Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.
Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П. В.
Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и УМФ
Екатеринбург.
1999.
1. Координаты центра тяжести.
Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1
(x1
,y1
); P2
(x2
,y2
); ... , Pn
(xn
,yn
)
1
,m2
,m3n
.
Произведения xi
mi
и yi
mi
называются i
относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc
и yc
координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
2. Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1
(x), y=f2
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1
, . . . , x=xn
=b на полоски ширины Dx1,
Dx2
, . . ., Dxn
. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 1) с основанием Dxi
и высотой f21
(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
d сократилось).
3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
1
, P2n
c массами m1
, m2
, . . ., mn
определяются по формулам
.
В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:
(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g.
то соответствующие формулы будут иметь вид
Выражения
и
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.
Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
II. Примеры.
1)
Условие:
Найти координаты центра тяжести полуокружности X2
+Y2
=a2
, расположенной над осью Ox.
Решение:
Определим абсциссу центра тяжести: ,
Найдем теперь ординату центра тяжести:
2)
Условие:2
Решение:
В данном случае поэтому
(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)
Условие:
Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.
Решение:
По формулам (*) получаем:
4)
Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии.
Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т. е. Xc
= 0. Остается найти. Имеем тогда длина дуги
Следовательно,
5)
Условие:
.
При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен
Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т. е. на биссектрисе I координатного угла, а потому
III.
1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965
| 
