Часть 1.
Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.
1. 1.(х0
, у0
Ответ: 0
1. 2.[z0
, y0
] равно:
Ответ: - х0
1. 3.[z00
] равно:
Ответ: y0
1. 4.(х0
,z0
) равно:
Ответ: 0
1. 5.(y0
,z0
) равно:
Ответ: 0
1. 6.[z0
,r0
] равно:
Ответ: Ф0
1. 7.[Ө0
, r0
] равно:
Ответ: -Ф0
1. 8.(z0
,Ф0
) равно:
Ответ: 0
1. 9.[ Ф0
, Ө0
] равно:
Ответ: -r0
1. 10.(х0
, [y0
,z0
]) равно:
Ответ:1, (z0
, [x0
,y0
])
0
, [z0
,y0
]) равно:
Ответ: (y0
,[x0
,z0
]), -1
1. 12. (x0
, [y0
,y0
1. 13. [x0
, [y0
,z0
0
(x0
,z0
) – z0
(x0
,y0
)
0
,[z0
,Ф0
]) равно:
000
])
1. 15. (r0
, [Ө0
, Ф0
]) равно:
Ответ: 1, (Ф0
, [r0
, Ө0
])
1. 16. (x0
, [y0
,z0
]) равно: Ответ:1
0
,[y0
, x0
]) равно:
Ответ: 0
1. 18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:
1
=1, h2
=1, h3
=1
1. 19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:
Ответ: h1
=1, h2
=r, h3
=1
1. 20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:
Ответ: h1
=1, h2
=r, h3
=rsinФ
1. 21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:
Ответ: ax
bx
+ay
by
+az
bz
0
y0
z0
1. 23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c в декартовой системе координат равно:
Ответ: выбрать матрицу (ax
bx
cx
…..)
1. 24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:
Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В)
1. 25. (А,[A,B])равно:
Ответ: 0
1. 26. (A,[B,B]) равно:
Ответ: 0
1. 27. (A,[B,C]) равно:
Ответ: (C,[A,B]), (B,[C,A])
Ответ: B(A,C) – C(A,B)
1. 29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен:
Ответ: (A,[B,C])
1. 30. Угол между векторами А и В равен:
Ф= arccos (A,B)/A x B
1. 32. Орт радиус-вектора r=x00
y + z0
z равен:
Ответ:длинное выражение с корнями
1. 33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:
Ответ: ABsinф, где A= A, B = B, ф - угол между векторами
[A,B]
Ответ: -С, -С0
C∂
Часть 2.
2. 1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен:
Ответ: x0
∂ψ/∂x+y0
∂ψ/∂y+z0∂ψ/∂z
2. 2. gradr – градиент скалярной функции r = r, где r = x0
x+y0
y+z0
z, равен:
0
∂r/∂x+ y0
∂r/∂y+ z0
∂r/∂z, r0
2. 3. grad ln(r), где r =r, r0
=r/r, r=x0
x+y0
y+z0
Ответ: r0
/r
2. 4. grad sin r,где r=r=√x^2+y^2+z^2, r=x0
x+y00
z равен:
Ответ: d sin r/ dr grad r, (cos r) r0
2. 5. grad 1/r, где r=r,r=x0
x+y0
y+z0
z равен:
Ответ: -r0
/r^2
2. 6. [gradr, r] равно:
Ответ: 0
2. 7. Производная скалярной функции U=r(r=r), по направлению оси OZ, где r=x0
x+y00
zравна:
Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z0∂U/∂z=z/r
2. 8. Производная скалярной функции U=1/r(r=r), по направлению радиус вектора r=x0
x+y0
y+z0
z равна:
∂U/∂r=(grad(1/r),r0
), ∂U/∂r=-1/r^2
2. 9. Производная скалярной функции U=r, где r=r= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:
∂U/∂x=(gradr, x0
), ∂U/∂x=x/r
2. 10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=r) по направлению радиус вектора r=x0
x+y0
y+z0
zравна:
Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r0
)
2. 11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=r) по направлению радиус вектора r=x0
x+y0
y+z0
zравна:
∂U/∂r= (grad(cosr), r0
), ∂U/∂r=-sinr
0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
равна:
Ответ: ∂Fx
/∂x+∂Fy
/∂y+∂Fz∂z
Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона
2. 14. div (r), где r=x00
y+z0
z, равна:
Ответ:3, drxy
/dy+drz
2. 15. div (sin(r)r), где r=r, r=x0
x+y0
y+z0
z равна:
0
x+y0
y+z0
Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r), 3 ln r+1/r(r/r,r)
2. 17. Поток вектора F через поверхность S – это:
Ответ: Ф=∫(F,n00
2. 18. Дивергенция орта радиус-вектора r0
=r/r, где r=r, r=x0
x+y0
y+z0
Ответ: div r0
=1/r div r + (grad1/r,r), div r0
=2/r
Ответ: ∮Fds=∫divFdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V
2. 20 rot F – ротор вектора F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
равен:
Ответ: матрица
2. 21. Поле вектора а потенциально, если
Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция
0
=r/r, где r=r, r=x0
x+y0
y+z0
00
=0
2. 23. Теорема Стокса- это:
Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L
2. 24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:
Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0
2. 25. Поле радиус – вектора r=x0
x+y0
y+z0
z:
Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально
2. 26. rotr, где r=x0
x+y0
y+z0
zравен:
Ответ: 0
2. 27. rot(f(r) r), где r=r, r=x0
x+y00
z, равен:
2. 28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
Ответ: rotF
2. 29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:
Ответ: ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2
2. 30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен:
Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0
2. 31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна:
Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ
2. 32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:
Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F
2. 33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен:
Ответ:φ gradψ+ψgradφ
2. 34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:
Ответ:ψdivF+(gradψ,F)
Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F])
2. 36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:
Ответ:gradψ, x0∂ψ/∂x+y0
∂ψ/∂y+z0
∂ψ/∂z
2. 37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг,F), где F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
| 
