Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые числа Мерсенна. Совершенные числа Простые Числа Мерсенна, совершенные числа. Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)Мр = 2р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2 =3, М3 =7, М5 =31, М7 =127 , то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11 . 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2 , М3 , М5 , М7 , М13 , М17 , М19 , М31 М31 установил, что число 3)М127 - простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И. М. Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61 =2305843009213693951М89 и М107 - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521 , М607 , М12792203 , М2281 , М3217 , М4253 , М4423 , М2689 , М9941 , М11213 - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М216091 РР . р и 2р -1 - простые числа, то число 4)Рр =2р-1 (2р -1)=2р-1 Мр является совершенным. Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2р-1 ,Мрр , ... ,2р-1 Мр . Их сумма Sp ... +2р-1 )(Мр +1) =(2 р -1) . 2 р = 2 . 2р-1 Мр . Вычитая из S само число Рр , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр Числа Р2 =6 и Р3 =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5 =496 и Р7 =8128 6)Р13 =33550336, Р1719 =137438691328,Р31 =2305843008139952128. Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр. До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам. от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Рр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например: 7)Р2 = 110, Р3 =5 = 111110000, Р7 =1111111000000 и т. д. Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1. Мр , где Мр -простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.