Многочленом (полиномом)
от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т. е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х)
, а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса
знаков для 3-его порядка.
Минором
наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением
эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik.
∆ 3-его порядка ∆=а11А11+а12А12+а13А13.
Матрицей обратной
кв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл. рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой
, если её det≠0.
¯¹=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А"Е) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. А. (АE)"(EA¯¹).
Ах=В уА=В
¯¹В у=ВА¯¹
Ранг матрицы
В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1≤S≤min(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз. минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом
матр. наз. наиб. из порядков её миноров,≠0.
1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
≠0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
Матричная запись линейной ситемы
А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
a11 a12.. b1.. a1m
∆=кооф. , ∆k= a21 a22.. b2.. a2m
………………………………..
Теорема Крамера.
Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆ , х2=∆2/∆………
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Коллинеарн. вект.
– лежащ. на прямых или на одой прямой.
Равные вект.
– коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными
наз. векторы ¯ и имеющие равные длины.
наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов
наз. косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.
r=√(x²+y²+z²) x=rcosα y=rcosβ … … => cosα=x/√( x²+y²+z²)
Единичный вектор
e=(cosa,cosb,cosγ)
Коорд. лин. комбинации векторов
Даны n векторов. Лин. комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…
Деление отрезка в данном отношении
X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – в отношении ℓ.
Скалярн. произведение векторов
ab=abcos(ab) Т. к. bcos φ=пр a b , acosφ=пр b a , ab=aпр a b = bпр b a
Свойства:
1. Переместит(коммуникативности) аb=ba
2. Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)
3. Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект. а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)[a*b]=absinα ;2)[a*b]┴a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что векторное произведение =
< = > a комплан. b
Свойства:
1. Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2. Сочетательности относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α[a*b]
3. Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
i j k
[a*b]=x1 y1 z1=y1 z1*i+… …
x2 y2 z2 y2 z2
Смешанное произведение векторов
векторно-скалярным произведением или смешаным.
V
параллелипипеда
=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
abc=x2 … … < = > abc-комплан.
x3 … … x2-x1 y2-y1 …
V
3-
=modx3-x1 … …
x4-x1 … …
Линейная завис. Векторов
a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0
Теорема 1
. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2.
аи b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3.
Теорема 4.
a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5.α1*е1+α2*е2+α3*е3
Теорема 6.
Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис
– любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т. е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…
F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(ρ,φ)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).
y= φ (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически ур-я записываются x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ
²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:
х²/a²+y²/b²=1 –
– геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)
Эпсиктриситетом эл.ξ=√(1-(b/a)²)
наз. прямые x=a/ξ и x=--a/ξ
х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С>0
линии элипсического типа
х²/a² -- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы
– геом. место т. плоскости для которых разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \
√(a²+b²), ξ=c/a, Ассимптоты
: у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы
: x=-a/ξи x=a/ξ
Равносторонние Г.
– с равными полуосями. /
х²/a² -- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа
у²=2px – парабола
- геом. место т. плоскостиравноудалённых от фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох : у²=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2
oy : x²=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2
y²=b² - пара прямых > - линии параболического типа
y²=0 – пара совпавших прямых/
y²=--b² - неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, А≠0, то (1) приводится х²=2qy
Прямая на плоскости
. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной:
y-y0=k(x-x0) Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали
: y-y0=-1/k*(x-x0) tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой
x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0√(A²+B²)
Ур-е окружности
: (x-a)²+(y-b)²=R²
Упрощ. общее ур-е второй степени:
²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F
=0
При повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A— C)/2B
x=x’ cos α –y’ sin α
α +x’ cos α
Постоянная b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<x-a< δ, выполняется условие f(x)-b<ξ
| 
