История развития комплексных чисел

История развития комплексных чисел История развития комплексных чисел 1. История развития комплексных чисел Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т. е. ещё в 16 веке. И до этого открытия при решении квадратного уравнения x22 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень. Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием. 2. О комплексных числах. Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0). Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе- ние i*i равно –1, т. е. i2 = -1. (1) названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т. п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике. Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен. согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. 3. Соглашение о комплексных числах. 1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i). П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом. З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i. 4. Сложение комплексных чисел Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами. Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9). Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4 4. Вычитание комплексных чисел. О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi(уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i. Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6 5. Умножение комплексных чисел. Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i = - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. З а м е ч а н и е 1. Равенство i2­­­­­ ­ ­­­ ­­ = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 ­­­­­ ­­­­­­­, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1. З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2­­­­ = -1. Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 ­ = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i. Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2 6. Деление комплексных чисел. О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое. Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом. Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i). Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку. Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0. 92i. Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу: Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi. З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления. З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения: a’x – b’y = a; b’x + a’y = b. если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 + b’2 = 0. Остается рассмотреть случай a’2 + b’ 2 не существует (говорят, что оно равно бесконечности). 7. Геометрическое изображение комплексных чисел. Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел. абсцисса х ( на фиг. 2 х=ОР= =QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа. П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число –2 + 6i; точка С – комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i. Действительные числа ( в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые – точками оси У. П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i; точка N – чисто мнимое число – 4i. Начало координат изображают число 0. Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i. Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д. З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка. 8. Модуль и аргумент комплексного числа. Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается a + bi , а также буквой r. Из чертежа видно, что r = a + bi = a2 + b2 Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + biua – bi имеют один и тот же модуль. 9. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Пусть векторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yiuz’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел. Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’. Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые. Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому z - z’ < z + z’ < z + z’. Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг. 5) или противоположные (фиг. 6) направления. В первом случае OM + OM’ = OK, т. е. z +z’=z + + z’. Во втором случае z + z’=z - z’. 10. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами a = r cos q; b = r sin q. > 0. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. ­ Материал иснользовался из книги