Задачи Лоповок

Задачи Лоповок Измерение отрезков пп. 2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13. 3. Пять прямых расположены на плоскости так что име­ется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых? 4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Из­вестно, что АВ ==3-см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ 5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВВС == 17 см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см. 6. М —АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ). 7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки авто­буса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР. 8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВВЕСР = 19 км, ВО = 29 км, АРСН = 30 км, ЕН = 14 км. 9. На прямой последовательно отмечены точки Л. 1, -Аз, -Аз, А^, ... так, что А\Ач==АзА^ 10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20. 11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол? 12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол? 13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок? 14. Можно ли без помощи транспортира или других угломер­ных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°? О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых? 17. Точка О — 18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°. 19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов. 20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы: /- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС. 21.АВ построены непе­рекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить? 22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы. 23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов. 24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказать­ся вертикальными? 26. Можно ли градусные меры двух смежных углов за­писать только нечетными цифрами; только четными цифрами? 27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярны­ми сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВВОС лежат на одной прямой? 28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как опреде­лить градусную меру этого угла? Перпендикуляр к прямой 30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными? 31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовав­шихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении пря­мых СИ И &1? 32. Через точку О прямой АВ0В так, что /- АОС/- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ. Первый признак равенства треугольников 33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам. 34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ —АВ.АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ. 35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР.I и ЕР 36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВСВЕ. 37. Точка ВА и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВССЕ === АВ. Точ­ка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ. Второй признак равенства треугольников 38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7 39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого? 40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла? 41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ. 42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, ЕАВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов? 43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Бис­сектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В. 44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2n 45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника. АВВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == В N. 47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = С D = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС? 48. Через середину отрезка ВСОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВВСВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ. АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и. ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ. АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, - причем углы и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника? Третий признак равенства треугольников АВ и ВО треугольника АВС, уАС = ВС, продолжены так, что ВЕ = АВ и ОК = ВО. Докажите, что /_ АКС = /_ ВЕС. треугольника- 54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника. 55. Докажите, что треугольник, у которого равны, две высоты, равнобедренный. 66. Равны ли два треугольника, - если основание и проведенная к нему высота ;и медиана одного треугольника соответствен­но равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника? 57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам друго­го остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите. Периметр треугольника АВ длиной -38 см. между А и В отмечены точки С\, Са,Сз, ...,-Сп и построены. равносторонние треугольники с основаниями >\, СгСа, СзСа,,..., АВ,АВ (рис. 10),? 60. Длины сторон треугольника Известно, что периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз >он больше Ь Простейшие построения 61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла. данных углов. прямую с помощью шаблона острого угла. 64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка. 65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла. Построения с помощью циркуля и линейки 67. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии я сумме боковых сторон. 68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведен­ной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне. 69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других. 'сторон. 70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВСАВ == ВВ.СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости? А и В находятся на сторонах угла. Построить отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла. 73. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии и разности боковых сторон. 74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, ес­ли обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости? 75. Точки АВ находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М,АМВ находилась на I. 76.АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника. Признаки параллельности прямых 77. При пересечении прямых IАВСО? 78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются. 79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Парал­лельны ли прямые АВ и ЕР? 80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треуголь­ники АВС и ОСВ? 81. Прямые АВЕ и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите 82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить попо­лам данный отрезок? АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ? 85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой? М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а. Сумма углов треугольника А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе угла А. 88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там парал­лельные прямые. 89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны? 90. Стороны двух треугольников соответственно перпенди­кулярны. Равны ли углы этих треугольников? 91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А\А-г симмет­ричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А равнобедренный. 92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треуголь­ник — прямоугольный. 93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величи­ну третьего внешнего угла. 94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС. 96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов. 97. В треугольнике ВС. На этих сторонах отме­чены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС '== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС. 98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остро­угольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС. 100. Биссектриса угла при основании равнобедренного тре­угольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Опреде­лите градусные меры углов треугольника АВС. 101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника. 102. В треугольнике == АС, /- ВАСМ, что /- МВС = 10°, == 30°. Найдите /. АМВ. 103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М,ВМ == АС. Найдите == 100. Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС. 105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренно­го треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треуголь­ных частей с такими же углами, как у начального треугольника? Прямоугольный треугольник 106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедрен­ного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедрен­ного треугольника. 107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники. 108. Если острые углы прямоугольного треугольника относя­тся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите. 109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой. = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14). 112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. 113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С 114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись отбортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника. 115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках 116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз; больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника. АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ. 11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А,МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах РТ,МРТ 119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС. Окружность 120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам. 121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом. 122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника. М отмечены такие точки АВ, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС,АС. 124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . & 125. Постройте две окружности с центрами на данной пря­мой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь. 126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з. А, В, С, В.А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, 129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с. АВС 132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности. АВС,"а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВВС вписанной в треугольник окружности. 134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию тре­угольника. Вписанные углы 135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18. 136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. 137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки лежит на прямой СО. 138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ. 139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы. 140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°. 141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружно­стей треугольника АВС. Зная, что ^- най­дите /- С. 142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВСА\, В\АВ. 143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов. 144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ,ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности. 145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника. 146. В окружность вписан равносторонний треугольник точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС. 147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19). 148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника. 149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника. 150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, ВМ = 2 МСА- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, най­дите величины остальных углов треугольника. Четырехугольник 3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехуголь­ника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол? 4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон. 5. У четырехугольника АВС D угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А. Параллелограмм 6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, от­личные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии. 7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плос­кости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла. 8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма. 9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М. 10. Точки А и САВС D,В и D 11. АВС D — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВВК взаимно перпен­дикулярны. 12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1, 13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В. 14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равно­сторонние треугольники АВМВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний. 15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон. 16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М. 17. Биссектриса угла ВАВС DВС и продолжение стороны АВМN. АВН и МСВ — 18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отноше­нии 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма. Прямоугольник 19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником? 9 4 т. двух из них равны —и —периметра прямоугольника. Как отно­сятся длины сторон прямоугольника? 21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр. 23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 24. АВСВ —АВ и СВ отло­жены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущен­ный на АС. 25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВМ, что == А. АМВ.АВ = 2 АВ, найдите вели­чины названных углов. Ромб 26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равно­удалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника. 27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ./- СМВ. 28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба. ВАС и В DСАВС D пересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектри­сами углов АВВ и АСВ. 30. Постройте ромб АВС D,АВС »АВС. 31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки М до середины ВС. АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС. Квадрат 33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2? 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6. 35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры и ВР,АВ == ВС, СЕВ — центр квадрата со стороной ВЕ, А — ЕР, С — центр квадрата со сторо­ной ВР. АВСВ квадрат­ной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М ^ АВ и NСВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка? 37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС? 38. АВСВ —АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите 39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю; б) по разности длин диагонали и стороны. 40. Можно ли построить квадрат АВСВ,АВ и АС 41. АВСВ —М, что треугольники МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •, 42. На прямой отмечены точки так, что АВ = С:: ), и построены квадраты со сторонами Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ? 43. АВСВ, ВСЕР и САМ + ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23). 44. АВ — высота остроугольного треугольника центр квадрата, построенного на АВМ ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки Теорема Фалеса 45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как по­строить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а? 46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины. 47. Точки А, В, С лежат на прямой I,АВ =^ ВС. По­стройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь. А, В, СI отрезки с разностью длин Ь. 49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕАВ в точке М и делит названную медиану по­полам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ. 50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^,ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ. ВМ делит высоту АВ треугольника АВС 52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне. В и D параллелограмма АВС D проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить паралле­лограмм АВС D7 54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В. 55. Постройте параллелограмм АВС DВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ. 56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна сере­дина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ. 57. Постройте ромб АВСВ,АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС. 58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в такой точке М, что сторона ВСАМ пополам. Найдите длины сторон параллелограмма. 59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты. Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма. 60. Дан треугольник АВС.АВ и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС? 61. В выпуклом четырехугольнике АВС D сумма углов при стороне АВ 90°, АВ == СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата. КЬМН. Найдите его диагонали. 63. АВ —А и В построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полу­окружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТАВ я ЕМ? 64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сто­рон — А\, В\, С\, В[. Середины сторон четырехугольника Л. 2, В-г, Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку, которая нахо­дится внутри всех таких четырехугольников. 65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника АВС. АВС по положению точек ААВ пересекает описан­ную окружность. 67. АВ —АВС. Бис­сектрисы углов В и САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N. Параллельны ли прямые МП Трапеция 68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треуголь­ников можно сложить трапецию? 69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции. 70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно раз­резать на три части, имеющие форму трапеции. 72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции, 74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ. 75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6.» 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций? 76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций. 78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции. 79. АВСО — 80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каж­дая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции? 81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые сто­роны соответственно параллельны двум данным прямым. Средняя линия трапеции 83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31. 84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований. 85. На окружности даны точки А и В. Постройте две парал­лельные хорды АС и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь. 87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М,АМ = АВ. Через В проведена прямая, параллельная СВ,АМ в точке Р. Докажите, что ВМ == РС. 88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего осно­вания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под кото­рым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы. 89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите. 90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией? 91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции. М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки? 93. Окружность, построенная на большем основании тра­пеции, как на диаметре, касается меньшего основания и про­ходит через концы средней линии. Найдите градусные меры углов трапеции. Четырехугольник и окружность 94. В окружность вписан четырехугольник АВСО.АС пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через центр окружности. 95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО. Зная, что около четырехугольника можно опи­сать окружность, найдите величину наибольшего угла четырех­угольника. 96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно опи­сать окружность. 97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боко­вых сторонах, как на диаметрах, касаются. одной окруж­ности. 99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены перпендикуляры МЕМРМ. 100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\НА\В\С\. АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА = /. МСВ АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\ углы по ос. атл. в. Прямая, проходящая через А, пересекает окружности в точках С и О; прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите, что СЕ ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются? 103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ 104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб. Докажите. 105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите, что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ. 106. Около окружности описан четырехугольник его стороны касаются окружности в точках К, Ь, М, N. Мож­но ли по углам А, В, Скьмт 107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны. 108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отно­шении делится точкой касания сторона АО'1 109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочислен­ными координатами может оказаться внутри окружности? 110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами. 112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных пря­мых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами? 113. Найдите координаты вершин треугольника, если коор­динаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8). 114. Если у четырехугольника АВСВ х^Хс == Хд + Хц и УлУс ==' Ув + Ув > то этот четырехугольник — параллело­грамм. Докажите. 116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у ко­торого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01. Параллельный перенос 117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника? , 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —' 120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне. 121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности. 122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности. 123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности. 124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки. 125. АВ — диаметр полуокружности, СО —АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, М. АМВа. Сложение векторов ОММТ равной длины взаимно перпенди­кулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов. АВ и АСАВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей. 128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0. Найдите углы между радиусами. 129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М. Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника. 130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с, если Ъ (5; 12), с (12; 5). АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора МА + МВ + МС + МВ. 132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Зная, что. ОММА + МВ + МС. 133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС. 134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны которого равны 135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ. Умножение вектора на число 136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о. 137. АВСВ — параллелограмм. 138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}. 139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС"). о АВ, причем АС'. СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т: ТС = —"- — ТА + —"——ТВ. т + п т + п 141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС 142. АВСВ и параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма? Косинус угла 143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост- 2аЬ 144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый угол, косинус которого равен " 2я2 — 2п + 3 Теорема Пифагора + 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 2 == 2о2 , то существует прямо- „ & Ч- угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, — „— &» ^ , „ л 1 _- а2 , б2 тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-! А (I -{- С О -\- С О 2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 Ь3 Й\ " ^-" 1 и " 1 " ^- " бг - ^ч~7 < - ' В; ^Т^ + ^Т^ < I» 149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ равна 90°. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2 + ВВ2 . ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы. 151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо- угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух 152. - Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите. 153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр. 154. Катет АВ == а длину, второго катета. 155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета. - 157. Отрезок АВО. На отрезках АОВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей. 158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВС D отрезки АВ и А D видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, А D == 89 см, определите, на какие части точка МВС. 159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр тра­пеции. 160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2. 161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Опре­делите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника. 162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один нахо­дится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Опре­делите длину стены. 163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная. Расстояние между двумя точками 164. Докажите, что каждая точка графика у = ж2 + 0»25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5). 165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВМС == 17. Определите длину стороны и диа­гонали квадрата. 166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наи­меньшая возможная. 167. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Дока­жите, что центры окружностей, описанных около этих тре­угольников, являются вершинами равностороннего треуголь­ника. Уравнение прямой х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба? 169. Найдите периметр треугольника, стороны которого АВ и С^ лежат на двух взаимно пер­пендикулярных прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, прохо­дящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\ и 1ч. 172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат сто­роны треугольника с вершинами А (— 3; 5), В (1; — 3), С (7; 9). 173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5. т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 = 0. 174. Докажите, что прямые ах + == 0 и + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ Пересечение прямой с окружностью 176. Даны окружности х2 + у2 {х — 2)22 = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры. 177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пере­сечения прямых Зж — 4г/ — 1 == 0 и 4. х 178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В ка­ких точках она пересекает ось ординат? 179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)2(у — 2)2 180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж2 + у2 = Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла 181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш хх, Ь == 3 зш х — 2 соз ж. 182. Известно, что ат х с 183. Зная, что 1-е х == -I вш3 х + 4 вщ х соа2 х сое х = —. Найдите Ъ§ х. -, вычислите: а) 2 вш х + 7 сое х 6 эш ж + соз. г '^ 3 вш х соа х + 2 сов3 х 184. Постройте график функции: у = -\/8Ш4 х + 4 соа2 х4 х + 4 зт2 х. 185. Найдите зависимость между если р == вт хх, ^ == 8№3 х + сов3 х. 186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наи­меньшего угла этого треугольника. 187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника. 188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства: а) а • 8Ш 60° + Ь2 • соз2 45° + с • б о • вш3 30° + Ь соз2 60° + с • 1;ё 45° = -^; в) а • 8т3 45° + Ъ соз 30° + 60° = 2 -^2? 189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства: а зш ^°--+сое ^ ^Г^ ь с —— = 4? б ) МП 30°" ' соэ 30° ' ^ 60° . 18(Г , 120° , . 90° о -л - ^"а————4- \,&——— =2; Изменение тригонометрических функций острого угла 190. Докажите, что для любого острого угла хп величина у == соз" х уменьшается. 191. Сравните по величине: зш 58° соз 48° ^@ 38° и зш42° соа 32° 1@ 22°. 192. Запишите в порядке возрастания: вш760 , соа 58°, гё48°,8т380 . 193. Запишите в порядке убывания: соз2 10°, сое 30°, ^45°, 1§48°, 1ё50°. Решение прямоугольных треугольников 194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением: —г == —г + -тт. и о о 195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33). 196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34). 197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте каче­ство работы вычислением координат. Неравенство треугольника АВС, то каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть' одной из сторон треугольника. 199. Докажите, что если две хорды окружности пере­секаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диа­метра. 200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра? 201. Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против тупого угла, наибольшая. 202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра. 203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали. 204. Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше его периметра. 205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть, те. Докажите, что можно построить треугольник со сто­ронами 'длиной а + -{- ть, ст. е. 206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..— Диаметр АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М. Докажите, что ЕВ > КМ. 207. Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены. Найдите величины углов треугольника. Скалярное произведение векторов 208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. 209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что Выполняется ли это соот­ношение, если точка М находится вне прямоугольника? 210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + ТО2 . 211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 ++ ВС2 = 4- АВ2 , то 0. Докажите. л 212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2 == == МА2 + МВ2 + МС2 +ТМ2 . 213. Докажите, что высоты треугольника или их продол­жения пересекаются в одной точке. А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСРКВК • КО == 215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М — середина КО, точка Р —СЕ. Найдите угол между ВМ и АР. В равнобедрен­ного треугольника АВС, у которого медианы -АО и СЕ Центральная симметрия М ц N. 218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М. 219. Постройте треугольник по середине основания и сере­динам высот, проведенных к боковым сторонам. • 220. Точка МАВС.Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке. 221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диа­метром описанной окружности, АМСН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМКН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция. Осевая симметрия 223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диа­гонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3). 224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ,АВ. 225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с прямой АВ. 226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины углов треуголь­ника. 228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр окружности, которая касается стороны ВС и продолже­ний двух других сторон, симметричны относительно ВС. Опре­делите величины углов треугольника АВС. 229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С. 230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей стороне. 231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и середин­ным перпендикулярам сторон АВ и АС. } 232. Постройте параллелограмм АВСОВ1\1ч сторон АВ и ВС. 233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите на СВМ, чтобы /. АМС — I -- /_ ВМВ 234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и N. Постройте равнобедренный треугольник, у которого АС,АВ, а боковые стороны проходят через М и N. 235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки А, С, ^. 0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, опи­санной около треугольника АВС, относительно его сторон. Дока­жите, что А -АВС == Д 0\0ч0г. 237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0\, Оч, Оз треугольник АВС. Поворот около точки АВСВ по положению вершины В и расстояниям от данной точки М до вершин А у. С. 239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М. А и С. По одну сто­рону от АС построены равносторонние треугольники по другую сторону — равносторонний треугольник АСЕ. Дока­жите, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника. 241. Точка МАВС. Докажите, что можно построить треугольник, сто­роны которого соответственно равны отрезкам МА, МВ, МС. 242. На сторонах АВАС треугольника АВСАВВК и АСЕМ.КМКМ 1- АО. 243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания — данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N. 244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой, пересекающей эти окружности. 245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой. 246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ ==МА — МВ == а. Найдите расстояние от точки М 247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что МА — МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра описанной около треуголь­ника окружности. 248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выпол­нить такой поворот около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол поворота? треугольника. 250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла тре­угольника. Параллельный перенос 251. Точки А и ВСВ. Найдите на СВ такие точки Е и Р, чтобы и длина отрезка ЕР равнялась а. 252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам диагоналей и углу между диагона­лями. А\, В\, С\, что А\В\ == В\С\ = а. 254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстоя­ниям между противоположными сторонами. 256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с концами на двух данных окружностях. 257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого лежат на прямой 1ч и на данной окружности. 258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е. 259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной а и I. Равенство фигур 260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма равны двум высотам и углу между ними дру­гого параллелограмма. Равны ли эти параллелограммы? 261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответ­ственно равны сторонам другой? 263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем основании одной трапеции равны основа­ниям и углам при большем основании другой. 265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. 266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми симметриями с параллельными осями. 267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти треугольники совместились? 268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили отрезками, которые пересеклись в точке О. За­тем построили параллелограмм ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \\ ВСВР \\ АВ (рис. 36). Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников ах при положи - ДЕВЯТЫЙ КЛАСС Гомотетия у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны. 2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3 ? Если да, ука­жите центр и коэффициент гомотетии. 3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые: а) ах + Ьу — с = Оах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у — 5 = О? 4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии. 5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б) биссектрисам углов треугольника АВС. 6. Докажите, что середины всех отрезков, которые парал­лельны стороне АВ треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане СР. 7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пре­делами данной части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины всех сторон треугольника (рис. 37). 8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений). ВС треугольника АВС и пересекающую АВАСВ и Е, что АВ = ЕС. 10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях. 11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной точке касается данной прямой. 12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух прямых, одна из которых проходит через точку В, а вто­рая через центр квадрата. 13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в точках A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных окружностей. О и части хорды АВ без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ. АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС. АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения стороны АВ, а другая — \ продолжения стороны ВС. 17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют центры на прямой Ь. 18. АВ и АС —ВАС. 19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность, которая касается этих прямых и данной окружности. 20. Постройте прямоугольный треугольник АВСА и сумме катета ВС с проведенной к нему медианой. 21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС : СО : АВАВ}. М треугольника АВС постройте прямую, которая отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет задача? 23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других. Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г == Г) • Гз. 25. МАВМСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и МВВ подобны. АВСВМ и N. 27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите периметры треугольников. 28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 : 8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон этих треугольников. 29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого? 30. Треугольники со сторонами а, Ъ, сЬ, с, и подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б? 31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треуголь­ников а, Ь, с и а\, Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\. 32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АНВС. 33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника + 0ВОМ. Точка М находится внутри треугольника АВС. 34. АА\ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^С =А\, В\ и середина стороны АВ — вершины равностороннего треугольника. 35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников. 36. Даны две непараллельные прямые 1\1ч и точки А и В вне этих прямых. Постройте через А и В1\ и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3. _37. На сторонах АВАС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е,АВ == DЕ == ЕС. 38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба. 39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АСАС • АМ + ВD • ВМ = АВ2 . 40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)? 41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На сторонах АСВС вне треугольника АВСАСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник 42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4подобны. N. Найдите расстояние между М и N. М и N. Найдите расстояние между МN. 45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВС D. Докажите, что D = АВ • СВВС • АВ. 46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны. 47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, чтосумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности. ААВСВ и пересекает прямые АВ, АС, АВЕ С, г>1. Докажите, что АВ • АВ\ + АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40). Ломаная 49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан; имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны. 50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки. 51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет не менее четы­рех звеньев. 52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квад­раты с центрами Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сто­рон треугольника параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные и равны. 53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрез­ки 0\0у. и О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выве­дите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне тре­угольника. 55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым? 56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного тре­угольника. Определите общее число треугольников. 57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон. 58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника? 59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки много­угольника, определите возможные значения п. 60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиуголь­ника можно разрезать на три трапеции. 61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно раз­делить на п — 2 трапеции. 62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ. 63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника. 64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон. 65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей. 66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают. 67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у кото­рого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные. 68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответ­ственно параллельные сторонам треугольника, попарно пере­секаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиуголь­ник. Найдите его периметр. 69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы. Площадь прямоугольника 70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите пло­щадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции. 71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окруж­ность касается его сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ. 72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если: а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь 73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и пло­щадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника. 74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадра­та АВСВ такие: МА == 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата. 75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых. 76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник пери­метра Р. Найдите площадь прямоугольника. 77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р Н\Н<г. ВМ лежит вне треугольника АВС, но его продол­жение пересекает сторону АС.АВМВ и СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллело­граммов равна площади четырехугольника АВЕС. 79. На двух параллельных прямых отложены равные отрез­ки АВ и СВ, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42). 80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогич­но задаче 79. Докажите, что 8\ + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е. т и ге. 82. Найдите площадь параллелограмма, у которого пери­метр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сто­рон на 4 и 6 см. 83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имею­щего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба. АВС равна 8. Из точки М на ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь получен­ного параллелограмма? Площадь треугольника аЪ + ас + &с > 6 8. 86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2 ). 87. Докажите, что в каждом треугольнике — аЬ + Ь2 ). 88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ. ь, Нс: (а •+ь+ 91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм длин противоположных сторон. 92. Около квадрата АВСВМ, чтобы произведение имело наибольшую возможную величину. АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов. 94. Площадь четырехугольника <?, длины его сторон а, Ь, с, <1, внешние углы ос., (3, у, 6 (рис. 44). Найдите (аЬ зш та + + Ьс аш р + сд.а<1 зш 6) : О. 95. У выпуклого четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВАТ) и ВС. 96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямо­угольного треугольника в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов треугольника. 97. АВСВ — параллелограмм, М —АВ, К — сере­дина ВС; АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника АОВ и параллелограмма АВСВ. 98. Две высоты треугольника делят его на две пары равно­великих частей. Найдите величины углов треугольника. 99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Докажите, что эти сторо­ны лежат против острых углов. 100. Площадь остроугольного треугольника равна О. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45). 101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1 : З? 102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у ко­торого наибольшая медиана имеет длину т и образует с боль­шим катетом угол в 15°. 103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см, найдите площади полученных четырехугольников. 104. Высота АВАЕ == т треугольника АВС об­разуют со стороной АВ углы по <х. Найдите площадь треугольни­ка АВС 105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окруж­ностей. 106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике про­изведение радиуса вписанной окружности на радиус описанной окружности больше -д- площади треугольника. 107. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части аЪ. Докажите, что площадь тре­угольника 8 == аЬ. 108. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражены последовательными целыми числами. Найдите длины его сторон, зная, что радиус вписанной окружности 4 см. 109. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражают­ся последовательными натуральными числами. Найдите эти стороны, зная, что площадь треугольника равна 1170см2 . Площадь трапеции 111. Треугольник разделен на три трапеции, общей верши­ной которых является центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций. 113. Сумма площадей квадратов, построенных на диагона­лях трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. 114. Основания трапеции ВСАВ, диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников АВОВСО равны 50 и 20 см2 . Найдите площадь трапеции. 116. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендику­лярны. Продолжения боковых сторон АВ и СВ пересекаются в точке М под углом в 30°. Зная, что площадь треугольника ВМС равна О, найдите площадь трапеции. 117. В полукруг радиуса 2 см вписана трапеция, периметр которой равен 10 см. Найдите площадь трапеции. Площади подобных фигур 118. Площадь треугольника равна 8. 119. В равносторонний треугольник АВС вписали треуголь­ник ВЕР, стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольника АВС. Найдите отношение площадей треугольников ВЕР и АВС. 120. Площадь треугольника АВС равна 120 см2 . Каждую его сторону разделили в отношении 1:2:1. Через точки деле­ния провели три прямые, которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь оставшегося шестиугольника. 121. На высотах ВК и ВМ ромба АВСВ построили ромб. Зная, что его площадь вдвое меньше площади ромба АВСВ, найдите величины углов ромба. ограниченного сторонами треугольника. 123. В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см, вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь. 124. Основания трапеции 7 и 17 см. Прямая, параллельная основаниям, разделила трапецию на равновеликие части. Най­дите длину отрезка прямой, ограниченного боковыми сторонами трапеции. 125. Через внутреннюю точку М треугольника АВС проведе­ны три прямые, соответственно параллельные сторонам тре­угольника АВС. Площади образовавшихся треугольников с вер­шиной М равный), иг, <5з Найдите площадь треугольника АВС. Правильные многоугольники 127. Треугольник АВС — равносторонний. Вне его построе­ны квадраты АВВ\А\, АСС\Ач, ВССчВч. Прямые АА\СС\, АА-г и ВВг (рис. 48). Докажите, что шестиугольник АКСЬВМ — 128. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке О, зная, что концы одной малой диагонали лежат на двух данных прямых. О, 130. Как изменится решение задачи 129, если концы назван­ных апофем лежат на данной окружности, центр которой не О? 131. На сторонах квадрата АВС^ вне его построены равно­сторонние треугольники АВК, ВСМ, СОР, ВАТ. Докажите, что середины отрезков КМ, МР, РТ, ТК, АК, ВК, ВМ, СМ, СР, ОР, ОТ, АТ являются вершинами правильного двенадцати­угольника. 132. Останется ли верным заключение задачи 131, если названные треугольники построены внутри квадрата? 133. Точка М находится в плоскости правильного шести­угольника АВСВЕР.А, В, С, ^, Е, Р. 134. Известно, что некоторый пятиугольник имеет не менее двух осей симметрии. Является ли он правильным? 135. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность и име­ет 3 оси симметрии. Является ли он правильным? 136. Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Известно, что он имеет 3 оси симметрии. Является ли он пра­вильным? 137. Докажите следующие утверждения о разности диагона­лей правильного многоугольника А\АчАз.. Ап'-= = 9 А\А^—А\Аг равна стороне многоугольника; б) при га = 18 А\Ад — А\Ач == А\А^. 138. Квадрат вписан в окружность. Через середины каждых двух смежных сторон квадрата построена прямая. Докажите, что точки пересечения этих прямых с окружностью и вершины квадрата являются вершинами правильного двенадцатиуголь­ника. АВСВС. Под каким углом к ВС нужно строить эту прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, имел наименьшую возможную длину? 140. Через центр квадрата проходят прямые. Докажите, что для всех этих прямых сумма квадратов их расстояний от вер­шин данного квадрата одинакова. 141. Останется ли верным утверждение задачи 140, если вместо квадрата дан равносторонний треугольник; правильный шестиугольник? 142. Отрезки, соединяющие середину каждой стороны квад­рата с концами параллельной стороны, ограничили выпуклый восьмиугольник (рис. 49). Является ли он правильным? 143. В треугольник вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании треугольника, а две — на боковых сторо­нах. Докажите, что сторона квадрата больше радиуса, но мень­ше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник. 144. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке, зная, что концы одной из больших диагоналей шести­угольника лежат на данной прямой и на данной окружности. 145. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного правильного многоугольника наимень­шая возможная. 146. а. п и Ьп —п. Докажите, что ап = --^-а Ъ — о ^п^п. Площадь многоугольника 150. Решите задачу 149 для четырех правильных шести­угольников. 151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпук­лого равностороннего многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника одинакова. 152. Площадь правильного шестиугольника равна — про­изведения длин двух неравных диагоналей. Докажите. 153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали. Какой именно? 154. АВ и СВ —АС и ВО не пересекаются. Докажите, что АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части. 155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен такой: «Выразите площадь правиль­ного восьмиугольника А\А•^А^А^А^А!,А^Ау. через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д2 У2; 2) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) А\Аз Х X А\А^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины; 5) удвоенное произведение стороны на диагональ А\А^; 6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны? 156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правиль­ный восьмиугольник. На сколько процентов уменьшилась пло­щадь фигуры? 157. Сторона правильного шестиугольника равна а. 158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин. 159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезка­ми, которые не пересекаются и делят стороны -АО и ВСАВСВ. Длина окружности АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А v. В ти 162. В окружность радиуса Л вписан правильный двена­дцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину. АВС. Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторон АВ и АС треуголь­ника. 164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающей­ся этих трех окружностей. 165. Периметр равностороннего треугольника АВСАВАВ и ВЕ. 166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы его построения: а) Герона Александрийского: б) А. Коханского: АВ —СВ — каса­тельная, проходящая через точку == 30°, СВ == ЗЛ. Искомый отрезок — АВ в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В; г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами. . 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных окружностей. Длина дуги окружности 168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны. 169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами. 170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам тре­угольника вне его катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника. 171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника. 172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности радиуса а. Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника, ограниченного названными окружно­стями. 173. Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины двух из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямо­угольника образует с его сторонами. -^ . Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов. 175. Вершина А равностороннего треугольника АВСВ и СРВ, ВС, СМ, МР. Площадь круга и его частей 176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга, находящейся внутри треугольника. 178. АВ — основание полукруга, точка МАМВМ. До­кажите, что сумма площадей луночек (то есть частей полу­кругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади треугольника АМВ. 179. АВ —" СО — перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на ок­ружности. Построены полуокружности диаметров внутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограничен­ной тремя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга диаметра СВ (рис. 52). АВ отложены равные отрезки АВ и СО. На АВ и СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и ОР проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра ЕР. 181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными не­четными числами, а один из углов вдвое больше суммы остальных. 182. Вычислите величины углов вписанного в окружность 183. Докажите, что в треугольнике АВС: аЬ сое С + + ас соз ВЬс соа А ^ — Р2. ^•"ж" ' •'. \ 184. Медианы АО и ВД треугольника АВСАВ2 == АС2 ' + ВС2 . 185. Вычислите (аЪ соа С + ас соа В + 2 + Ь'г + -(- с2 ), где а, Ь, с, /- А, /- В, /- С — элементы одного треуголь­ ника. 186. На диаметре АВ окружности взята точка М; хорда СО параллельна АВ. Докажите, что величина МС2 + МО2 не 1 зависит от выбора точки С. 187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадра­тов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника. М находится на стороне ВСАВС. Докажите, что АМ2 • ВСАВ2 • СМ + АС2 ' ВМ — ВС • ВМ X X СМ. 190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутрен­ним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех названных окружностей. 191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С а, (3, у,аЬ - С08 Р) + ЬС (1 - С08 и) == 4- Р2 - л 192. Докажите, что в треугольнике АВС'. аа ' с = о (6 + с — в) _ 1 — сов А ~~ 1 — соа В ' АВС — остроугольный, если: а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см. 194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окруж­ности удален от концов гипотенузы на 7 и 5 -л/2 см. Найдите длины сторон треугольника. 195. Докажите правильность формул для вычисления площади треугольника: 8 =^ — -\/4 а^Ь2 — (о2 + Ь2 —• с2 )2 = = -1- -узГ^Ь2 + оУ + Ь^с2 ) - (а4 + Ь4 + с4 ). АВС: & С08 А + Ъ С08 В + С С08 С __ Г о + Ь + с Л 197. Докажите, что в четырехугольнике АВСВ: АВ2 == == 4В2 + ВС2 + СО2 - 2 АВ • ВС. сое В - 2 ВС • СО • сов С+ + 2АВ • СО • соз (А + О). 8 9-12« 65 Теорема синусов АВС равна О. Определите величину а2 вт 2ВЬ2 2А. 200. Точка М находится внутри треугольника АВС. Лучи АМ, ВМ, СМ делят углы треугольника на части ои и оса, ?1 и {За, vi и у-г- Докажите, что вт а\ • вт р) • аш vi ==- ет К2 X X 8Ц1 ?2 8Ш •У2. 201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, обра­зуют со сторонами при этих вершинах такие углы ои, »2, Рь ^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 == В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ пересекаются в одной точке. Докажите. 202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехуголь­ника? 203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треуголь­ника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны. АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН == -——. 205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пере­секаются в точке О. М\Мч —ВОС и АВО и СОО. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые М\Мч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны. 206. АВ и АС — хорды окружности. На продолжении АВ отмечена точка N на расстоянии АВАС и на продолжении АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите, что МН Сумма квадратов диагоналей параллелограмма 207. Докажите, что в треугольнике Тоа == — "л/262 + 2с2 — о2 . А 208. Используя результат задачи 207, установите, что". а) т1 + т1 + от? = --(о2 + Ь2 + с2 ); б) от4 + т1 +4 = -^(о4 +&4 +с4 ). 209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей. 211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры треугольников АВО, ВСО и параллело­грамма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма. 212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей? 213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма? ДЕСЯТЫЙ КЛАСС Аксиомы стереометрии и следствия из них 2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами). 3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей. 4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости? 5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба? 6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба? 8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р. 9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости. 10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости. 11. Даны > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плос­кости. 12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пере­секает и другую. 13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограм­ма К^МN, причем К — середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой отрезка А07 14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в од­ной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости. 15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пере­секают ни одной из названных плоскостей? 16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости: одна в точках АВ, 17. Точки А, В, С, О 18. Точка М лежит вне плоскости правильного шести­угольника АВСОЕР. Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна: а) АО; 19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС. 20. Точка М находится вне плоскости правильного пяти­угольника АВСОЕ. Каким сторонам или диагоналям пятиуголь­ника параллельна прямая, проходящая через центры масс тре­угольников МАВ и МАЕ7 21. М и N— центры граней и куба АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямая МН? 22. АВСОЕР — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и ЕР равны и параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ'! 23. АВСТ) — квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Определите рас­стояние от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата. 24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О, находящаяся вне плоскости шестиугольника, соеди­нена отрезком с каждой его вершиной. Из центра масс треуголь­ника ОАВ проведены до пересечения в точках М), Мч, Мз, М^, ОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР. Найдите периметр и площадь шестиугольника М\МчМгМ^МъМ^. 25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. 26. АВСО — квадрат со стороной 6 см, прямые АМ и СТ параллельны. На них по одну сторону от квадрата отмечены такие точки М и Т, что МА : ТС ==4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая МТ пересекает плоскость квадрата? 27. Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каж­дую точку плоскости б можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости <т, либо принадлежит плоскости о. Является ли названная прямая единственной прямой, обла­дающей таким свойством? 28. Через точку М, не принадлежащую плоскостям а и (3, можно построить только одну прямую, параллельную этим плоскостям. Докажите, что плоскости а и 3 пересекаются. 29. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух медиан треугольника и пересекающая его плоскость, па­раллельна одной из его сторон. 30. Точка М находится вне плоскости параллелограмма АВСТ). Постройте линию пересечения плоскостей АВМСОМ. Параллельна ли она плоскости параллелограмма? 31. По условию задачи 21 докажите, что прямая МN парал­лельна плоскости: а) АВС; б) в) проходящей через ребра АА\ и СС). 32. АВСОА^В\С\0\ — куб. Докажите, что ребро 00\АВВ\; б) ВСС\;АА\ и СС; г) проходящей через середины ребер а\в{, АВ, ВС. Параллельность плоскостей 33. Стороны двух углов соответственно параллельны. Докажите, что либо эти углы равны, либо сумма их градусных мер равна 180°. 34. Стороны параллелограммов АВСТ) и А\В\С\0\ соответ­ственно параллельны. Пересекаются ли в одной точке отрезки и ОВ\7 Если не всегда, то при каком условии они обязательно имеют общую точку? 35. На одной из параллельных плоскостей даны точки А и В, на другой — точки С и О. Середины отрезков АС и ВО не совпадают. Докажите, что прямая, проходящая через эти середины, параллельна названным плоскостям. 36. Точка МАВСО. Лежат ли в одной плоскости середины отрезков 37. Через вершины правильного шестиугольника АВСВЕР ВВ\ и РР\, СС\ЕЕ\, делает отрезок с концами на АА\ и ВВ \ на три части, одна из которых равна сумме двух других. 38. По условию задачи 87 определите, в каком отношении плоскости, проведенные через АА\ и ВВ\, делят отрезок с концами на ВВ\ и ЕЕ\. 39. АВСВА\В\С\В\ — куб. Докажите, что плоскость, про­ходящая через центры граней, содержащих точку А, парал­лельна плоскости В{СВ\. А\, А а, Аз; Докажите, что А\А^ : В\В'г == А. 2^. 3 : В^Вз. А\Аг == 4см, В-гВз = 9 см, АчАз == В\В^ Найдите длины отрезков А\Аз И В1Вз. Изображение пространственных фигур 42. Две медианы треугольника АВС соответственно парал­лельны двум медианам подобного треугольника ВЕР. Парал­лельны ли третьи яедиаяы атаЕХ треугольников? 44. Дано изображение квадрата АВСВ и точки М на стороне А. В. Постройте изображение прямой, проходящей через А 45. Дано изображение правильного шестиугольника Постройте изображение биссектрис угла: а) АСВ; б) ВАЕ; в) между АС и ВВ;АС и ВЕ. 46. Чтобы получить изображение правильного восьми­угольника, построили изображение квадрата АВСВ. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересеклись в точке О. Каждый из отрезков, исходящий из точки О, продли­ли на -г- его длины. Полученные точки и вершины квадрата считали изображением вершин правильного восьмиугольника. Верно ли это? Если да, определите точность построения (рис. 54). 47. АВСВ — изображение квадрата. На сколько нужно продлить в обе стороны отрезки, соединяющие середины каж­дых двух соседних сторон квадрата, чтобы полученные точки и вершины квадрата оказались изображением вершин правиль­ного двенадцатиугольника? 49. Дано изображение равнобедренного прямоугольного тре­угольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на гипотенузе, а две — на катетах. 50. Дано изображение равностороннего треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник. 51. Дано изображение ромба, у которого одна диагональ равна стороне. Изобразите высоты ромба, проходящие через его центр. 52. Дано изображение прямоугольного треугольника, у ко­торого отношение катетов равно 2 : 3. Постройте изображение серединного перпендикуляра к медиане, проведенной к боль­шему катету. 53. Дано изображение квадрата АВСВ. Постройте изобра­жение равностороннего треугольника АВМ. 54. Дано изображение прямоугольника, у которого отно­шение двух сторон равно 1 : 2. Постройте изображение середин­ного перпендикуляра диагонали этого прямоугольника. Задачи на построение в пространстве 55. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех его вершин на плоскости. Постройте проекции остальных вершин. 56. Дан пятиугольник проекции трех точек, принад­лежащих его сторонам, на плоскость 6. Найдите проекцию пяти­угольника на эту плоскость. 57. Дана проекция пятиугольника на плоскость и поло­жение трех его вершин. Найдите положение* остальных вершин. 58. Дана проекция пятиугольника на плоскость б, а также изображения трех точек плоскости пятиугольника, не лежащих на одной прямой, и их проекции на плоскость 6. Постройте изображение пятиугольника. 59. Дана прямая I, пересекающая плоскость б, и точка М, не принадлежащая ни прямой I, ни плоскости 6. Постройте через эту точку ^прямую, которая параллельна плоскости 6 и пересекает прямую I. АВСВ на эту плоскость (рис. 55). 61. Даны плоскость 6 и -положение точечного источника света М. Построите тень данного треугольника на эту плоскость. 62. Прямая АВСВМ лежит вне этой плоскости (рис. 56). Постройте через точку М прямую, которая пересекает АВ и СВ. 63. Дано изображение куба и направление лучей света. Постройте тень куба на плоскость его основания (рис. 57). 64. Постройте тень куба на плоскость его основания, если дано положение точечного источника света. А и 3. В Каких Точках о*га 'пересекает поверхность другого куба? 66. Даны два куба, основания которых находятся на плоскос­ти б, и положение точечного источника света. Как построить тень одного куба на поверхности другого? Перпендикулярные прямые 67. Биссектрисы двух неравных углов равнобедренного треугольника соответственно параллельны двум биссектрисам углов другого равнобедренного треугольника. Параллельны ли основания этих треугольников? 68. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника со­ответственно параллельны биссектрисам двух внутренних углов другого треугольника. Параллельны ли соответственные биссектрисы внешних углов этих треугольников? Перпендикуляр к плоскости 69. Сколько различных плоскостей определяют 4 перпен­дикуляра к одной плоскости? 70. Докажите, что прямые а и b параллельны, если они имеют два общих перпендикуляра. 71. куб. Докажите, что любая высота грани АВВ\А \ либо параллельна, либо перпендикулярна ПЛОСКОСТИ А\В\С1. 72. Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если - они имеют общий перпендикуляр. 73. Прямые о и Ъ параллельны, о — перпендикуляр к плоскости 6, Ъ —о. ^ (? 74. Плоскость 6 не пересекает трапецию АВСВ. Суммы рас­стояний концов от плоскости б у обеих диагоналей одинаковы. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоско­сти 6. 75. Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна плоскости 6. Как распо­ложена относительно этой плоскости средняя линия тра­пеции? 76. Одна из диагоналей ромба находится на перпендикуляре I: плоскости 6. Докажите, что вторая диагональ параллельна плоскости 6 или находится на этой плоскости. ,<$ 77. Расстояния вершин А, В, С параллелограмма АВСВ от плоскости 6 равны 7, 20, 11 см. Найдите расстояние от вер­шины В до этой плоскости. \ <9 78. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, каждая из которых равно удалена от двух данных точек? 79. Какую фигуру образуют все точки, расстояния которых от двух данных параллельных плоскостей относятся, как 1 : З? М этой плоскости одинаковы? ^ '^? 81. Точка М находится вне плоскости 6. Одна из сторон треугольника МАВ находится на плоскости 6. Какую фигуру образуют центры масс всех таких треугольников? 82. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют центры всех таких параллелограммов, у каждого из которых одна сторона находится на прямой I, \ <? 83. Треугольники АВС и АВМ — равносторонние, их пери­метры равны по 18см. Зная, что СМ== Зт/6 см, укажите на рисунке перпендикуляр к плоскости АВС. 84. Два квадрата, периметры которых по 24 см, имеют общую сторону. Расстояние между центрами квадратов 3-\/2 см. Укажите на рисунке перпендикуляры к плоскостям этих квадратов. 85. Два правильных шестиугольника имеют периметры по 48 см. Отрезок АВ — их общая малая диагональ, рас­стояние Перпендикуляр и наклонная 86. Прямая Iа, проведенных к плоскости 6 из точек прямой /? ^ 87. Из точки М к плоскости, не содержащей эту точку,. проведены наклонные длиной 25 и 40 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости, зная, что сумма проекций наклонных на эту плоскость 39 см. 88. Точка М ^ 6, длины наклонных МА и МВ 30 и 25 см.. Определите расстояние от точки М до плоскости 6, зная, что разность проекций наклонных на эту плоскость 11 см. •: ^. 89. К плоскости 6 из точки М, не лежащей в этой плоскости, проведены перпендикуляр МО и наклонные МАМВ. Зная, что 4 АМВ = 60°, 4 АМО == /- ВМО = 45°, найдите градус­ную меру угла между проекциями наклонных. 90. Плоскость проходит через основание трапеции на рас­стоянии 8 см от точки пересечения диагоналей. Найдите от­ношение длин оснований этой трапеции. АВС ^ = 30°. Найдите на плоскости АВВ точку с наименьшей суммой расстоянии от вершин треугольника. 93. Концы отрезков АВ и СО лежат на плоскостях б и а, причем точки А -а С находятся на одной плоскости, а точки В и О—на другой. АВ = 9 см, СВ = 15 см, ВВАВ перпендикулярен плоскостям 6 и о. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ 94. В треугольнике = 5 см, А. С = 7 см, ^. 4 = 60°. Его проекция на плоскость, параллельную ВС и проходящую через А,— 95. Проекция прямоугольного треугольника на плоскость, проходящую через вершину прямого угла параллельно гипо­тенузе, есть треугольник с углом в 120° и сторонами этого угла 8 и 9 см. Найдите расстояние от этой плоскости до гипо­тенузы. 96. Плоскость параллельна наибольшей средней линии пря­моугольного треугольника АВС. Проекции сторон треугольника на эту плоскость 11, 12, 19 см. Найдите площадь треугольника АВС. .„п А прямоугольного треугольника А-ас проходит плоскость 6, которая параллельна гипотенузе ВС и удалена от нее на 24 см. Зная, что ВС = 50 см, а проекции катетов на плоскость 6 относятся , как 9 : 16, найдите площадь треугольника АВС. АВС, точка M находится вне его плоскости. Докажите, 22 + МС2 == ^(й22 99. МО — перпендикуляр к плоскости, проходящей через ее точку O. MA = 10 см, MB = 16 см, ^OAM=^2OBM. Найдите MO. 100. Из точки M, находящейся вне плоскости б, проведены Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, /- АМОВМО, найдите МО. 101 Из точки М проведены к плоскости 6 перпендикуляр МА, МВ, МС. Проекции МВ и МС меньше проекции МА на 33 и 48см, ^ОАМ : А. ОВМ : ^ОСМ == =1:2:3. Найдите МО. Теорема о трех перпендикулярах прямых, содержащих стороны данного треугольника? 103. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от трех прямых, находящихся в плоскости б? 104. Катеты прямоугольного треугольника АВС 12 и 16 см. Точка МАВ, АС, ВС на 13 см. Найдите ее расстояние от плоскости АВС. 105. Точка М 106. На плоскости 6 дан угол в 60°. Точка М удалена от его вершимы на 5. см, а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстоя­ние от точки М до плоскости названного угла. 107. Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка М удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции. 108. На плоскости 6 отмечены точки плоскости а — точки С и В так, что АВ == 13 см, СО = 14 см, АС == 8 см, ВВАС перпендикулярна плоскостям 6 и ст. Найдите расстояние между АСВВ. Перпендикулярные плоскости 110. Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного угла (меньше развернутого) и образуют ^ с его сторонами равные углы? 111. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные АВСВ, стороны которого 3 и 4 см, перегнули по диагонали АС так, что треугольники АВСАВС оказались в перпендикулярных плоскостях. Определите рас­стояние между точками В и В после перегиба. 113. Плоскости » и р перпендикулярны плоскости 6. Докажите, что линия пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости 6. 114. Концы отрезка АВ лежат на двух данных взаимно периендикуляриых плоскостях. Опущены перпендикуляры АА 1 и бв[АВ = = 21 см, АА\ •== 11 см, ВВд == 16 см, найдите а\в[. I > () АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2 . Зная, что расстояние между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно перпендикулярны. I. Отрезок АВ имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45е . Найдите угол между направлениями I и АВ. 117. АВСОМАО перпендикулярна плоскости квадрата, ММ \\ АОАВТ. Как по­строить через эту точку прямую, образующую равные углы с АВ и Мт 118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину. 119. Плоскости квадрата АВСОАВМ взаимно перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы МО Прямоугольные координаты в пространстве 120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7, 1). Найдите координаты четвертой вершины. 121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины. 122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника. 123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиуголь­ника АВСОЕР: (—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите коорди­наты остальных вершин и центра шестиугольника. 124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости ху 125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4; 3; 1), С(3; 7; —2)? 126. Докажите, что отрезки АВ и СО,А(»; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1:2. 127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной. 128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пере­сечения. Векторы в пространстве 130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости. Докажите, что МА2 + МС2 •==- МВ2 + МО2 131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, Т. Точка КМТ так, что МК == 3 КТ. Докажите, что АК + ВК + СК + МК = 0. 132. Если направление АВСО, СЕ, ОЕ равные углы, то прямая АВСОЕ. Докажите. 133. Верно ли, что, если М. — центр правильного много­угольника А\АчА^... Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп 134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника. М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину вектора МА + МВ + МС 4- МОМА + М0\. ___ 136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ + + МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^ Ре — центры граней куба. 137. Через центр масс ТАВС проведена. прямая, на ней отмечены такие точки А\, В\, С\,аа[ II ВВ) СС\. Докажите, что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0; б) ТА^ТС\ 138. Докажите, что прямую, проходящую через точки АМ, удовле­творяющих условию АМ = р АВ, где —оо<:р<:оо. Какое число р соответствует точке А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из векторного задания, получить координатное задание прямой? 139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С» можно определить как совокупность точек М, удовлетво­ряющих условию АМ == р АВ + где — оо < р < оо, — оо <: $ <: оо. Преобразование фигур в пространстве 140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости 6, на которую спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В. 141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N. А и В. 143. куб. Точка М находится на грани СВВ\С\, а точка N — на луче А\ А вне куба. Найдите на плос­кости АВС точку с наибольшей возможной разностью рас­стояний от точек М и N. 144. О — центр грани ВСС\В1АВСВА1В\С\В\. Найдите на плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А\. 145. Даны точки 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой АВ и на плоско­сти хг. 146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса верши­на наибольшего угла переместилась в центр описанной окруж­ности. Найдите новые координаты вершин треугольника. АВСВА\В\С\В\, чтобы его вершина А переместилась в центр грани АВСВ. 148. Выполните параллельный перенос куба авсва\в{с\в\, АВВ\А\ переместился на середину отрез­ка АВ. 149. Известно положение вершин А(1; —АВСВ.В. Углы между прямыми 151. Дан куб АВСВА\В\С\В\. Постройте прямую, которая образует углы по 60° с прямыми ВС и А \В\. 152. М — середина ребра СС\ Найдите угол между А\МВ и середину отрезка А\М. 153. М —ВСС\В\ куба. Найдите угол между прямыми А\М и ОМ. 154. Найдите на диагонали ВВ\АВСВА\В\С\В\ такую точку Р, чтобы прямые АР и СР 155. Найдите угол между направлениями ва[ и В\В\, если отрезки ВА\ и диагонали соответствующих граней куба. 156. По условию задачи 152 найдите угол между направле­ниями А\МВВ\. Угол между прямой и плоскостью 157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, обра­зует с его диагональю угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает. 158. АВ —АВС. углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плос­костью и АВ. 159. квадрат, точка ММА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС. 160. Прямая I параллельна плоскости 6. Найдите на этой плоскости все такие точки М,М, пересекает б и образует равные углы с I и с плоскостью 6. 161. Прямая проходит черве вершину прямого угла и обра­зует с его сторонами углы в 45° и 60°. Какой угол она образует с плоскостью прямого угла? 162. Через сторону АВАВС проходит плоскость, образующая с прямой АС 168. На плоскости ху дана окружность {х — 4)2 --+ (у — З)2А имеет координаты (0; 0; 5). Найдите на окружности такую точку В, чтобы угол между АВ и ху был наименьшим возможным. 164. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоскости. Прямые ВС т АС образуют с плоскостью АВМ 166. Из точки М, находящейся вне плоскости 6, проведены к »той плоскости наклонные МА == 23 см и МВ === 9 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью б относятся, как 1 : 3, определите расстояние от точки М до плоскости б. 1@6. Из точки М, удаленной от плоскости 6 на 24 см, по­строены две наклонные, длины которых относятся, как 5 : 8. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1 : 2. Найдите длины наклонных. 167. Из точки М ^ б проведены к плоскости наклонные МА и МВ, проекции которых на плоскость 11 и 37 см. Зная, что углы между наклонными «М до 6. 168. МА и МВ - н аклонные, образующие с плоскостью 5, содержащей точки А и В, углы, один из которых в 4 раза больше другого. Зная, что проекции наклонных на эту пло­скость 600 и 119 см, найдите расстояние от точки М& 189. Из точки М к плоскости 8 проведены наклонные МА и МВ дджнон 79' и 25 ем. Углы между наклонными и плоскостью отяовявтся, как 1 : 5. Найдите расстояние от точки М до пло­скости 6. 17<^. В точке О к плоскости 6 восстановлен перпендикуляр. На иеж отаютенм точки А, В, С так, что АО — ВО == 144 см, АО — СО и плоскостью относятся, как 1:4:3, найдите МО. Угол между плоскостями 172. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из ко­торых разность расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна т? т : 174. АВСТ) — квадрат, треугольники МАВ и МВС — равносторонние. Найдите угол между плоскостями треуголь­ников. 175. Длины сторон трапеции 19, 19, 19, 45см. Плоскость проходит через основание трапеции под углом в 30° к пло­скости трапеции. Найдите расстояние от этой плоскости до дру­гого основания трапеции. 176. АВСВ — квадрат. Точка М удалена от каждой стороны квадрата на АВ. Найдите угол между плоскостью квадрата и плоскостью МВС. 177. Точка М удалена от каждой стороны равностороннего треугольника АВС на радиус окружности, описанной около треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и МАВ. 178. Точка М находится внутри двугранного угла а и удале­на от его граней на аЬ. Найдите ее расстояние от ребра дву­гранного угла, если а, а, Ь соответственно равны: а) 120°, 22см, 23см; 6)60°, 2см, 11см; в) 30°, 2см, 3 уз см; 179. Точка М 180. Сторона равностороннего треугольника 6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если плоскости Площадь ортогональной проекции 181. Плоскости а и р пересекаются. Треугольник АВС находится на плоскости а, его ортогональная проекция на плоскость р — Д А\В\С\. Ортогональная проекция на плоскость а треугольника А[В[С1 — Д Найдите угол между пло­скостями а и р, если площадь треугольника АчВ'гСч меньше площади треугольника АВС: 182. Стороны треугольника АВС 25, 29, 36 см, его ортого­нальная проекция на плоскость 6 — А А\В\С\. Ортогональная проекция треугольника а\в}с\ на плоскость стороны которого 12, 17, 25см. Найдите угол между плоско­стями АВС и 6. 183. Докажите, что при параллельном проектировании двух многоугольников, лежащих в одной плоскости, на одну и ту же плоскость площади проекций относятся, как площади многоугольников. 184. На плоскости 6 находятся квадрат и треугольник. Периметр квадрата 32 см, стороны треугольника 13, 37, 40 см. Проекция квадрата на плоскость б — прямоугольник со сто­ронами 5 и 8 см. Определите площадь проекции треугольника на плоскость 6. 185. Проекция квадрата АВСВ на плоскость 6 — прямо­угольник АВЕР, причем ортогональная проекция точки Р делит отрезок АВ в отношении 1 : 3, считая от А. 187. Напишите уравнение плоскости, которая проходит че­рез точку М(1; 3; 8) и отсекает на координатных осях равные отрезки. 188. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает оси в таких точках А, В, С, что АВ = 10, АСВС == 3 У29. 190. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает две координатные плоскости по прямым Зх — 2г —+ 5г -^- 15 == 0. 191. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна оси ОгА(1; 192. Найдите угол между плоскостями ху и —+ ^—+ _1_ г _ 1 + 12-- 1 - ^ ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС Многогранник 1. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пира­миды? 3. Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер. 5. Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют ли данные точки единственный много­гранник с вершинами в этих точках? 7. Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани — многоугольники, лежащие в параллельных пло­скостях, а все остальные грани — параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого определения. 9. Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости сим­метрии? Если да, изобразите призму, отвечающую этому ус­ловию. 10. Ребро куба 2 см. Паук находится в центра грани куба. Какой наименьший путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть х вершину параллельной грани? __ 11. АВСРЕРА\В\С1Р\ЕлР\ — призма. Докажите, что АВ\А?1 + РЁ1 + ЯА. 12. Диагональ боковой грани правильной й®стиугольной призмы образует с плоскостью основания угол, который на 15° больше угла между малой диагональю призмы и пло­скостью основания. Найдите эти углы. 18. А и В —МА и МВ образуют равные углы с плоскостью нижнего основания приемы. 14. Верно ли, что площадь боковой грани треуголь­ной призмы меньше суммы площадей остальных боковых граней? 15. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен­дикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани. 16. Три диагонали четырехугольной приемы имеют общую точку О. Докажите, что и четвертая диагональ приемы про­ходит через точку О. 17. Стороны основания прямой треугольной призмы от­носятся, как 5 : 9 : 10. Диагонали двух меньших боковых гра­ней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей боковой грани. 18. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала. 19. Основание призмы — прямоугольный треугольник АВС, две боковые грани (АВВ\А\ и АСС\А\) — квадраты. Найдите ^ В^АСх. 20. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от всех вершин данной правильной треугольной призмы. 22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой диагонали основания. Найдите отноше­ние площадей боковой и полной поверхности призмы. 23. Расстояния боковых ребер треугольной призмы от па­раллельных боковых граней равны 12, 15, 20см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы. 24. Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 480, 312, 200, 128 см2 . Найдите высоту призмы. 25. Основаш1е прямой призмы — ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41, 50 ем, найдите площадь боковой поверхно­сти призмы. 26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см. Найдите площадь поверхности призмы. 27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы. п- угольная призма, у которой диаго­наль боковой грани и? 29. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы. Сечение призмы плоскостью гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы. 32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата. 33. Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму пра­вильного /г-угольника. Для каких п ВОЗМОЖНОГО 71. 34. Дан куб АВСТ>А\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и ВС парал­лельно диагонали В^\. 36. В правильной четырехугольной призме сторона осно­вания 2 см, высота 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58). 4см. Найдите площадь сечения, ко­торое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^. 38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ АВ\С 39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треуголь­ной призмы АВСА\В\С\КЬМ периметра 36 см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см. Найдите угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис. 59). 40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений. Параллелепипед 42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда. 84 43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад­рат площади сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда. 44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба втрое меньше диаго­нали куба. 45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле­лепипеда равна сумме квадратов его ребер. 47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр осно­вания 56 см. Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10, 9 см. Найдите стороны основания. 48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекают­ся в точке О. Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО рав­ны 36, 37, 29 см, АЛ, == 17 см, АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда. 49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основа­ния 10 и 11 см. Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными числами, найдите пло­щади диагональных сечений. 22 . Определите длину диагонали параллелепипеда. 52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником. 53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, у которого длина диаго­нали и? 54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у которого сумма длин всех ребер 48 см? Пирамиды 55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной плоскости? 56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме плоских углов при всех вершинах пира­миды. Определите число ребер этой пирамиды. 57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды. 58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно по­строить треугольник, стороны которого равны суммам скре­щивающихся ребер этой пирамиды. Докажите. 59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скре­щивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке. 60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые сое­диняют середины скрещивающихся ребер треугольной пира­миды, в 4 раза меньше суммы квадратов ребер этой пирамиды. 62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Дока­жите, что сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды. 63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны кото­рого 16 и 22 см. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, найдите длины боковых ребер пирамиды. 64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между их проекциями 120°. Найдите высоту пирамида. 66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды ока­заться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом; в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиуголь­ником; д) трапецией? 6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием. 6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной по­верхности п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником. ©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите. Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды относятся, как 1:2:5:2. Найдите вели­чины этих углов. 71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I и образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал ползти из вершины А и, по­бывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в ту же точ­ку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука. 72. Сторона основания правильной шестиугольной пира­миды МАВСВЕР равна а, угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает, 80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в точку А. 73. Из каждой вершины основания правильной четырех­угольной пирамиды, площадь основания которой равна О, (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоско­сти, и найдите площадь четырехугольника К^МN. 74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с ними соотношением: Н 2 + с~2 . Докажите. . 76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпен­дикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверх­ности пирамиды. 77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2 . Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины состав­ляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а? 79. Двугранный угол между смежными боковыми гра­нями правильной четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь боковой поверхности пи­рамиды. 80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каж­дого диагонального сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды. 81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверх­ности призмы быть меньше площади боковой поверхности пира­миды? Если да,' то при каком условии? 83. Площадь боковой поверхности правильной четырех­угольной пирамиды равна сумме площадей основания и диаго­нальных сечений. Найдите величину плоского угла при вер­шине пирамиды. 84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которой О, проведены парал­лельно боковым ребрам пирамиды прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА1В\С\В\. Сечение пирамиды 85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, прохо­дящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторон­ним треугольником? 87. Площадь малого осевого сечения правильной четырех­угольной пирамиды О. Найдите площадь сечения, которое пер­пендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отно­шении 1:5. 88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ния 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани. 89. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды МАВСО равна а, боковое ребро I.АВ и ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения. 90. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды 12 см, а боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно про­тиволежащей боковой грани. 91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро 14 см. Найдите площадь сечения, кото­рое проходит через середину медианы основания перпенди­кулярно этой медиане. 92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про- о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади 93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про- ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше — площади основания. 94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АСВОМА == 18 см перпен­дикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину ребра МСВО основания (рис. 64).. Параллельные сечения пирамиды 95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпен­дикулярными боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от вершины пирамиды? 96. Площадь основания пирамиды 128 см2 . Площади двух сечений, параллельных основанию, 18 и 50 см2 97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вер­шины лежат на основании пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба. 98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите ребро куба. 99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке. 2 . Найдите площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер. 101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды имеет длину 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см. Найдите площади осно­ваний усечённой пирамиды. 102. Отрезок 00\ 103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади оснований. 104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отре­зок, соединяющий середину малой диагонали большего осно­вания с центром другого основания, параллелен одному из боко­вых ребер. Как относятся площади оснований усеченной пирамиды? 105. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо­ны оснований 2 и 5 дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего основания параллельно боковому ребру. периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. 107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры осно­ваний усеченной пирамиды равны Р и Р\. Площадь поверхности усеченной пирамиды пирамиды. 109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды. 110. Периметры оснований правильной треугольной усечен­ной пирамиды 18 и 36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пи­рамиды. 111. Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамиды АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Рас­стояние от вершины А \ меньшего основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пира­миды. Найдите площадь по­верхности усеченной пирамиды. Правильные многогранники 113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров? 114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра? 115. Для каких п 116. Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°. 117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите, что лучи попарно взаимно пер­пендикулярны. Движения 118. Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую фигуру образуют все эти центры? 119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани. 120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п == 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды. 121. АВСВА\В\С\В\ —М 6 ал. МN, у которого середина находится на плос­кости СС\А, а точка N лежит на ребре СВ. АВМСМО правильной пирамиды МАВС. 123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия. х + у -\- г — 3=0 относительно точки М (2; 2; 2). 125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и ВОг. 126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани МАО. 127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости АВВ\ : а) отрезку В^', б) данному отрезку с концами на ЕС и А\С\. МАВСВ равны. Найдите на плос­кости ее основания точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих на МА и МС. В и Е находятся на боковых гранях правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на плоскости АВС точку с наи­меньшей возможной суммой расстояний 130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пи­рамиды МАВС.В и Е. В та Е находятся на стороне основания правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В и Е. 132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{АВСА\В\С\ даны точки В и Е. Постройте равнобедрен­ный треугольник, у которого вершина находится на ВВг, концы основания — на АВВС,В и Е. 133. Точки В и ЕМАВ и МВСМВ, концами основания на АВВС, чтобы боковые стороны содержали 134. Точки ЕР находятся на гранях МАВ и МСО правиль­ной четырехугольной пирамиды Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах МВ и МС, а боковые стороны содержат точки ЕР. 135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Построй­те на ее поверхности все точки, принадлежащие плоскости сим­метрии плоскостей: б) АА\В и АА\Е;АА\В и АА\В; г) АА^В и ВВ\С;АА^С и ВВ\Е; ж) АА ,С и ВВ\Р. 136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое ребро одной равны трем сторонам осно­вания и боковому ребру другой? Если нет, то какое нужно до­полнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны? 137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее осно­вание — квадрат АВСО.А и С; б) середины двух сторон квадрата. 138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды и 1)В\С\В\ равны. 139. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных призм. Обоснуйте эти признаки. 140. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных пирамид. Обоснуйте эти признаки. 142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых граней соответственно равны? 143. правильная пирамида. Докажите равен­ство пирамид: а) МАВС и МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ. 144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Рав­ны ли пирамиды: а) С^ВСВ и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ; в) ВАА^В и Цилиндр 145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от дан­ной прямой I на. а и равноудаленные от данных точек А и В? 146. Постройте изображение вписанных в окружность пра­вильного восьмиугольника и правильного двенадцатиуголь­ника. 147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением катетов 2 : 3. 148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке М под прямым углом. 149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке М под углом в 60°. 150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса. 151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и равнобокой трапеции с углом 45° при боль­шем основании. 152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях осно­ваний цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь. 153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра. 155. Около данного цилиндра опишите правильную четырех­угольную пирамиду, высота которой вдвое больше высоты цилиндра. 156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, его обра­зующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра. 157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали куба с ребром а, а каждая из окруж­ностей оснований касается трех граней куба, имеющих об­щую вершину. Конус 158. В равносторонний конус, образующая которого I, впи­сана правильная шестиугольная призма, боковая грань кото­рой — квадрат. Найдите площади диагональных сечений призмы. 159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь осевого сечения конуса. 161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плос­костью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше пло­щади осевого сечения. Найдите угол между образующей и плос­костью основания конуса. 162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равны а. Четыре вершины призмы лежат на окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите высоту конуса. 163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а.АС\ со­держит высоту равностороннего конуса с вершиной А. Окруж­ность основания конуса касается трех граней куба с общей точ­кой С1. Найдите образующую конуса. 164. Основание конуса находится на грани АВСВ которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\. Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой, которая про­ходит через: а) В\ВС;ВС\; в) сере­дины ВС и ВЁ1 (рис. 69). Усеченный конус 165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного конуса? 166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каж­дого из которых концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса? ее радиус. 168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная, что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований. Сфера и шар А на все плоскости, проходящие через данную точку В? 171. Из точки М к данному шару можно провести три взаим­но перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М? 172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы радиуса Ь? 173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а) данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей? 174. Даны плоскость б и точка МВ, которые проходят через точку М и касаются плоскости б? 175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере, имеют равные длины. А. На продолжении диаметра АВ = а взята такая точка С, что ВСЬ, в ней поме­щен точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость 6. 177. Диаметры АВ, СВ, ЕРп равных частей, через точки деления проходят плоскости, перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили сферу, если: а) п == 4; б) пп --=- 5; г) п == 8? 178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпен­дикулярных сечения, радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2 см, найдите площади сечений. 179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л и 320я см2 . Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений имеет длину 16 см. 180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны. 181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, обра­зует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. а. Найдите радиус описанной сферы. 183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами- ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т I и Н центр описан­ной сферы находится внутри пирамиды. 184. У треугольной пирамиды ===16 см, МВАС =з 19 см, МС == АВ == 21 см. Определите радиус опи­санной сферы. 185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы. 186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы площадей ее противолежащих боко­вых граней равны? 188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найди­те радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды. 189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите ра­диус сферы, которая касается всех ребер тетраэдра. 190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образую­щая 15 см, вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности. 95 Сфера и ее уравнение 191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по ко­торой пересекаются поверхности шаров 30л см. Определите рас­стояние между центрами шаров. 192. Имеется обломок шара. На основании каких построе­ний и измерений вы могли бы определить его радиус? 2 + у2 + + г2 = 4 и х2 + у2 + г2 - 24ж - 12у + 16г - 168 = 0. х2 + у2 + 4- 22 == 16 и плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0. ху. Объем прямоугольного параллелепипеда 196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямо­угольного параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см; б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см? 197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих частей можно было сложить призму, осно­вание которой: а) прямоугольная трапеция; б) равнобокая тра­пеция? 198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого расстояния от центра до ребер равны 13, 20, 21 см. 199. На ребрах АА\ВВ\АВСВА\В\С\В\М и N. Постройте плоскость, которая проходит через эти точки и делит параллелепипед на равные части. 200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых гранях. 202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипе­дов с данной длиной диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину, когда эти числа равны». 203. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры трех граней 36, 40, 48 см. 204. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого длина диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22. Объем прямого параллелепипеда АВС^А\В\С^^\ диагонали АС\В^\ВС 96206. Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда 60°, площади диагональных сечений 56 и 72 см2 , длина бокового ребра 4 см. Найдите объем паралле­лепипеда. 207. Расстояния от центра прямого, параллелепипеда до основания и боковых граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = == 70 см. Определите объем параллелепипеда. 208. Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см2 . Расстояния от центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем параллелепипеда. Объем наклонного параллелепипеда Ь. Боковое ребро равно I и образует со сторонами осно­вания углы в 45° и 60°. Найдите объем параллелепипеда. 210. Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские углы при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда. Объем призмы 211. Площадь основания правильной четырехугольной призмы О. Длины диагоналей двух граней относятся, как 1 : 3. Найдите объем призмы. 212. Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму правильной призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 % полезного объема, 213. Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основания а, боковое ребро Ь,Ь, боковое ребро а (а > Ь). 214. Две одноименные правильные га-угольные призмы равновелики. У какой из них больше площадь боковой поверхности 215. Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно и стенки канала длиной по о. При какой ве­личине угла между дном и стенками канала его пропускная способность будет наибольшей? 216. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы 'О. Плоскость проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения. 217. Высота правильной шестиугольной призмы Н. 218. Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади параллельных боковых граней 96 и 264 см2 , а площади двух других боковых граней 156 и 180 см2 . Найдите объем призмы. 219. Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306 см2 . Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см22 . Найдите объем призмы. 220. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 ; 39 : 16. Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы. 222. В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой длины четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных сторон основания — по 3 см. Найдите объем призмы. 223. В сферу радиуса Л вписана правильная треугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, накло­нен к плоскости боковой грани под углом к. Найдите объем призмы. Объем пирамиды 234. Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°, Найдите объем пирамиды. 226, Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее ос­нование — трапеция с длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найди­те объем пирамиды. 236. Длин» каждого бокового ребра пирамиды 35 см, сторо­ны основания 20, 34, 60, 66 см. Найдите объезд пирамиды. 227. Высота правильной вдестиурол&ной пирамиды Я, Рас­стояние от середины высоты де бокового ребра у 4 раза меньше стороны основания. Найдите объем пирамиды. 228. Длина пятке ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что объем пирамиды не более 1 см3 . 229. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше — квадратного корня из произведения длин всех ребер пира­миды. 230. Стороны основания усеченной ' треугольной призмы 28, 45, 53 см, а боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите объем усеченной призмы (рис. 70). Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересе­кает все боковые ребра призмы, то полученные части приемы будем называть усеченными призмами. 231. Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых ребер. 232. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними 30°. Плоскость отсекает на трех боко­вых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см. Найдите объем той части призмы, которая заключена между основанием и плоскостью сечения. 233. Основание прямой призмы — трапеция, у' которой стороны АВ == СО == 13 см, ВС = 18 см, > == 28 см. Плос­кость проходит через точку С и отсекает на ребрах ВВ\ и ВВ\ от­резки по 9 см. Найдите объем части призмы между основанием и проведенным сечением. 234. В параллелепипеде АВСВА\В\С\0\ точка К — середина ребра АА\, точка М — середина ребра = а, КВ\ == Ъ, МВ\ == с, причем ВВ\, КВ\ 235. Развертка поверхности пирамиды — квадрат со сторо­ной а. 236. Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см. Периметры двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см. Найдите объем пирамиды. 237. Даны тетраэдры МАВС и М\А \В\С\, у 238. Через сторону основания и среднюю линию противоле­жащей боковой грани правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду. 239. Через сторону основания и середину высоты правиль­ной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые при этом разделилась пирамида. 240. Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды. 241. Докажите» что объем правильной пирамиды меньше та -у куба длины ее бокового ребра. 242. Каждое боковое ребро пирамиды МАВСВ равно I. АМВ = /-. ВМС == ^. АМС == 90°, ^ АМО == = ^ СМВ. Найдите объем пирамиды. АВ, вершина пирамиды М, О пирамиды равен — произведения площади сечения МАВ на з расстояние от точки О до плоскости МАВ 244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все остальные грани — треугольники или трапе­ции, все вершины которых лежат на основаниях. Докажите, что объем многогранника V = —Ог + 4<?о), где Я — рас­стояние между плоскостями оснований, 61 и Оч —<?о — площадь сечения, проходящего через сере­дины всех ребер, не принадлежащих основаниям (рис. 72). 245. Найдите объем чердачного помещения, у которого основание — прямоугольник 6 X 12 м, высота 1,5 м, длина гребня 9 м. Объемы подобных тел 246. У двух правильных треугольных пирамид двугранные углы при основаниях равны по 60°. Высота одной пирамиды равна стороне основания другой. Как относятся объемы этих пирамид? 247. При каком построении плоскость рассекает прямоуголь­ный параллелепипед с измерениями 2, 4, 9 см на два подоб­ных параллелепипеда? Найдите объемы этих параллеле­пипедов. 248. Через центр масс основания треугольной пирамиды проходит плоскость, параллельная боковой грани. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду. 249. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V. В результате параллельного переноса вершина А 250. Найдите отношение объемов частей, на которые пра­вильная треугольная пирамида делится плоскостью, проходя­щей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани. 251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды. 252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь сечения, параллельного плоскостям осно­ваний, равна полу сумме площадей оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило усеченную пирамиду? Объем цилиндра 253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7 цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11 раз меньшими радиуса ци­линдра (рис. 73). Какая часть пороха сгорит после того, как горение перестанет быть прогрессивным? 100 254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались горизонтальными? 255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем? Объем конуса 256. А. ВСВ •= 14 см— хорды основания конуса, вершина которого М. Плоскости МАВ и МАС наклонены к плос­кости основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса. 257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны 5,10,13 см. Построены два конуса, у кото­рых вершины — центры оснований усеченного конуса, а осно­вания совпадают с основаниями усеченного конуса. Найдите объем общей части этих конусов. 259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем? Объем тела вращения 260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения. 261. Найдите объем тела, образованного вращением квад­рата со стороной а вокруг прямой, которая находится в плос­кости квадрата, проходит через его вершину вне квадрата под углом ст к стороне квадрата. 262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения. 263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба. 264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения. Объем шара и его сегмента 265. Расстояние между центрами трех шаров, которые по­парно касаются,— 6, 8, 10 см. Определите объемы этих шаров. 266. Четыре шара радиуса Л расположены так, что каждый касается остальных. Найдите объем шара, который касается всех этих шаров. 267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы. 268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара: а) 9 : 4; б) 8 : 8. 270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при вершине пира­миды. 271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на координатных плоскостях и ва плоскости 12з; + Зу + 42 — 24 == 0. 272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносто­ронний конус. Докажите, что У^,== -\/Ущ • Уу. 273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равно­сторонний конус. Докажите, что Уц == "УКи • у » • 274. Докажите, что объем шарового сегмента равен яй2 (л — -з- )> где и — радиус шара, а Н — высота сегмента. 275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образую­щая 10 см, вписан шар. Через линию касания этих тел прове­дена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар. 276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступаю­щей из воды части 6 см. Найдите плотность материала, из кото­рого сделан шар. 277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°? Н и является диаметром шара. Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса. Площадь поверхности цилиндра 279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра являются осями цилиндрических поверхностей радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограничен­ного названными цилиндрическими поверхностями и основа­ниями призмы. 102 цилиндра. 281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра. Площадь поверхности конуса 282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса. 284. Квадрат АВСВ площадью 120 см2 , согнув, поместили на поверхности конуса. При этом диагональ АС совпала с об­разующей, а диагональ ВО оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74). Определите объем и пло­щадь поверхности конуса. 285. Радиус полушара Н. 286. В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего воз­можного объема. Определите площадь поверхности этого конуса. 287. Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности конуса. Площадь поверхности шара 288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая про­ходит через все вершины одной грани и касается параллель­ной грани куба. 289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найди­те площадь сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба. 290. Развертка боковой поверхности треугольной пирами­ды — квадрат со стороной а. Найдите площадь сферы, вписан­ной в эту пирамиду. 291. Докажите, что площадь сферической поверхности шаро­вого сегмента 8 == 2этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента. 292. Высота правильного тетраэдра Н = 12 см. Точка, равно­удаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра. 293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих шаров. 294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, раз­делившая призму на части с отношением объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу? 295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит сферу?