Билеты по геометрии (11 класс)

Билеты по геометрии (11 класс) Билет № 3 1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 2. Объем призмы. 1. 1. Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA 2. Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки. 1. Пряммая и плоскость не имеют общих точек т. е. a÷ïa 2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту . Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1 В1 С1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SAB DВС D ·h. По св-ву 20 объемов V=V1 +V2AB D ·h+ SВС DAB D + SВС D ) h. Т. о. V=SАВС ·h Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h , Sh. Теорема доказана. Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол1/ /2 ab то S∆ =ab =>V∆ = Sh ч. т. д. Билет №5 1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры) 1. Рассмотрим пл αи т А, А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α . Отрезок АН называется, ^ проведенным из т А к пл α, a т Н ^. Отметимв пл αкакую-нибудь т М, отличную от Н, и проведем отр AM.наклонной , про-вед из т А к пл α, а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной α. Сравним ^АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл. => из всех расстояний от т А до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется A до пл α Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. 2. Теорема . Д-во . Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп , через rп — радиус цилиндра Рп . Так как объемпризмы Fn равен Snnn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , тоVn <Sn<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп→∞). Поэтому V цилиндра Рп стремиться к объему цилиндра Р: limVnn<Sn h<V) =>, что n→∞ limSnnπr2 Т. о V=πr2 h. т. к πr2 =S ,то получим V=Sосн h. n→∞ n→∞ Билет № 6 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры) 2. Объем конуса. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми. Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна. 2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О. Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М111 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1 А1 и ОМА=> что ОМ1 = R1 , или x = R1 R= xR так как S(x)= pR1 2 ,то S(x)= pR2 ОМ R h R h h2 Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим h h h V= ∫ πR2 x2 dx= πR2 ∫ x2 πR2 × x3 ½ = 1 πR2 h h2 h2 h2 3 3 0 0 0 2 , поэтому V=1 /3 Sh. Следствие.11 /3 h(S·S1 +√ S·S1 ). Билет №7 1. Угол между скрещивающимися прямыми 2. Площадь боковой поверхности цилиндра. 1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную т. М11 В1 и С1 D1 Если ∠ между прямыми А1 В1 и С1 D1 =φ, то будем говорить , что∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А2 В22 D2 соответственно парал. АВ и СD Т. к А1 В1 ∥ А2 D2 , С1 D1∥ C2 D2 , то стороны углов с вершинами в т. М1 и М2 попарно сонаправлены( ∠А1 М1 С1 и∠А2 М2 С2∠А1 М1 D1 и∠А2 М2 D2 ) потому эти ∠ равны, ⇒что∠ между А2 В22 D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ. Угол между прямыми A'B'и CD= φ 2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т. о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А'. Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота. за S бок цилиндра принято считать S её развертки. Т. к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула S бок =2πrh Билет № 9 1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры) 2. Сложение векторов. Свойства сложения. 2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b. Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется b Это правило сложения векторов называется правилом треугольника . (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a +b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1 С1 Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н. );(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены. Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА Билет № 10 2. Умножение вектора на число. Св-ва произведения вектора на число. 1. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями. У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла.ÐАОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА1 О1 В1 . Лучи ОА и О1 А11 , поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1 О1 В1 =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть ( 90°, <90°, >90°) 2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно k ·a , причем вектор a и b сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства: (kl)a= k(al) (сочетательный з-н) k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н) (k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н) отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т. е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: (-1)a =(-1)×а=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka. 1. призма (формулировки , примеры) 2. Скалярное произведение векторов. 1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1 А2. ., Ап и В1 В2. ... Вп , расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1 В1 ,А2 В2 , ..., Ап Вп, соединяющие соответственные вершины мн- ков, параллельны. Каждый из п 4- хугольников A 1 A2 B2 B 1 , А2 А3 В3 В2 , .... An A 1 B 1 Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1 A2 ... An и В1 В2 ... Вп , расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A 1 A 2 . ... An и B 1 B 2 ... Bn наз основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы. От резки А1 В1 , А2 В2 ..., АпВп наз бо - коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны. Призму с основаниями A 1 A 2 . ... An и B 1 B 2 ... Bn A 1 A 2 . ... А n В 1 В2 ... В n и называют п-угольной призмой. 4-ехугольная призма- параллелепипед.^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^к основаниям, то призма наз пря - мой, в противном случае –пра - вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— полн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os осн ос-нования призмы форму Sполн =S6oк+ 2Sосн . 2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb. Т. о. ab=a×bcos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т. е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1 ;y1 ;z1 } и b{x2 ;y2 ;z2 }выражается формулой: аb= x1 x2 +y1 y2 +z1 z2Ða между ненулевыми вектора-ми а{x1 ;y1 ;z1 } и b{x2 ;y2 ;z2 } вычисляется формулой. соsa= x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 . ×b, то cosa= ab √x1 2 +y1 ²+z1 2 ⋅√ x2 2 +y2 ²+z2 2 a×b 10³) , причем а2>0 при а¹0 20 . ab=ba(переместительный з-н) 30 .(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н) 40 . k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н) Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.) Билет № 12 1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры) 2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку. 1. Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой , в противном случае наклонной. Прямая призма называется , если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. 2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна. Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл a. Т. к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А2 пл a. проходит через прямую а. Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н.=>, она совпадает с пл a., т. к по аксиоме А1 через 3 точки проходит только одна плоскость. Билет № 13 2. Теорема о боковой поверхности призмы. 1. Прямоугольный параллелепипед. прямоугольник, ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1 B1 C1 D1 . Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1 B1 C1 D1 a боковые ребра АА1 , ВВ1 , СС1 и DD1 ^к основаниям. Отсюда=>, что АА 1 ^АВ, АА 1 В1 прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда: 1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда. 2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1 . Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что . 2 . Теорема: S Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h . Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е его периметр Pбок =Ph S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph Билет № 14 1. Пирамида(формулировка , примеры) 2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку. 1. Пирамида. Рассмотриммногоугольник А1 А2 …Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1 А1 , РА2 А31 . Многоугольник, составленный из n 1 А2 …А n и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1 А2 …Аn назы-вается , а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т. Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1 ,РА2боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1 А2 ,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1 А2 …Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых граней 2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямая, параллелькая данной, и притом только одна. Д - во. a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,М α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, b . b — единственная прямая, проходящая через т М Билет № 15 2. Признак параллельных прямых. 1 . . Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность . Сами отрезки называются β заполним окружность L1. L и L1 называется цилиндром . Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра,основаниями цилиндра.образующими цилиндра , прямая ОО1 - осью цилиндра. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥к оси цилиндра , то сечение является Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу. Параллельность прямых а и bобозначается так: а b . Докажем теорему о параллельных прямых. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна. Д - во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит пл, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой α.М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b . Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана. 1. Конус (формулировки и примеры) 2. Признак параллельности прямой и плоскости 1 .Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью а сами отрезки – . Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L , называется конусом . Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса , а круг - снованием конуса . Т. Р называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется . через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением.⊥к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т. О1 , расположенным на оси конуса. R1 этогокруга равен РО1 /РО r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия△РОМ∾△РО1 М1 2.Определение . Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости. Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости. Билет № 17 1. Сфера, шар( формулировки, примеры) 2. Признак параллельности плоскостей. Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки Данная точка называется центром сферы (т О ), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H(вклю-чая и точку О), и не содержит других точек. 2. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны. Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости αлежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a1 и b\ , причем aa1 и bb1 . Докажвм, что ab. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости aβ и bβ. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с . Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости β. Поэтому bc. Т. о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т. к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α β. Теорема доказана. Билет № 18 1. Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример) 2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости. Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости. Д-во . Рассмотрим 2 ║а и а1 и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а1 ^α.. проведем какую-нибудь прямую х α. Так как а^α, то а^х.1 ^х. Т. о. прямая а1 ^ к любой прямой , лежащей в пл a т. е а1α. . Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны. Билет №20 1. Фрмула обьема шара( формула примеры) 2. Теорема о трех перпендикулярах 1. Объем шара радиуса R равен 4 /3 p R3 Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т. О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R. Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 = ÖR2 -x2 . Так как S(x)=pR222 ). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т. М на диаметре АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим V px3 R 4 ∫p(R2 -x2 )dx= pR2 ∫ dx-p∫x2 dx=pR2 x½- ½= pR3 3 3 -R -R -R -R -R 2. Теорема . Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м^ к проекции НМ наклонной. Докажем , что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр. а ^к этой пл, т. к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т. к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а^АМ Обратная теорема.