)dx=aтbf(x)M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; Т. к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maтbaтbMaтb0; maтbg(x)dxaтbMaтb0; Если aтbaтbf(x)g(x)dx=0  рав-во aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx выполнено при любом ; Пусть aтb0  при g(x)0 aтbg(x)dx>0, а при g(x)0 aтbg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aтbg(x)dx в обоих случаях получим : maтbaтbM; Пологая =aтbaтbg(x)dx  получаем утверждение теоремы aтbf(x)g(x)dx=aтb[a,b] такое, что aтb)aтb #49тогда она интегрируема на отр[a,x] при axb по св-ву опред   F(x)= aтx[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x[a,b] x+x[a,b] Рассмотрим приращение: F=F(x+x)-F(x)= aтx+xaтxf(t)dt; Т. к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b]  C>С x[a,b]F=xтx+xС xтx+xx limx0F=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч. Т. Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 [a,b]  F(x)= aтx[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+x[a,b] F=F(x0+x)-F(x0)= aтx+x aтx0f(t)dt= aтx0 x0тx+x aтx0 xтx0+xf(t)dt F/t-f(x0)=1/x, x0тx0+xf(t)dt-f(x0)/x=1/x  x0тx0+x 1/x x0тx0+xf(t)-f(x0)dt Т. к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E> ><Ef(x)f(x0)Et из промежутка от х0 до х0+х выполняется нер-во t-x0x+ F(t)-f(x) x0тx0+x(f(t)-f(x0))dt<1/xE xтx0+x limx0F/x=f(x0)F’(x0)=f(x0) Ч. Т. Д. №50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aтbf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных.  (1) {Док-во} F(x)= aтx тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b]  F(x)=Ф(х)+С; aтxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aтаf(t)dt=0  0=Ф(а)+С С=-Ф(а) aтxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч. Т. Д. #51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) ()=a ,()=b ;4)t[;] (t)[a,b]; Тогда aтbaтbf((t))’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[,] определена сложная ф-ция f((t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F((t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f((t))’(t) на [,] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aтbaтbj((t))’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках  оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aтbf(x)dx =F(b)-F(a); aтb(t))’(t)dt =F(())-F(())=F(b)-F(a)= aтbaтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)ba- aтbu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)ab= aтb v’(x)+u’(x)v(x))dx= aтbu(x)v’(x)dx+ aтb’(x)v(x)dx откуда  aтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)ba- aтb’(x)dx #52 объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-A B-B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d0 A и B  к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)0 x[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть ={xi}i=0i=i-произвольное разбиение отр [a,b]; gi={(x,y), x[xi-1,xi], 0ymi=inff(x)} Gi={(x,y), x[xi-1,xi], 0yMi=supf(x)}; Sgi=1imixi; SGi=1ixi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim0(Sg-SG)=0 {Д} т. к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр.  по критерию итегрируемости lim0SG= lim0Sg=S= aтbf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(), где f() – непрерывна на [,] и f()0 [,] {} Пусь -произвольное разбиение gi={(,r), [i-1,i], 0rmi=inff()} Gi={(,r), [i-1,i], 0rMi=supf()} Т. к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[,] то она интегрируема на этом отрезке Площадь сектора gi=mi/2 и Gii/2; Sg=1/2i=1ii SGi=1ii по критерии итегрируемости  lim0SG= lim0Sg т()d P-квадрируема и Sp=1/2 тf()d. #53 Пусть ) и интегрмруем на  [a;b]  несобственный интеграл по промежутку [a,+) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a+b+ abf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a+f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с[a,+)  ab ac cbf(x)dx {Т} По св-ву пределов a+ когда сущ limb+ abf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E >< b0 < b, такое, что выполняется неравенство F(b’’)-F(b’) для всех b' и ",< b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’b’’f(x)dx  теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел aba+0 abf(x)dx. Если указанный предел конечен то  называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aссbf(x)dx при aabf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<ab limb-0 )-F(a)=F(x)ba abf(x)dx  limb-0 F() {Д} Пусть a<abf(x)dx=F()-F(a)  по св-ву пределов ab limb-0 F()-F(A){2} aтbaтbaтb f1(x)+ aтb aтb aтb<a (f1(x+f2(x))dx= a f1(x)dx+a f2(x)dx т. к. по усл. теор limb-0a limb-0a  переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x[a,b] b aтbaтbg(x)dx – сход , то aтb<= aтbg(x)dx {Д} a< af(x)dx<= ab-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b)  aтb’(x)dx=u(x)v(x)ba- aтb’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<av’(x)dx = y(x)v(x)a - a’(x)v(x)dx  по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [,) и возрастает на этом промежутке, причём для <=t< a<=(t)tb-0(t) тогда имеет место : aтbf(x)dx= т(t))’(t)dt {Д} Пусть [,) т. к. ф-ция непр на [,) то она отрораж. отр [,] на [a,()]  по теореме о замене переменной в опред  получ утв. #54abaf(x)dx, a<0 af(x)dxab сходится и ababg(x)dx – расход  abb-0 то существует левая окрестность (.) В для любого х. Т. к. abg(x)dx –сход  ab по Т1,(0,b) 0M(M=const)   x(0,b) h0тhf(x)dxC h0тhCM  все интегралы h0тhf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0тbf(x)dx-схaтbaтbf(x)dx-расход aтbg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)0 существует возможно бесконечный предел  limxb-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0k<+ из сходимости aтbg(x)dx  сх-тьaтbaтb расх-тьaтbf(x)dx; В часности при 0k<+ aтbg(x)dx и aтbf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0k<+ По определению предела для E=1 (0,b)  x(0,b) f(x)/g(x)-kaтbaтb1 при k=+ f(x)/g(x)-k g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), xb-0  по Т2  если aтbaтb #55aтbf(x)dx-называется абс. сход если сходится aтb f(x)dx Если aтbf(x)dx-сх , а aтb aтbf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aтb f(x) dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b)b0b0 < b' <" < b, то E> b’тb’’  b’тb’’ aтbf(x)dx выполняется условие Коши. Так как aтb’f(x)dx aтb’ b'b для абсолютно сходящегося интеграла aтb aтb f(x)dx aтb f(x) dx {Глав зн не соб }Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -т+ т+f(x)dx=lim+ -т+f(x)dx; Главное знач совпадает со значением т+ по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб.  наз v. p. aтbf(x)dx=limE0 (aтC-Ef(x)dx +C+Eтb #56) Тогда (n=1,+)f(n) и 1+f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т. к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+) то она интегрируема на люблм отрезке [1,][1,+)  т. к. ф-ция не возрастает на [1,+) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)><=x<=k+1  kk+1f(x)dx>=kk+1f(k+1)dx  f(k)>= kk+1f(x)dx>=f(k+1)  (k=1,n)f(k){=Sn}>(k=1,n){= 1n+1 kk+1f(x)dx>(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1n+1f(x)dx>=Sn+11+f(x)dx сх  M>0 [1;+) 1f(x)dx<=M  Sn+1-f(1)<= 1n+1f(x)dx<=M  Sn+1<=M+f(1) n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху  ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1n+1f(x)dx<=Sn<=M n Т. к. для любого [1,+) n  N <=n 1nf(x)dx<= 1 n+1f(x)dx= 1n+1<=M т. о. все интегралы от 1 до  f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1+f(x)dx-сход. ЧТД nn. 3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах. а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х® а. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах. 7. Теорема о пределе сложной функции. 8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 13. Непрерывность элементарных функций. 14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда 15. Свойства сходящихся рядов. 16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 17. Признаки Даламбера и Коши. 18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда. 19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции. 24. Производная сложной функции. 25. Производная обратной функции. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование. 32. Теорема Коши. 34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 38. Выпуклость и точки перегиба. 40. Первообразная и ее свойства. 41. Неопределенный интеграл и его свойства. 42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. 45. Интегрирование тригонометрических выражений. 46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 48. Теорема о среднем. 49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 50. Формула Ньютона - Лейбница 51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. 55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. 56. Интегральный признак сходимости ряда.