Реферат/сочинение: "Матиметические понятия"

Матиметические понятия

2. Объем и содержание понятия. Определение понятия.

Существенное свойство — свойство, без которого объект не может существовать.

— свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют

Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляе

Например, содержание понятия "квадрат" — это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.

—термином (название);

—объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);

—содержанием ( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем "больше" объем понятия, тем "меньше" его содержание, и наоборот. Объем понятия "треугольник" "больше", чем объем понятия "прямоугольный треугольник", так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия "треугольник" "меньше", чем содержание понятия "прямоугольный треугольник", так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Определение понятия — это логическая операция, которая, раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия "прямоугольный треугольник" позволяет отличить его от других треугольников.

Различают явные и неявные

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым,— определяющим.

Например: "Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны". Здесь определяемое понятие — "квадрат", а определяющее — " прямоугольник, у которого все стороны равны".

Самый распространенный вид явных определений — это определение через род и видовое отличие."прямоугольник", содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию "квадрат", а свойство "иметь все равные стороны" позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов — квадраты.

Основные правила явного определения.

1) Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

Например, несоразмерно следующее определение: "Параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие", так как в объем определяющей входят и скрещивающиеся прямые.

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Круг возникает либо тогда, когда определяемое понятие характеризуется через него же, используются лишь иные слова, либо когда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое.

Неявные определения не имеют формы равенства двух понятий. Часто в таких определениях вместо определяющего содержится контекст (отрывок текста). Определения такого вида называют контекстуальными. К неявным относятся еще остенсивные определения, когда называют и показывают тот объект, термин для которого вводят.

3. Умозаключения и их виды.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ

Умозаключение —₂ , А_п (п > 1) к новому высказыванию В.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

< 3 • 2 (А!)

4+ 3 < 4 • 3 (А₂ )

7 + 5 < 7 • 5 (Аз).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у то х меньше у (А). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А₂ ). Следовательно 7 < 8 (В).

В умозаключении различают посылки — высказывания представляющие исходное знанием и заключение — высказыванием к которому приходят в результате умозаключения.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключением но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение — потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь различают правильные (дедуктивные) и неправильные (недедуктивные) умозаключения.

Дедуктивным умозаключением называется умозаключением в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.

Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать

Ошибки в рассуждениях неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и Формулы приводят к ложному заключению. Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать помогает усваивать многие математические факты.

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Приором таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция — это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством делается вывод что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.

Рассмотрим пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5 делится на 5. В данном случае заключение истинно — нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать. Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать обобщать делать выводы.

при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки способствует развитию математической интуиции.

4. Понятия множества. Способы задания множеств.

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА

В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: цифры: 0,1,2,3,4. 5,6,7,8,9. натуральные числа: 1, 2, 3, 4,... треугольники и т. д.

Все эти различные совокупности называют множествами . Множество — одно из основ- ных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце 19 века как обобщение понятий: класс группа, набор и т. п.

В быту множеством называют большое количество элементов. В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объектами не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А. В. С Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 Например, пустым является множество решений уравнения 5 : х = 0.

Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:

N — множество натуральных чисел,

— множество целых чисел,

Q — множество рациональных чисел,

R — множество действительных чисел.

элементами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с,..., .

Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество букв русского алфавита — конечное, а множество точек на прямой — бесконечное множество.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Способы задания множеств:

— перечисляют все его элементы : А = { 3,4,5,6,7 },

(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).

— у

В — множество двузначных чисел,

(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).

Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Так, характеристическое свойство элементов множества В — "быть двузначным числом".

При обучении дошкольников математике большое место отводится формированию у детей представлений о множестве, его элементах, способах задания и операциях между множествами. В явном виде множества не изучаются, но пронизывают все задания и вопросы.

Названные способы задания множеств взаимосвязаны — если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.

5. Отношения между множествами. Операции над множествами.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

пересекаются.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются .

Пусть С — множество изображенных треугольников, D — множество изображенных квадратов, тогда С и D — непересекающиеся множества. Пусть С — множество изображенных геометрических фигур, D — множество изображенных треугольников, тогда каждый элемент множества D является элементом множества С. Говорят, что множество D является подмножеством множества С. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В: АсВ Пустое множество считают подмножеством любого множества:

0<= в Любое множество является подмножеством самого себя:

ВсВ

Если каждый элемент одного множества является элементом другого множества, и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества, говорят, что множества равны

Отношения между множествами:

1. Множества не пересекаются, (рис. 17).

2. Множества пересекаются:

а) множества имеют общие элементы, но ни одно не является подмножеством другого;

б) одно множество является подмножеством другого ВсА;

в) множества равны А = В.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

При обучении дошкольников действию вычитания воспитатель опирается на понятие дополнения одного множества до другого.

дополнением множествамножеству В.

РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ

Большое значение в математических упражнениях дошкольников имеет умение правильно классифицировать предметы.

Классификация — это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от других классов. Пример:

Задание ребенку: " Собери красные кубики в красную коробку, синие — в синюю, а зеленые — в зеленую. "

Ребенок разбивает множество кубиков на три класса ( подмножества) по признаку цвета (характеристическому свойству).

Классификация считается правильной, если выполняются условия:

2. Объединение всех подмножеств (классов) совпадает с исходным множеством.

Другими словами классификация будет правильной, если все элементы заданного множества будут распределены по классам, и каждый элемент будет находиться только в одном классе.

6. Геометрические фигуры на плоскости.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая . В работе с дошкольниками применяются эти термины и необходимо научить детей понимать задания, узнавать фигуры и изображать их.

Примеры для дошкольников:

—Прямая чертится острым карандашом по линейке.

—Точка ставится одним движением, без рисования кружка.

—Поставь точку, отсчитай три клетки вправо, поставь другую точку, проведи через них прямую линию.

Основными свойствами точек и прямых считают следующие:

—Существуют точки принадлежащие и не принадлежащие прямой.

—Через две различные точки можно провести единственную прямую.

—Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Линии бывают замкнутые и незамкнутые

Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю области. Дети рано усваивают, что значит "внутри" и "вне".

Например, это происходит при выполнении заданий на закрашивание фигур (внутренней области).

Геометрические фигуры с которыми знакомятся дошкольники ( круг, квадрат, треугольник,...), представляют собой замкнутые линии с их внутренней областью. Границей многоугольников, является ломаная линия, которая состоит из отрезков.

Отрезок—

Ломаная —₂ А₃ , А₃ A₄ .... A_n -Ai соединенных последовательно концами. Эти отрезки называются звеньями ломаной. Точки А₂ , Аз, А₄ ,.., А_п— вершинами— концами ломаной.

Если концы ломаной совпадают, то ломаная является замкнутой. Ломаная без самопересечения называется простой.

Дошкольники часто используют ломаные линии при рисовании, выкладывании полосок, палочек и т. п. Например, это происходит при выполнении такого задания: Имеются модели реки, островков, мостиков. Ребенку надо "помочь зайчику перебраться на другой берег".

7. Геометрические фигуры в пространстве.

С пространственными геометрическими фигурами (куб, шар, параллелепипед и др.) дети знакомятся в практической деятельности, при конструировании, во время игры гораздо раньше, чем с плоскими фигурами. Наглядно—действенное мышление в раннем возрасте требует, чтобы изучаемый предмет был крупный, яркий, чтобы им можно было выполнять действия (поиграть). Обследование идет на сенсорной основе поэтому с моделями объемных фигур детям знакомиться легче. Кубики, шарики, бруски и др. входят в игру детей одновременно с первыми игрушками. Строгие математические названия им не даются, но идет знакомство с различными объемными формами при помощи анализаторов, а в речь вводятся только некоторые термины.

Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из 1 конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называются их стороны—ребрами, а вершины — вершинами

Правильный выпуклый многогранник имеет грани — правильные одинаковые многоугольники, и в каждой его вершине сходятся одинаковое количество ребер. Всего существует 5 правильных многогранников. Один из них куб.

Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Куб — это правильный многогранник, гранями которого являются квадраты, а в каждой вершине сходятся 3 ребра.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Выделяя форму окружающих предметов, дети сталкиваются с

Эти фигуры называются телами вращения, так как они могут быть получены путем вращения, например:

—прямоугольного треугольника вокруг катета,

половины круга вокруг диаметра.

Вспомним определения этих фигур из курса геометрии средней школы:

Цилиндр — тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Конус — тело, которое состоит из круга (основания), точки (вершины), не лежащей в плоскости этого круга. И всех отрезков соединяющих вершину конуса с точками основания.

Шар — тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного от данной точки.

Дошкольники не знакомятся с этими формулировками, но могут различать и узнавать объемные тела, а если провести специальную работу, и называть фигуры правильно. Дети усваивают свойства этих фигур в сравнении с другими:

"Цилиндр, стоящий на основании, устойчив, как куб, но если его положить — катится, как шар. "

Обследование поверхности дает знание того, что основанием цилиндра и конуса является круг. Изображение пространственных фигур на плоскости учит детей сравнивать, проводить аналогию, моделировать, трансформировать пространство на плоскости.

"Какой формы мяч? Какую фигуру надо нарисовать чтобы изобразить мяч?"

8. Понятие величины. Основные свойства однородных величин .

ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Величина — одно из основных математических понятий, возникшее в древности и в процессе длительного развития подвергшееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость и многие другие — все это величины.

Величина — это особое свойство реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов "иметь протяженность" называется " длиной". Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свойства конкретного объекта. Величины можно оценивать количественно на основе сравнения. Например, понятие длины возникает:

1)при обозначении свойств класса объектов ("Многие окружающие нас предметы имеют длину".)

2)при обозначении свойства конкретного объекта из этого класса ("Этот стол имеет длину".)

3)при сравнении объектов по этому свойству. ("Длина стола больше длины парты".)

Однородные величины— величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса.

Разнородные величины выражают различные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин:

1. Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин ab справедливо только одно из отношений: а < b, a > b, a = о.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины комнаты.

2. Однородные величины можно складывать и В результате сложения и вычитания получается величина того же рода.

Величины, которые можно складывать, называются аддитивными . Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина. Существуют величины, которые не являются аддитивными, например, температура При соединении воды разной температуры из двух сосудов, получается смесь, температуру которой нельзя определить сложением величин.

— длина ткани, b— длина куска, который отрезали, тогда: (а — b) — длина оставшегося куска.

умножать на действительное число. Б результате получается величина того же рода. Пример: "Налей в банку 6 стаканов воды. " Если объем воды в стакане — v, то объем воды в банке — 6v.

4. Однородные величины делят.отношением величин.

Пример: "Сколько ленточек длиной b можно получить из ленты длиной а ?" ( х = а : b )

измерить.

9. Этапы развития понятия натурального числа и нуля. Натуральный ряд и его свойства. Счет.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

Числа 1, 2, 3,... называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. Возникло оно из потребности практической деятельности людей Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

I. Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. ("Яблок столько, сколько человек за столом"). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II. Вводятся множества—посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы,...). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств ("иметь поровну элементов").

III. Происходит отвлечение от природы множеств—посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорил: "Один камешек, два камешка,...", а проговаривал числа: "Один, два, три,...". Это был важнейший этап в развитии понятия числа.

И. Н. Лузин (крупнейший математик современности):

"Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук".

IV. Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными. Термин "натуральное число" впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок. 480 — 524 г. г.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем используют натуральные числа при счете.

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА. СЧЕТ.

К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение — к действительному числу.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом . Он обладает свойствами:

—имеется начальное число (1),

—за каждым числом следует только одно число,

—каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1).

—натуральный ряд бесконечен.

Например, чтобы определить число элементов в множестве ( а.. с. b. е ), нужен отрезок натурального ряда {1,2,3,4,5 }.

N

N₅ = { 1,2,3. 4,5}

—считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного,

—числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком 1 натурального ряда N_a

количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,...), т. е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или короче, как В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т. е. запомнил последовательность числительных/ При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание сколько же всего предметов и др.).

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.

10. Способы записи чисел особенности десятичной системы счисления .

СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ.

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления — язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.

В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная — при измерении времени,

— при счете дюжинами,

двоичная — при счете парами и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I — один V — пять X — десять L — пятьдесят С — сто D— пятьсот М — тысяча

— четыре (5 — 1 = 4), VI — шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная — где бы не стоял знак V или I — он всегда имеет одно и то же значение.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни в записи 325 — цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.

ОСОБЕННОСТИ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

— краткая запись числа "пять тысяч четыреста пятьдесят семь". Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

5- 10³ + 4 10² +5- 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде: х - а„10" + а_гИ 10⁺ ^l_с где a_h а„__/; а₁ а_с принимают значения: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а„# 0.

Краткая запись числа выглядит так: а а а

Числа 1,10,10² ,10³ ,...,10^п называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т. д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 — основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.

Три первых разряда образуют класс единиц следующие три разряда — классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

классы тысяч единиц

разряды сот дес ед сот дес ед сот дес ед

млн млн млн тыс тыс тыс

тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:

1)— Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть "дцать". Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек — "одиннадцать".

— Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать "два дцать".

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

11. ).

Колмогоров выделяет следующие этапы в развитии математики:

Период зарождения математики, предшествующий греческой математике.

Период элементарной математики. Начало этого периода Колмогоров относит к 6-5 вв. до н. э., а его завершение к 17 в. Запас знаний, которые имела математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

«высшей математики». Этот период начинается с употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления.

«воображаемой геометрии», которая положила начало расширению круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику 19 и 20 веков естественно отнести к особому периоду современной математики.

12. .

для первого этапа становления методики математического развития характерна ярко выраженная практическая направленность обучения элементам счета, использование наглядности, нацеленной прежде всего на тренировку знаний о числе и арифметических действиях (Д. Л. Волковский, Я. А. Коменский и др.). На этом этапе зародилась и развилась ставшая классической система сенсорного воспитания М. Монтессори, включающая «подготовку к изучению математики», основанную на использовании автодидактических материалов. На этом этапе были заложены основы для становления теории и методики математического развития дошкольников в СССР.

Второй этап становления и развития методики формирования математических представлений дошкольников связан с началом разработки теории и методики математической работы с детьми дошкольного возраста. На этом этапе теоретики и практики дошкольной педагогики стремились определить содержание, методы и приемы работы, дидактический и игровой материал, опираясь на идеи и педагогические взгляды ведущих ученых — психологов и педагогов.

13. Начальный этап становления теории и методики математического развития дошкольников .

II этап - становления методики математического развития дошкольников (с 20- 30 г. г. до середины 60г.) - определение содержания методов и приемов работы с детьми, определение дидактических материалов и игр в зависимости от педагогических взглядов и идей; -естественное математическое развитие ребёнка в детском саду и семье, по методу Е. И. Тихеевой. Создание развивающей среды, как условие полноценного математического развития; - разработка разнообразных методов Л. В. Глаголевой при обучении сравнению величин. - разработка дидактических игр, игровых занимательных упражнений как основной путь математического развития детей по методике Ф. Н. Блехер.

14. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений (А. М. Леушина).

количественных представлений в дошкольном возрасте, определение объёма знаний и умений в области познания множеств и чисел с детьми 2-7 лет; - занятия, как ведущая форма организации работы педагога с детьми; -повседневная жизнь детей- это источник формирования элементарных представлений; -место и роль игр в формировании математических представлений и развитии личности ребёнка; - дидактический материал, как одно из средств формирования математических представлений.

15. Содержание обучения, цель программ обучения математике .

Содержание математического развития отражено в Программе обучения детей математике, и условно можно его разделить на три направления: представления и понятия; зависимости и отношения; математические действия.

Разные математические понятия тесно связаны между собой. Так, в работе с детьми четвертого года жизни основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Дети учатся сравнивать «контрастные» и «смежные» множества (много и один; больше (меньше) на один). В дальнейшем, в группах пятого, шестого, седьмого годов жизни, знания о множестве углубляются: дети сравнивают множество элементов по количеству составляющих, делят множество на подмножества, устанавливая зависимости между целым и его частями, и т. п.

На основе представлений о множестве у детей формируются представления и понятия о числах и величинах и т. д. Усваивая понятия о числах, ребенок учится абстрагировать количественные отношения от всех других особенностей элементов множества (величина, цвет, форма). Это требует от ребенка умения выделять отдельные свойства предметов, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Формирование понятий о величине тесно связано с развитием у детей числовых представлений. Сформированность оценок величины, знаний о числе позитивно влияет на формирование знаний о форме предметов (у квадрата 4 стороны, все стороны равны, а у прямоугольника — только противоположные и т. д.).

зайчиков и лисичек, круги и квадраты), попутно знакомятся с простейшими геометрическими фигурами, без всяких определений и даже описаний этих понятий. Точно так же дети усваивают понятия: больше, меньше; один, два, три; первый, второй, последний и т. д.

Каждое понятие вводится наглядно, путем созерцания конкретных предметов или практического оперирования ими.

Основной целью этого обучения являлась подготовка дошкольника к школьному обучению. «Работа по формированию у дошкольников элементарных математических представлений — важнейшая часть их общей подготовки к школе. В связи с переходом к обучению детей с шести лет внимание к этой работе должно быть усилено. Она начинается со второй младшей группы... Воспитатель заботится и о прочном усвоении детьми знаний, предусмотренных программой, и, что особенно важно, о развитии у них интереса

16. Структура программы по обучению математике детей дошкольного возраста.

17. Дидактические принципы обучения математике в детском саду.

Один из главных принципов дидактики в дошкольной педагогике — принцип развивающего обучения. Суть его заключается в том, что под влиянием обучения не только приобретаются знания, формируются умения, но и развиваются все познавательные психические процессы, связанные с ощущением, восприятием, памятью, вниманием, речью, мышлением, а также волевые и эмоциональные процессы, т. е. развивается личность ребенка в целом.

Принцип воспитывающего обучения отражает необходимость обеспечения в учебном процессе благоприятных условий воспитания ребенка, его отношение к жизни, к знаниям, к самому себе. Воспитание и обучение — две стороны единого процесса формирования личности. Они неразрывны, хотя и нетождественны.

принцип гуманизации педагогического процесса, В основе этого принципа лежит личностно-ориенгированнаи модель воспитания и обучения. При этом главным в обучении должно стать не передача знаний, умений, а развитие самой возможности приобретать знания и умения и использовать их в жизни, обеспечение чувства психологической защищенности ребенка с учетом его возможностей и потребностей, другими словами, личностно-ориентированная модель в обучении — это прежде всего индивидуализация обучения, создание условий для становления ребенка как личности.

Принцип индивидуального подхода предусматривает организацию обучения на основе глубокого знания индивидуальных способностей ребенка, создания условия для активной познавательной деятельности всех детей группы и каждого ребенка в отдельности.

форме, пространстве и времени даются детям в таком объеме и на таком уровне конкретности и обобщенности, чтобы это бьшо им доступно, и чтобы эти знания не искажали содержания. При этом учитывается возраст детей (младший, средний, старший дошкольный), особенности их восприятия, памяти, внимания, мышления. В процессе усвоения математических знаний и умений дети овладевают специальной математической терминологией (названия чисел, геометрических фигур, параметров величины, арифметических действий и др.). Воспитатель должен помнить, что отдельные слова и выражения, сложные для детей даже старшего дошкольного возраста, не следует вводить в словарь ребенка. Например, типы арифметических задач, компоненты арифметических действий, особенности величины и многое другое. Однако для развития ребенка усвоение сути этих математических категорий очень важно. Воспитатель передает ребенку их смысл в простой и доступной форме. Он не называет «типы задач» и вообще не использует этого выражения, а заменяет его такими: другие задачи, не такие, как мы решали ранее, задачи, в условии которых есть слова на один больше (меньше) и т. д.

Поэтому в организации обучения воспитатель должен исходить из доступного уровня трудностей для детей определенного возраста. Дети любят преодолевать доступную трудность, часто сами отказываются от помощи воспитателя. Доступно то, что дети осознанно усваивают под руководством воспитателя, посильно напрягая свой ум.

важных показателей знаний является их осознанность, осмысленность. Осмысленность, понимание материала осуществляются более результативно, если ребенок принимает участие в процессе усвоения знаний, часто оперирует ими. Осознанное усвоение учебного материала предусматривает активизацию умственных (познавательных) процессов у ребенка.

справедливо считают первым, кто на уровне современной ему передовой педагогической практики обосновал принцип наглядности. Использование наглядности в обучении Я. А. Коменский называл «золотым правилом дидактики». Он рекомендовал все, что только можно, представить ощущениями, а именно: видимое для восприятия зрением, слышимое — слухом, запахи — обонянием, вкусовое — вкусом, осязаемое — осязанием.

18.

Однако форсирование какого-либо одного метода обучения не получило должного подтверждения на практике. Наиболее рационально, как показывает опыт, сочетание разнообразных методов.

При выборе методов учитываются: цели, задачи обучения; содержание формируемых знаний на данном этапе; возрастные и индивидуальные особенности детей; наличие необходимых дидактических средств; личное отношение воспитателя к тем или иным методам; конкретные условия, в которых протекает процесс обучения, и др.

Составные части метода называются методическими приемами. Основными из них, используемыми на занятиях по математике, являются: накладывание, прикладывание, дидактические игры, сравнение, указания, вопросы к детям, обследование и т. д.

Широко распространен методический прием — показ. Этот прием является демонстрацией, он может характеризоваться как наглядно-практически-действенный. К показу предъявляются определенные требования: четкость и расчлененность; согласованность действия и слова; точность, краткость, выразительность речи.

Одним из существенных словесных приемов в обучении детей математике является инструкция, отражающая суть той деятельности, которую предстоит выполнить детям. В старшей группе инструкция носит целостный характер, дается до выполнения задания. В младшей группе инструкция должна быть короткой, нередко дается по ходу выполнения действий.

Особое место в методике обучения математике занимают вопросы к детям. Они могут быть репродуктивно-мнемичес-кие, репродуктивно-познавательные, продуктивно-познавательные. При этом вопросы должны быть точными, конкретными, лаконичными. Для них характерны логическая последовательность и разнообразие формулировок. В процессе обучения должно быть оптимальное сочетание репродуктивных и продуктивных вопросов в зависимости от возраста детей, изучаемого материала. Вопросы ценны тем, что обеспечивают развитие мышления. Следует избегать подсказывающих и альтернативных вопросов.

Система вопросов и ответов детей в педагогике называется беседой. В ходе беседы воспитатель следит за правильным использованием детьми математической терминологии, за грамотностью их речи, сопровождая ее различными пояснениями. Благодаря пояснениям уточняются непосредственные восприятия детей.

Многочисленные экспериментальные исследования доказали, что при выборе метода важен учет содержания формируемых знаний. Так, при формировании пространственных и временных представлений ведущими методами являются дидактические игры и упражнения (Т. Д. Рихтерман, О. А. Фунтикова и др.). При ознакомлении детей с формой и величиной наряду с различными игровыми методами и приемами используются наглядные и практические.

Место игрового метода в процессе обучения оценивается по-разному. В последние годы разработана идея простейшей логической подготовки дошкольников, введение их в область логико-математических представлений (свойства, операции с множествами) на основе использования специальной серии «обучающих» игр (А. А. Столяр). Эти игры ценны тем, что они актуализируют скрытые интеллектуальные возможности детей, развивают их (Б. П. Никитин).

Обеспечить всестороннюю математическую подготовку детей удается при умелом сочетании игровых методов и методов прямого обучения. Хотя понятно, что игра увлекает детей, не перегружает их умственно и физически. Постепенный переход от интереса детей к игре к интересу к учению совершенно естествен.

19. Основные формы обучения математике в детском саду. Классификация занятий.

Одним из существенных компонентов процесса обучения являются формы его организации. В дидактике «форма» (устройство, строй, система организации, внутренняя структура) рассматривается как способ построения учебной деятельности. Организационные формы обучения должны надежно обеспечивать осуществление задач учебного процесса, конечная цель которого — содействие всестороннему и в первую очередь интеллектуальному развитию детей.

Разнообразие форм обучения определяется количеством обучающихся, местом и временем проведения занятий, способами деятельности детей, а также способами руководства этой деятельностью со стороны педагога. Исходя из особенностей организации обучения, определяемой количеством обучающихся, различают индивидуальную, коллективную и групповую (дифференцированную) формы обучения.

Самая древняя форма организации обучения — индивидуальное обучение.

в альтернативу индивидуальной возникла другая форма обучения — коллективна я, естественно, более экономически выгодная. При коллективной форме обучения один педагог работает одновременно с целой группой. Здесь налицо взаимная помощь и взаимное обучение. Но значительным недостатком коллективной формы обучения является то, что недостаточно учитываются так называемые индивидуальные различия. У разных детей, естественно, разный темп работы, разный уровень способностей, разное отношение к деятельности и т. п. Если педагог не учитывает этого, пытается выровнять всех, подтягивая до среднего уровня одних и сдерживая, замедляя развитие других, наиболее способных, одаренных детей, то проигрывают в таком случае и первые, и вторые. Следует отметить, к сожалению, что коллективная форма обучения в детском саду с начала 50-х годов и до настоящего времени занимает ведущее место, в форме занятий со всей группой детей. Традиционно обучение детей осуществляется по единым программам и единым учебным пособиям. Дети внутри одного возраста имеют значительные индивидуальные различия, поэтому организация обучения должна строиться с учетом этих различий.

возможностей (низкий уровень развития внимания, мышления, памяти, воображения) занимается 2—3 раза в неделю, но занятия несколько короче и количество программных познавательных задач меньше.

20.

21. Особенности восприятия детьми дошкольного возраста величины, формы.

что представление о форме предмета как границе между предметом и окружающим пространством возникает у детей очень рано. Опыты показали, что грудной ребенок по форме бутылочки опознает ту из которой он пьет молоко. Уже в раннем детстве знакомые детям предметы опознаются независимо от их пространственного расположения. Однако ребенок дошкольник не узнает квадрата, если он находится перед ним не в привычном положении, а повернут на 45˚. Непосредственное сходство формы исчезает.

Сенсорное восприятие формы предмета должно быть направленно не только на то, что бы видеть узнавать формы наряду с другими его признаками, но уметь, абстрагируя форму от вещи, видеть ее в других вещах. Такому восприятию формы предметов и ее обобщению и способствует знанию детьми эталонов – геометрических фигур.

Уже на втором году дети свободно выбирают фигуру по образцу из таких пар: квадрат и полукруг, прямоугольник и треугольник, но различать прямоугольник и квадрат, квадрат и треугольник дети могут лишь после 2,5 лет. Отбор же по образцу более сложных фигур доступен примерно на рубеже 4-5 лет, а воспроизведение сложной фигуры осуществляют отдельные дети 5 – 6 го года жизни.

Вначале дети воспринимают неизвестные им геометрические фигуры как игрушки или обычные предметы, называя их именами этих предметов (цилиндр – стаканчик, столбик; треугольник - крыша). Под обучающим воздействием восприятие геометрических фигур постепенно перестраивается. Дети уже не отожествляют их с предметами, а лишь сравнивают (цилиндр – как стакан). И наконец, геометрические фигуры начинают восприниматься как эталоны, с помощью которых определяется форма предметов (мяч, яблоко - шар; платок квадратный и т. д.).

22. Особенности восприятия детьми дошкольного возраста пространства и времени.

Восприятие времени детьми разного возраста

Психологи обычно отмечают трудности в восприятии времени и относительно позднее развитие временных представлений у детей дошкольного возраста.

Сложно для детей и понимание смысла слов, обозначающих временные отношения в силу их относительного характера. Что означают, например, слова теперь — сейчас или сегодня — вчера — завтра? При тождественности значений этих временных обозначений конкретный момент реальности, на которой они указывают, непрерывно передвигается. Это обстоятельство составляет те трудности, с которыми дети не сразу могут справиться. Поэтому дошкольники часто спрашивают взрослых: «Сейчас уже завтра или еще сегодня?», «Сегодня — это завтра?» и т. п.

Примерно с полутора лет начинается речевое отражение категорий времени. Первоначально появляются наречия, определяющие временную последовательность: сейчас, сначала, теперь. Дети еще плохо владеют грамматическими формами прошедшего и будущего времени, поэтому они смешивают такие временные наречия, как теперь, сейчас, потом.

ребенок подходит уже не ощущением, а размышлением о чем-то таком, что существует вместе с событиями, но и как бы отдельно от них. У дошкольников образуется ясное для конкретных событий представление о прошедшем, настоящем и будущем. Многие педагоги отмечают этот чисто конкретный характер временных представлений дошкольников. О днях, месяцах, часах дети говорят как о предметах и даже олицетворяют время: «Куда ушло вчера?»

—5 лет устанавливают связь между постоянно повторяющимися фактами и соответствующими показателями времени: «Утро — когда встаем, вечер — когда из сада домой забирают».

По мере накопления опыта ориентировки во времени дети устанавливают более существенные признаки, как показатели времени начинают использоваться некоторые объективные явления: «Сейчас уже утро, светло, солнышко встает, а ночь — это когда темно и все спят».

«Елка — когда зима, поедем на дачу, когда лето» и др.

словами давно и скоро.

Дети 6—7 лет уже активно пользуются временными наречиями. Но не все временные категории осознаются ими и правильно отражаются в речи: лучше усваиваются наречия, обозначающие скорость и локализацию событий во времени, хуже — наречия, выражающие длительность и последовательность. Однако несколько обучающих занятий, раскрывающих значение наиболее трудных для детей временных наречий, уточняют их понимание. Отсюда следует вывод: процесс речевого выражения временных понятий у детей 5—7 лет находится в стадии непрерывного развития, которое протекает особенно интенсивно, если этим процессом управлять. Однако тонкая дифференцировка временных отношений в дошкольном возрасте формируется еще медленно и в значительной степени зависит от общего умственного и речевого развития детей.

Характер представлений детей дошкольного возраста о времени связан с пониманием ими свойств времени, овладением временными понятиями (на рассвете, в сумерки, в полдень, в полночь, сутки, неделя, месяц, год), умением ориентироваться во времени суток по природным явлениям, представлением о причинно-временных зависимостях ритмичных-природных явлений, о продолжительности секунды, минуты и часа и умениями определять время на часах, оценивать временные интервалы.

Разные по значению временные понятия часто совмещены. Например, дети не чувствуют разницы в словах рассвет и сумерки, обозначающих переходные периоды от ночной тьмы к дневному свету. Значения слов полночь и полдень не воспринимают как обозначение моментов равного деления дня и ночи. Дети смешивают понятия «день» и «сутки», не могут назвать всех частей суток, не знают, что день — это часть суток.

Таким образом, у некоторых детей имеются неправильные представления об обособленности каждых суток и их прерывности.

Часто дошкольники не знают названий дней недели, не могут определить их последовательность. В запоминании дней недели наблюдается неравномерность, лучше запоминаются дни, имеющие выраженную эмоциональную окраску для ребенка. Эта особенность проявляется и в запоминании детьми названий месяцев.

Недостаточны знания даже старших дошкольников о способах измерения времени (с помощью календаря, часов). Названия интервалов времени (минута, час) остаются для детей чисто словесными, абстрактными, так как еще не накоплен жизненный опыт деятельности в течение этих отрезков времени.

Опыт показывает, что дошкольники способны оценивать длительность одной минуты, но эта оценка зависит от характера деятельности в данный промежуток времени. Положительные эмоции у детей, возникающие в процессе интересной деятельности, вызывают желание продлить приятный момент. Поэтому при оценке времени, заполненного событиями интересного и богатого содержания, ребенок допускает переоценку малого времени, которое протекает незаметно и его длительность кажется меньше. Время, заполненное однообразной, мало интересной деятельностью, кажется ребенку более длительным.

23. Три стадии развития детей в понимании числа (по исследованиям А. М. Леушиной).

24. Требования к речи воспитателя и детей на занятиях по математике.

25. Наглядный материал: виды, требования, значение, использование в разных возрастных группах.

Средствами наглядности могут быть реальные предметы и явления окружающей действительности, игрушки, геометрические фигуры, карточки с изображением математических символов — цифр, знаков, действий.

Наглядный материал должен соответствовать определенным требованиям:

—предметы для счета и их изображения должны быть известны детям, они берутся из окружающей жизни;

—чтобы научить детей сравнивать количества в разных совокупностях, необходимо разнообразить дидактический материал, который можно было бы воспринимать разными органами чувств (на слух, зрительно, на ощупь);

—наглядный материал должен быть динамичным и в достаточном количестве; отвечать гигиеническим, педагогическим и эстетическим требованиям.

Особые требования предъявляются к методике использования наглядного материала. При подготовке к занятию воспитатель тщательно продумывает, когда (в какой части занятия), в какой деятельности и как будет использован данный наглядный материал. Необходимо правильно дозировать наглядный материал. Негативно сказывается на результатах обучения как недостаточное его использование, так и излишки.

Наглядность не должна использоваться только для активизации внимания. Это слишком узкая цель. Необходимо глубже анализировать дидактические задачи и в их соответствии подбирать наглядный материал. Так, если дети получают начальные представления о тех или других свойствах, признаках объекта, можно ограничиться небольшим количеством средств. В младшей группе знакомят детей с тем, что множество состоит из отдельных элементов, воспитатель демонстрирует множество колец на подносе. И этого бывает достаточно для одного занятия. При ознакомлении детей пятого года жизни с новой геометрической фигурой — треугольником — воспитатель демонстрирует разные по цвету, величине и форме треугольники (равносторонние, разносторонние, равнобедренные, прямоугольные). Без такого разнообразия невозможно выделить существенные признаки фигуры — количество сторон и углов, невозможно обобщить, абстрагироваться. Для того чтобы показать детям различные связи, отношения, необходимо объединять несколько видов и форм наглядности. Например, при изучении количественного состава числа из единиц используются различные игрушки, геометрические фигуры, таблицы и другие виды наглядности на одном занятии.

Способы использования наглядности в учебном процессе различные — демонстрационный, иллюстративный и действенный. Демонстрационный способ (использование наглядности) характеризуется тем, что сначала воспитатель показывает, например, геометрическую фигуру, а потом вместе с детьми обследует ее.

Иллюстративный способ предполагает использование наглядного материала для иллюстрации, конкретизации информации воспитателя. Например, при ознакомлении с делением целого на части воспитатель подводит детей к необходимости этого процесса, а потом практически выполняет деление.

Для действенного способа использования наглядного материала характерна связь слова воспитателя с действием. Примерами этому может быть обучение детей непосредственному сравнению множеств путем накладывания и прикладывания или обучения детей измерению, когда воспитатель рассказывает и показывает, как нужно измерять.

26.

Необходимы игры и упражнения по формированию у детей начальных представлений о количестве. Перед тем как научить ребенка считать, узнавать цифры, он должен усвоить элементарные понятия о некоторых совокупностях предметов — множествах, научиться выделять в окружающем пространстве много предметов и один. Эти элементарные представления и будут фундаментом последующих знаний.

Как же научить ребенка видеть в окружающем совокупности предметов, выделять один из них?

Первым помощником воспитателя могут стать произведения устного народного творчества (песенки, потешки, пословицы). Например, потешка «Сорока-белобока».

Читая эту потешку, воспитатель говорит: «На руке пальчиков много, деток у сороки много. А сейчас спрятались детки — зажми кулачок. Вот как много деток у сороки». Можно использовать и потешку «Наш мальчик»:

«Этот пальчик — дедушка, Этот пальчик — бабушка, Этот пальчик — папа, Этот пальчик — мама, Этот пальчик — мальчик наш, А зовут его... Ваня!»

Детей этой возрастной группы важно научить складывать множества (группу предметов) из отдельных предметов и выделять из этого множества один предмет. Восщгатель показывает ребенку, что разные предметы могут встречаться в разном количестве и что количество можно называть словами один или много.

27.

Количество. Учить детей составлять группу из однородных предметов и выделять из нее один предмет; различать понятия «много», «один», «по одному», «ни одного»; находить один и несколько одинаковых предметов в окружающей обстановке; понимать вопрос «Сколько?»; при ответе пользоваться словами «много», «один». Учить сравнивать две равные (неравные) группы предметов на основе взаимного сопоставления элементов (предметов). Познакомить с приемами последовательного наложения и приложения предметов одной группы к предметам другой; понимать вопросы: «Поровну ли?», «Чего больше (меньше)?»; отвечать на вопросы, пользуясь предложениями типа: «Я на каждый кружок положил грибок. Кружков больше, а грибов меньше» или «Кружков столько же, сколько грибов».

обозначать результат сравнения словами: длинный — короткий, одинаковые (равные по длине), широкий — узкий, одинаковые (равные по ширине), высокий — низкий, одинаковые (равные —по высоте), большой — маленький, одинаковые (равные по величине).

Форма. Учить детей различать геометрические фигуры: круг, квадрат, треугольник; обследовать форму фигур, используя осязание и зрение.

Ориентировка в пространстве. Учить ориентироваться в расположении частей своего тела (голова, ноги, правая/левая рука и др.) и в соответствии с этим различать пространственные направления от себя: впереди - позади (сзади), вверху - внизу, справа (слева) - направо (налево).

Учить различать правую и левую руки.

Ориентировка во времени. Учить ориентироваться в контрастных частях суток: день — ночь, утро — вечер.

к концу года дети могут

• Группировать предметы по цвету, форме, величине.

• Составлять группы из однородных предметов и выделять один предмет из группы.

• Находить в окружающей обстановке один и много одинаковых предметов.

• Сравнивать два контрастных по величине предмета, используя приемы наложения, приложения их друг к другу; показывать, какой из предметов длинный — короткий, широкий — узкий, высокий — низкий.

• Различать круг и квадрат, предметы, имеющие углы и круглую форму.

• Понимать слова: впереди — сзади, вверху — внизу, слева — справа, на, над —под, верхняя — нижняя (полоска).

28. Игры и игровые упражнения на составление группы из отдельных предметов и выделение одного предмета из группы (понятия: много, один).

С первых шагов обучения важно показать ребенку отношения между понятиями один и много, вырабатывать у него навыки отображать эти отношения в речи. Воспитатель ставит на стол одну матрешку и три-четыре кубика, предлагает малышу сказать, каких предметов тут много, а какой — один.

Убирая игрушки, воспитатель предлагает детям поставить в ряд собачку, котика, мишку и обращается с вопросом: «Сколько их?» — «Много». На грузовой машине подвозит кубики и сравнивает их по количеству с игрушками: «Давай раздадим кубики всем игрушкам по одному: собачке — один кубик, котику — один, мышке — один. Всем по одному». Потом собирают кубики на машину. Собирают по одному кубику, и множество растет на глазах у детей. Они убеждаются, что на машине снова много кубиков, а у игрушек — ни одного.

— одна; лавочек много, а песочница одна. Воспитатель предлагает одному из детей принести одну веточку (шишку, листочек, камушек), еще одну и еще одну. Объединяет их и задает вопрос: «Сколько стало?» — «Много».

Можно с детьми поиграть в игру «Угадай, сколько?» Какие-нибудь мелкие предметы (например пуговицы) воспитатель зажимает в руке и предлагает одному из малышей угадать, сколько там спрятано. Чтобы ответить, пользуются словами: один и много, ни одного. Например, спрятали одну пуговицу, а ребенок говорит, что там много. Взрослый раскрывает ладонь, показывает пуговицу и спрашивает: «Сколько?», наталкивая ребенка на то, чтобы он сказал: «Один».

Упражнение 1

Цель. Подготовить ребенка к восприятию сравнения по типу «один к одному» (взаимно однозначное соответствие). Развивать координацию, соласованность движений рук, формировать соревновательную мотивацию и учить ребенка активному общению со взрослым, понимать словесную инструкцию и действовать по правилам.

Воспитатель играет с одним или двумя-тремя детьми. Он учит ребят прятать руки за спиной и одновременно с командой: «Один... Много...» выбрасывать их перед собой с соответствующим количеством пальцев. Играйте с детьми, пока им весело (1-2 мин). Постепенно воспитатель добавляет сравнение количества пальцев прикладыванием. Например, по команде «Много!» у воспитателя — три пальца, у ребенка — пять пальцев. Выиграл тот, кто «выкинул» больше. Проверяя, воспитатель поясняет ребенку, как узнать, у кого больше (прикладывает один палец к одному: у меня — больше нет, а у тебя еще два пальца осталось, значит, у тебя больше...).

Упражнение 3

и координацию.

Для организации упражнения необходимы таз с влажным песком и кусок клеенки, дети на полу (на клеенке) делают «куличи» для гусыни и гусят. Пользуются большой и маленькой формами. При их изготовлении воспитатель помогает детям провести предварительное соотнесение размера и формы будущего «кулича»: из большой формы получится большой кулич для гусыни. Из маленькой формы получится маленький «кулич» — для гусенка.

— Какой кулич получится из этой мисочки? Из этой? Сделай, сравни

их. Сколько надо больших куличей? (Один.) Маленьких? (Много.) Сделай

«кулич»? Этот? Этот?

29. Сравнение множеств приемами наложения и приложения. Равенства и неравенства (4-й год жизни).

Накрывая на стол, воспитатель одному из малышей поручает расставить посуду: всем по одному блюдечку, по одной чашке и по одной ложке. Потом спрашивает: «Сколько было у тебя посуды?» — «Много». — «А всего на столе сколько посуды?» — «Много». Как правило, эти поручения дети выполняют с большим желанием и интересом, лучше запоминают то, что приобрели в активной деятельности, на конкретных примерах.

В результате систематической работы дети усваивают начальные количественные представления, учатся составлять множества из отдельных предметов, быстро находить вокруг себя один и много предметов, устанавливать равенство и неравенство между двумя множествами путем накладывания, отображая свои действия в речи. На третьем году жизни

30. Игровые упражнения на нахождение «много» и «один» в окружающей обстановке.

Готовясь менять воду в аквариуме, можно сначала, наблюдая с детьми за рыбками, спросить их: «Сколько рыбок плавает в аквариуме?» — «Много». — «А теперь нам нужно отсадить рыбок в таз». Предлагает детям сначала отсадить одну рыбку. «Сколько рыбок ты поймал?» — «Одну». — «А сколько рыбок ты поймал?» — «Одну». — «А сколько рыбок я поймала?» — «Тоже одну». — «А теперь одну рыбку поймает Леша, одну — Иринка. Сколько стало рыбок в тазу?» — «Много».

«Сколько цветов растет на клумбе?» — «Много». — «А сколько бабочек сидит на цветке?» — «Одна».

31. Упражнение на сравнение предметов по величине в младшем дошкольном возрасте (игры).

«Я принес большую машину». После этого воспитатель говорит: «А теперь давай в большую машину посадим большого медведя и покатаем его». Ребенок старается посадить медведя в машину, но он не помещается. «Медведь очень большой, — говорит воспитатель. — Он не помещается в эту машину. Давай возьмем другого медведя, меньше этого. Поставь их рядом, какой медведь больше, а какой меньше? Вот этого, меньшего, медведя мы попробуем покатать на большой машине. Какая машина?» — «Большая». — «А медведь какой?» — «Маленький». — «Молодец! Покатай медвежонка на машине... А теперь давай сделаем для большой машины гараж. Какой надо сделать гараж?» — «Большой». — «Правильно, большой, так как машина большая. Неси строительный материал...»

Для определения величины предмета необходимо выбрать эталон, т. е. предмет, с которым сравниваются все другие предметы. Воспитатель обращается к детям: «Все игрушки будем сравнивать с лисичкой. Те, которые меньше лисички, положим в коробку, а те, которые больше, — на стол». С этой же

целью можно провести такие игры: «Нанизывание колец с уменьшением по величине», «Складывание трехместной матрешки», «Нанизывание больших и маленьких бус», «Поможем куклам найти свою одежду» и др.

Закрепить знания о размере предметов помогает рассматривание картин, фотографий, иллюстраций в книгах. После рассказа детям сказки «Репка» или «Три медведя» можно организовать беседу по картинкам:

«Посмотри, какая большая выросла репка (рис. 13). Покажи руками, какая она большая. Вот какая большая! Кто пришел тянуть репку из земли? Покажи на картинке дедушку. Он самый большой. Скажи, что дед самый большой. Посмотри, а кто это на картинке последний прибежал? Мышка большая или маленькая? Покажи руками, какая мышка маленькая. Так, она маленькая, но помогла деду, бабе, внучке, Жучке и котику вытянуть репку».

В конце третьего года жизни ребенок имеет определенный опыт, который используется при рисовании, особенно по замыслу. Игры положительно влияют на детей лишь тогда, когда проводят их на разном материале и в разном объединении с двигательной активностью, с выполнением заданий на различение, сравнение, угадывание.

Трехлетки уже умеют ориентироваться в окружающем пространстве с учетом двух свойств — формы и величины или формы и цвета. Так, в игре «Накрой фигуру такой же самой фигурой» детям дают карточку с нарисованными кружочками и квадратами двух размеров — большой и маленький.

32. Методика знакомства с геометрическими фигурами в младшей и средней группах.

приемами обследования этих фигур с помощью тактильно-двигательного и зрительного анализаторов. Кроме того, на занятиях по конструированию они знакомятся с некоторыми элементами строительного материала: кубиками, кирпичиками, пластинами, призмами, брусками.

Разглядывают и сравнивают шар и куб, находят общее и разное в этих предметах (фигурах). Обращаясь с вопросом к детям, воспитатель привлекает их внимание к особенностям фигур: «Что это? Какого цвета шары? Какой из них меньше?»

По заданию воспитателя один ребенок берет в руки маленький шар, а другой — большой. Дети передают шары по кругу: маленький шар догоняет большой шар. Потом направление движения меняется. В процессе таких игр уточняются особенности шара — он круглый, у него нет углов, его можно катить. Дети сравнивают шары разных цветов и размеров. Тем самым воспитатель подводит их к выводу о том, что форма не зависит от цвета и размера предмета.

Аналогично уточняются и обобщаются знания о кубе. Малыши берут куб в руки, стараясь прокатить его. Он не катится. У куба есть углы и грани, он устойчиво стоит на столе, полу. Из кубов можно строить домики, столбики, ставя один куб на другой.

Самые важные моменты при ознакомлении с формой — зрительное и тактильно-двигательное восприятие формы, раз нообразные практические действия, развивающие сенсорные способности детей. Обследование детьми формы предмета включает такие действия: показ (демонстрация) геометрической фигуры, обследование с помощью конкретных практических (обводятся по контуру) действий; сравнение фигур, разных по цвету и размеру; сравнение геометрических фигур с предметами, схожими по форме; закрепление особенностей геометрической фигуры во время рисования, лепки, аппликации.

В организации работы по ознакомлению с формой предмета значительное место занимает показ (демонстрация) самой фигуры, а также способов ее обследования. Воспитатель учит детей при обследовании предмета держать его в левой руке, указательным пальцем правой руки обводить его по контуру. Чтобы ребята лучше выделяли особенности геометрических фигур, модели следует сравнивать попарно: шар и куб, круг и квадрат, куб и квадрат. Фигуры обязательно нужно брать разные по размеру и цвету, чтобы их легче было воспринимать на ощупь, находить по образцу, а в заключение — правильно называть их отличительные признаки. в мешочке аналогичную той, которая стоит на столе, и показывает ее. Если ребенок не может выполнить задание, воспитатель еще раз напоминает способы обследования фигуры: правой рукой медленно обводит по краю (контуру). Можно и левой рукой помогать. При повторном проведении игры увеличивается количество геометрических фигур.

В средней группе продолжается формирование знаний о форме предметов, ознакомление с геометрическими фигурами. Дети учатся различать и называть квадрат, круг, треугольник, шар, куб, цилиндр; обследуя их форму, выделять характерные признаки; находить вокруг себя предметы, подобные по форме знакомым геометрическим фигурам (шару, кубу, цилиндру, кругу, квадрату, треугольнику, прямоугольнику). В процессе обучения осознается, что форма не зависит от размера, цвета и других особенностей.

Знания эти, как правило, получают на занятиях по математике в соединении с другими задачами: обучение счету, упражнениями в сравнении предметов по размеру и др. Большое значение имеет установление связи данной работы с обучением разным видам изобразительной деятельности (лепка, рисование, аппликация, конструирование). Именно вследствие интеграции (объединения) задач все более четко воспринимается форма предмета.

по три и более. Например: квадрат, прямоугольник, треугольник.

Для детей средней группы большое значение имеют такие приемы, как практические действия с моделями (катают, ставят и т. д.), накладывание и прикладывание, обследование по контуру, группировка и упорядочивание, дидактические игры и упражнения на усвоение особенностей геометрических фигур, на сопоставление формы предмета с геометрическим образцом и анализ сложной формы.

33. Дидактические игры и упражнения на закрепление знаний о геометрических фигурах во второй младшей и средней группах.

«Найди предмет такой же формы», «Что лежит в мешочке?», «Геометрическое лото» дети упражняются в составлении формы предметов по геометрическим образцам. Такие задания трудны, но в целом доступны им. Они развивают у детей способность анализировать окружающую обстановку, абстрагироваться при обозначении формы предметов. Ребенок, воспринимая эстамп, который висит на стене перед ним, отвлекается от сюжета картины, а выделяет лишь форму рамки (квадрата).

Такие геометрические фигуры, как круг и квадрат, используются на занятиях по математике как раздаточный материал.

Дети этого возраста при проведении соответствующей целенаправленной работы с ними могут анализировать сложные формы. Так, они создают орнамент из цветных геометрических фигур. При этом анализируют рисунок, вьщеляют в нем отдельные геометрические фигуры, обследуют их по контуру, называют, а потом отображают этот рисунок.

В свободное от занятий время ребята данной возрастной группы очень любят игры с разрезными картинками, мозаикой, строительным материалом.

Так, в сюжетно-дидактической игре «Магазин» основным заданием является формирование у детей умения находить предметы определенной формы с использованием геометрических фигур-образцов.

В отличие от программных задач младшей группы дети пятого года жизни используют развернутое словесное описание своих действий: «Я хочу купить треугольное печенье, поэтому беру треугольный чек».

Материалами для занятия могут быть сумки, в которые дети складывают «покупки» — булочки, конфеты (круглая, прямоугольная, овальная, треугольная по форме); халаты для работников магазина; касса; весы; чеки и др.

Основное правило в игре: товар получает лишь тот, кто правильно выбрал чек и правильно описал форму своего товара. Например: «Я подобрал чек, на котором нарисован круг, потому что у меня конфеты круглой формы», — говорит ребенок.

34. Содержание и методика работы на развитие ориентировки в пространстве во второй младшей и средней группах.

Детей четвертого года жизни учат различать пространственные направления: от наблюдателя (от себя); вперед (впереди); назад (сзади); вверх, вниз; различать правую и левую руки; пользоваться обозначением пространственных направлений.

игры-занятия, дидактические и двигательные игры. Ознакомление со взаимообратными направлениями осуществляется попарно: вверх — вниз; слева — направо и т. д.

Вследствие многократных восприятий одних и тех же пространственных свойств становится возможным отделение пространственных способностей от самих предметов. Под влиянием обучения у детей формируется способность воспринимать группу предметов во взаимосвязи их разных размеров.

Необходимым условием успешного обозначения пространственного размещения предметов является их территориальная общность.

В процессе ознакомления детей младшей группы с пространственным размещением предметов применяются игры-занятия типа «Прятки» с игрушками, флажками и другими предметами. Так, в игре-занятии «Где медведь искал свой мяч?» место действия ограничено групповой комнатой. Основная цель игры состоит в том, чтобы привлечь внимание детей к разным вариантам пространственных отношений между предметами, активизировать в их речи использование предлогов: под, на, за, около. Во время занятия воспитатель организует диалог, обращается к ним с вопросами: «Что медведь делает? Где он садит? Куда пошел медведь? Где он ищет мяч?»

Воспитатель уточняет детские ответы, учит их менять окончания существительных при использовании разных наречий и глаголоз.

После того как мяч найден, воспитатель предлагает детям вспомнить и самостоятельно рассказать, где же медвежонок искал мяч.

Оправдывают себя и игры-занятия типа инсценированных рассказов. Примером может быть инсценирование рассказа «Куриное семейство» (Т. А. Мусейибова). Сначала вос-

питатель читает рассказ: «Петушок и курочка приходят на зеленую поляну. Они ходят по траве, а потом зовут цыплят». Рассказывая, педагог вызывает отдельных детей к столу и предлагает разместить игрушки: поставить курочку впереди петушка, а между ними цыпленка и т. д.

Уточнению и закреплению пространственной ориентировки способствуют физкультурные и музыкальные занятия, где в процессе активного передвижения малыши обозначают направление, учатся изменять его соответственно сигналу или инструкции воспитателя.

На занятиях по рисованию педагог называет направление движения руки: сверху вниз, слева направо и т. д.

В группе, где находятся пятилетки, продолжают обучать распознаванию пространственных направлений от себя: вперед, назад, налево, направо; в конце года они должны уметь обозначать положение того или иного предмета относительно себя (впереди — шкаф, сзади — стул, справа — дверь, слева — окно, вверху — потолок, внизу — пол, стена — далеко, стул — близко). Уровень приобретаемых знаний о пространстве и сформированность умений ориентироваться в пространстве зависят от того, как воспитатель организует работу на занятиях по математике, физкультуре, изобразительной деятельности, конструированию и в повседневной жизни. Взаимообратные обозначения пространственных отношений, направлений, расстояний всегда даются одновременно, попарно. Например, справа—слева, далеко—близко.

35. Игры на ориентировку в пространстве во второй младшей группе.

В процессе ознакомления детей младшей группы с пространственным размещением предметов применяются игры-занятия типа «Прятки» с игрушками, флажками и другими предметами. Так, в игре-занятии «Где медведь искал свой мяч?» место действия ограничено групповой комнатой. Основная цель игры состоит в том, чтобы привлечь внимание детей к разным вариантам пространственных отношений между предметами, активизировать в их речи использование предлогов: под, на, за, около. Во время занятия воспитатель организует диалог, обращается к ним с вопросами: «Что медведь делает? Где он садит? Куда пошел медведь? Где он ищет мяч?»

Воспитатель уточняет детские ответы, учит их менять окончания существительных при использовании разных наречий и глаголоз.

После того как мяч найден, воспитатель предлагает детям вспомнить и самостоятельно рассказать, где же медвежонок искал мяч.

Оправдывают себя и игры-занятия типа инсценированных рассказов. Примером может быть инсценирование рассказа «Куриное семейство» (Т. А. Мусейибова). Сначала вос-

питатель читает рассказ: «Петушок и курочка приходят на зеленую поляну. Они ходят по траве, а потом зовут цыплят». Рассказывая, педагог вызывает отдельных детей к столу и предлагает разместить игрушки: поставить курочку впереди петушка, а между ними цыпленка и т. д.

36.

В математическом развитии младших дошкольников большое значение имеют понимание и правильное использование ими слов, указывающих на время действия: было, есть, будет; различение и называние частей суток: утро, день, ве чер, ночь; понимание слов, которые указывают на продолжение и соотношение времени: долго, недолго, сейчас, позже, раньше; обозначение последовательности логически связанных событий в несложных сюжетах.

времени и начинают связывать его с действиями, происходящими в окружающей жизни. Характерным для детей этого возраста является восприятие времени как предмета, существующего отдельно: «Куда деваются дни? Куда ушло вчера? Откуда пришло завтра?» — спрашивают дети.

природных явлений той или иной части суток, организует упражнения с применением иллюстративного материата и без него, беседы с детьми, чтение рассказов, сказок.

Углубление, уточнение и закрепление правильного понимания и использования временных терминов происходит чаще всего на занятиях с использованием раздаточного дидактического материала. Например, воспитатель демонстрирует перед детьми две карточки и объясняет, что из показанного длится долго, а что недолго, что будет скоро, что не скоро, что уже было и т. д.

Ознакомление детей с частями суток следует начинать с контрастных отрезков: день—ночь, утро—вечер. Работе предшествует рассматривание картинок, на которых изображены определенные, характерные для отдельных частей суток, явления. При этом воспитатель опирается на детский опыт, активизирует их воспоминания о той или иной деятельности. Детей спрашивают: «Что нарисовано на картине? Когда солнце светит ярко? Что вы делаете днем в детском саду? А что в это время делают ваши родители?»

37. Игровые упражнения на закрепление знаний о частях суток .

Закрепить эти знания можно в дидактической игре «Когда это бывает?» Суть игры заключается в том, что воспитатель перечисляет деятельность взрослых и детей, а дети узнают, когда это бывает. Например: «Встает солнышко. Мама и папа идут на работу, а дети — в детский сад». — «Это утро», — говорят дети. «Солнышко поднялось выше. Дети играют на участке детского сада». — «Это день».

— о его сменяемости, надо, начиная с младшей группы, упражнять их в правильном понимании и назывании времени действий и других событий. Например, во время завтрака или на занятии по математике, на прогулке воспитатель может спросить: Что делаем сейчас? Что будем делать потом? (Сейчас мы завтракаем, а потом будем играть.)

— это утро, а что наступает за утром? Когда солнце садится, на улице темнеет, — это вечер. А что будет потом? Что мы делаем утром? Что мы делаем днем? А что будем делать вечером?

Ориентировка детей во времени тесно связана с их активной оперативной деятельностью. Упражнения на ориентировку во времени требует многократного повторения, пока каждый из них не научится свободно пользоваться специальной временной терминологией и указаниями воспитателя.

38.

— обучение детей на занятиях. Занятия по математике прс водят с начала учебного года, т. е. с 1 сентября. 3 сентябре занятия целесообразно проводить с под" группами (по 6--8 человек), но при этом охватить всех детей данной возрастной группы. С октября в определе чный день недели занимаются сразу со всеми детьми. Для того чтобы занятия дали ожидаемый эффект, их надо пра вильно организовать. Новые знания даются детям постепенно, с учетом того, что они уже знают и умеют делать. Определяя обт ем работы, важно не допустить недооценки или переоценки возможностей детей, так как и то и другое неизбежно привело бы к бездействию нх на занятии. Прочное усвоение знаний обеспечивается неоднократным повторением однотипных упражнений, прч этом меняется наглядный материал, варьируются приемы работы, так как однообразные действия быстро утомляют детей.

Поддерживать активность и предупреждать утомление детей позволяет смена характера их деятельности, дети слушают педагога, следя за его действиями, сами совершают какие-либо действия, участвуют в общей игре Им предлагают не более 2— 3 однородных заданий. На одном занятии дают от 2 до 4 разных заданий. Каждое повторяется не болге 2—3 раз. Когда дети знакомятся с новым материалом, продолжительность занятия может быть 10—12 минут, так как усвоение нового требует от малыша значительного напряжения; занятия, посвященные повторным упражнениям, можно продлить до 15 мин Педагог следит за поведением детей на занятии и гри появлении у них признаков утомления (частое отвлечение, ошибки в ответах на вопросы, повышенная возбудимость и пр.) прекращает занятие. Следить за состоянием детей во время занятии очень ражно, так как утомление может привести к потере интереса четей к занятиям.

39. Анализ программных задач по математике в средней группе.

Количество и счет. Дать детям представление о том, что множество (группа) может состоять из разных по качеству, предметов (разного цвета, формы, размера); учить сравнивать эти предметы, определяя их равенство или неравенство на основе составления пар (не прибегая к счету). Вводить в речь детей выражения: «Здесь много кружков, одни — красного цвета, а другие — синего; красных кружков больше, чем синих, а синих меньше, чем красных». Учить считать до 5, пользуясь правильными приемами счета: называть числительные по порядку; соотносить каждое числительное только с одним предметом пересчитываемой группы; относить последнее числительное ко всем пересчитанным предметам, например: «Один, два, три —всего три кружка». Учить сравнивать две группы предметов, именуемые числами 1-2, 2-2, 2-3, 3-3, 3-4, 4-4, 4-5, 5-5. Формировать представление о равенстве (неравенстве) групп предметов на основе счета: «Здесь один, два зайчика, а здесь одна, две, три елочки. Елочек больше, чем зайчиков; 3 больше, чем 2, а 2 меньше, чем 3».). Учить уравнивать неравные группы двумя способами, добавляя к меньшей группе один (недостающий) предмет или убирая из большей группы один (лишний) предмет («К 2 зайчикам добавили 1 зайчика, стало 3 зайчика и елочек тоже 3. Елочек и зайчиков поровну — 3 и 3» или: «Елочек больше (3), а зайчиков меньше (2). Убрали 1 елочку, их стало тоже 2. Елочек и зайчиков стало поровну 2 и 2»). Учить отсчитывать предметы из большего количества; приносить, выкладывать определенное количество предметов по образцу или заданному числу (отсчитай 4 петушка, принеси 3 зайчика). Учить считать предметы на ощупь, на слух, считать движения. Учить на основе счета устанавливать равенство (неравенство) групп предметов в ситуациях, когда предметы в группах расположены на разном расстоянии друг от друга, когда они отличаются по размерам.

величины (красная лента длиннее и шире зеленой, желтый шарфик короче и уже синего и т. д.). Учить детей устанавливать размерные отношения между 3-5 предметами разной длины, ширины, высоты: располагать их в определенной последовательности — в порядке убывания или нарастания величины; обозначать словом размерные отношения предметов в ряду: «Эта башенка — высокая, эта — пониже, эта — еще ниже, а эта — самая низкая».

Форма. Развивать представление детей о геометрических фигурах: шаре, кубе, цилиндре, круге, квадрате, треугольнике. Учить выделять особые признаки фигур с помощью осязательно-двигательного и зрительного анализа (наличие или отсутствие углов, устойчивость, подвижность и др.). Познакомить детей с прямоугольником, сравнивая его с кругом, квадратом, треугольником. Учить различать и называть прямоугольник. Формировать представление о том, что фигуры могут быть разных размеров: большой — маленький куб (шар, цилиндр, круг, квадрат, треугольник, прямоугольник). Учить соотносить форму предметов с геометрическими фигурами: тарелка — круг, платок — квадрат, мяч — шар, стакан — цилиндр, окно, дверь — прямоугольник и др.

Ориентировка в пространстве. Совершенствовать умение определять направление от себя, двигаться в заданном направлении (вперед — назад, направо — налево, вверх — вниз); обозначать словами положение предмета по отношению к себе («передо мной стол», «справа от меня дверь», «слева — окно», «сзади на полках — игрушки»). Познакомить с пространственными отношениями: далеко — близко (дом — близко, а березка — далеко).

Ориентировка во времени. Расширять представления детей о частях суток, их последовательности (утро, день, вечер, ночь). Объяснить значение слов «вчера», «сегодня», «завтра». Раскрыть на конкретных примерах понятия «быстро — медленно» (поезд едет быстро, а черепаха ползет медленно).

К концу года дети могут

• Различать, из каких частей составлена группа предметов, называть их характерные особенности (цвет, форму, величину).

• Считать до 5 (количественный счет), отвечать на вопрос «Сколько всего?».

• Сравнивать две группы путем поштучного соотнесения предметов (составления пар).

• Раскладывать 3- 5 предметов различной величины (длины, ширины, высоты) в возрастающем (убывающем) порядке; рассказывать о величине каждого предмета в ряду.

• Различать и называть треугольник, круг, квадрат, прямоугольник; шар, куб, цилиндр; знать их характерные отличия.

• Находить в окружающей обстановке предметы, похожие на знакомые фигуры.

• Определять направление движения от себя (направо, налево, вперед, назад, вверх, вниз).

• Различать левую и правую руки.

• Определять части суток.

40. Методика обучения детей счету в средней группе.

Перед воспитателем средней группы стоит главная задача — научить детей считать в пределах пяти на основе сравнения конкретных множеств. В этой группе продолжается работа по уточнению представлений о множестве, дифференциации множеств по количеству и определению каждого из них числительным (итоговым числом) на основе счета. Однако особое значение придается именно обучению счетной деятельности: дети учатся пересчитывать элементы множества в пределах пяти; отсчитывать меньшее количество элементов множества от большего по заданному числу. Значительное внимание уделяется сравнению множеств и соответствующих им смежных чисел (три и четыре; четыре и пять). Продолжается сравнение множеств поэлементно, по заданному числу и без счета, нахождение множества с большим и меньшим количеством элементов, создание равенства из неравенства путем увеличения или уменьшения количества элементов на один (единицу).

«Чего больше, самолетов или вертолетов?» — спрашивает воспитатель. «Как узнать, чего больше, не пересчитывая?» Разместить одни предметы напротив других — попарно (воспитатель подводит детей к необходимости упорядочивания множеств). Вызывает ребенка и предлагает ему разместить на верхней части фланелеграфа все самолеты в один ряд. Другой ребенок размещает под элементами первого множества элементы другого так, чтобы их можно было сравнить. Дети сравнивают и устанавливают, каких предметов больше, каких меньше.

Именно практические действия детей с конкретными множествами: выделение из множества отдельных элементов, создание множеств (совокупностей) из отдельных элементов, непосредственное установление взаимно однозначного соответствия между двумя множествами — способствуют формированию у них начальных представлений о числе.

Обязательное условие ознакомления детей с образованием чисел — сравнение двух множеств. Воспитатель обращает вни

внимание на то, что мы по-разному называем числа в зависимости от того, что считаем. Например, одна кукла, но один мяч; две матрешки, но два яблока и т. д. Особое внимание следует уделять тому, чтобы ребята правильно называли числительные — один, а не заменяли его словом раз.

Для того чтобы дети осознали значение (особенность) последнего числительного в процессе счета, воспитатель учит их, заканчивая счет, делать обводящее движение рукой: «Всего две елочки, всего три матрешки».

«Поставь столько матрешек, сколько раз я хлопну в ладоши. Сколько ты поставил матрешек?» Такие упражнения способствуют образованию межанализаторных связей и углубляют знания о числе.

В результате наглядного и практического сравнения становится очевидным, что с присоединением одного предмета изменяется их количество, изменяется и число. На основе сравнения двух конкретных множеств, состоящих из трех-четырех элементов, из четырех-пяти элементов, у детей возникают соответствующие связи между множествами и числами, которые им соответствуют. При этом ребята усваивают, что не все числа, которые называются в процессе счета, равнозначные. Последнее названное число характеризует численность всего множества в целом — это очень важный вывод, к которому их надо подвести.

На занятиях такого типа очень ценным является вопрос: «Почему елочек меньше, чем грибов?» (Потому что елочек три, а грибов четыре.) На основании сравнения устанавливается, что в множестве, которое характеризуется числом четыре, больше элементов, чем в множестве, которое состоит из трех элементов. «Можно ли, пересчитывая грибы, сказать, что их три? Но, пересчитывая, мы же называли число три (один, два, три, четыре)». Еще не все понимают, почему, называя числа один, два, три, четыре, нельзя сказать «всего три». Сама постановка вопроса стимулирует ребенка к осмыслению того, что последнее названное числительное обобщает все множество, оно является показателем количества всех элементов.

Таких занятий, где счет выполняется воспитателем, а итог подводят дети, можно провести в самом начале года не более одного, двух. На последующих занятиях необходимо учить счету и углублять представления о числе. На этом этапе важно учить называть числительные по порядку, сопоставляя каждое число лишь с одним предметом; понимать значение последнего числа и сопоставлять последнее названное во время счета число с последним объектом.

Считая предметы, дети могут дотрагиваться до предмета или указывать на него пальцем, сопровождая каждый элемент громким называнием числительных по порядку, делать обобщающий жест в виде обводящего движения, а в конце счета обязательно называть полученный результат: всего четыре елочки или пять цыплят. При этом они практически убеждаются, хотя и не сразу, что число три меньше четырех, а число четыре больше трех, т. е. они начинают понимать отношения между смежными числами. Любое число можно сравнивать с предыдущим и последующим. Число всегда больше предыдущего на единицу и одновременно оно меньше последующего также на единицу. Именно такие упражнения подводят детей к пониманию относительности понятий больше—меньше, что очень важно в математическом развитии ребенка.

одного элемента к множеству увеличивает его мощность, оно характеризуется уже новым числом, последующим, а если из этого множества вычесть (убрать) один элемент, то оно будет характеризоваться меньшим числом (предыдущим).

Развитие счетной деятельности у детей пятилетнего возраста происходит не только в результате увеличения мощности множеств (до пяти), но и на основе усложнения характера этой деятельности: пересчитываются однородные и разнородные совокупности, увеличивается расстояние между предметами, а также между предметами и ребенком. Счетная деятельность приобретает все более совершенные формы: теперь они могут считать предметы, не дотрагиваясь до них, тихо называть числительные по порядку, а громко — только итоговое число.

В обучении все большее значение приобретают пояснения, указания, словесная инструкция воспитателя: положить на верхнюю полоску наборного полотна три предмета, а на нижнюю — четыре; сравнить их по количеству.

воспитатель слева размещает близко друг к другу четыре медвежонка, а справа на некотором расстоянии один от другого четыре зайчика и спрашивает: «Поровну ли медвежат и зайчиков? Что надо сделать, чтобы узнать об этом?» Дети считают игрушки.

Воспитатель предлагает поставить игрушки попарно. Дети устанавливают, что зайчиков столько, сколько медвежат, так как не осталось ни одного лишнего. Зайчиков возвращают на прежнее место. Дети вместе с воспитателем считают и убеждаются, что игрушек поровну — по четыре. «Почему же кажется, что зайчиков больше?» — спрашивает воспитатель и объясняет, что они размещены далеко один от другого, занимают больше места, поэтому кажется, что их больше. Медвежата стоят близко и занимают меньше места, поэтому кажется, что их меньше. На самом деле их поровну, их по четыре. Так подводят к тому, что показателем мощности множества является число.

по сложности. При пересчитывании элементов множества ребенок не ограничивает свои действия, а при отсчитывании сам должен создать множество по указанному числу, т. е. произвольно прекратить счет. А это сложнее. Обучать отсчитыванию следует в обычных для детей условиях, где меньше отвлекающих моментов. В качестве заданий воспитатель может предлагать: отобрать на столе необходимое количество предметов; отсчитать заданное количество предметов и принести. Наиболее трудное задание — одновременное отсчитывание двух множеств (отсчитать две собачки и два петушка и принести).

по одной, две, три, четыре раскладываются игрушки.

Педагог объясняет, как найти столько игрушек, сколько кружочков на карточке. Дети должны поставить свою карточку возле соответствующей группы игрушек и встать возле этого множества. Одновременно можно вызвать трех-четы-рех детей. Другие проверяют, правильно ли выполнено задание, считают игрушки и кружочки на карточках. «Как еще можно проверить, правильно ли подобраны карточки?» — спрашивает воспитатель. Дети прикладывают (накладывают) игрушки к кружочкам на карточке.

количественный счет дает возможность определить количество, мощность данного множества;

Психологи отмечают, что для детей порядковое значение числа является сильным признаком. Количественный и порядковый счет отличаются друг от друга не только по цели, но и по формулировке вопроса. При количественном счете вопрос ставится «Сколько?», при порядковом — «Какой по счету, который?» или «На котором месте стоит этот предмет?» При обучении детей счету нужно иметь в виду такие правила:

—действовать (раскладывать, передвигать, указывать на предметы) только правой рукой (исключение составляют дети-левши);

—считать слева направо, особенно при порядковом счете;

—при счете называть числительное (число), соотносить его с каждым элементом пересчитываемого множества. Для этого в обучении используется сначала «развернутый счет»;

—при счете предметов именуют только последнее (итоговое) число;

—согласовываются существительные в роде, числе и падеже;

—счет можно вести с помощью как количественных, так и порядковых числительных;

—предметы для счета необходимо размещать в ряд, придерживаясь определенных интервалов.

На пятом году жизни дети должны знать цифры.

Ознакомление с цифрами начинается со второго квартала и происходит на протяжении учебного года. Дети повторяют, уточняют свои знания о числе и счете в пределах трех. При этом постепенно воспитатель подводит их к пониманию необходимости изображать числа на письме особыми знаками — цифрами. Каждое число записывается по-своему. Дети называют разные числа, а воспитатель показывает им цифры, которыми они записываются.

41. Упражнения в отсчитывании предметов по образцу и названному числу в средней и старшей группах.

При ознакомлении с цифрами широко используются специальные карточки. Карточка поделена на две неравные части: левая — меньшая, правая — большая. Внизу карточки по всей ее длине приклеена полоска бумаги так, чтобы получился кармашек. В левую часть вкладывается карточка с цифрой, а в правую — чистый лист бумаги, на котором ребенок должен нарисовать столько предметов, сколько показывает цифра.

42. Упражнения в счете с участием различных анализаторов в разных возрастных группах.

43.

Одновременно с количественным счетом овладевают и порядковым. Эти два вида счета различаются по цели деятельности:

количественный счет дает возможность определить количество, мощность данного множества;

Психологи отмечают, что для детей порядковое значение числа является сильным признаком. Количественный и порядковый счет отличаются друг от друга не только по цели, но и по формулировке вопроса. При количественном счете вопрос ставится «Сколько?», при порядковом — «Какой по счету, который?» или «На котором месте стоит этот предмет?» При обучении детей счету нужно иметь в виду такие правила:

—действовать (раскладывать, передвигать, указывать на предметы) только правой рукой (исключение составляют дети-левши);

—считать слева направо, особенно при порядковом счете;

—при счете называть числительное (число), соотносить его с каждым элементом пересчитываемого множества. Для этого в обучении используется сначала «развернутый счет»;

—при счете предметов именуют только последнее (итоговое) число;

—согласовываются существительные в роде, числе и падеже;

—счет можно вести с помощью как количественных, так и порядковых числительных;

—предметы для счета необходимо размещать в ряд, придерживаясь определенных интервалов.

На пятом году жизни дети должны знать цифры.

их к пониманию необходимости изображать числа на письме особыми знаками — цифрами. Каждое число записывается по-своему. Дети называют разные числа, а воспитатель показывает им цифры, которыми они записываются.

44. Упражнения на независимость числа от величины, формы и расположения предметов в разных возрастных группах.

45. Методика работы по обучению детей сравнению предметов по величине: длине, ширине, высоте (в средней, старшей, подготовительной группах).

46.

47. Знакомство с днями недели.

48. Анализ программы по математике в старшей группе.

«Программой воспитания в детском саду» в старшей группе предусматривается значительное расширение, углубление и обобщение у детей элементарных математических представлений, дальнейшее развитие деятельности счета. Дети учатся считать до 10 не только зрительно воспринимаемые предметы, не и звуки, предметы, воспринимаемые на ощупь, движения. Уточняется представление ребят о том, что число предметов не зависит от их размеров, пространственного расположения и от направления счета. Кроме того, они убеждаются в том, что множества, содержащие одинаковое число элементов, соответствуют одному-единственному натуральному числу (5 белочек, 6 елочек, 5 концов у звездочки и пр.). На примерах составления множеств из разных предметов они знакомятся с количественном составом из единиц чисел до 5. Сравнивая смежные числа в пределах 10 с опорой на наглядный материал, дети усваивают, какое из двух смежных чисел больше, какое меньше, получают элементарное представление о числовой последовательности — о натуральном ряде.

В старшей группе начинают формировать понятие о том, что некоторые предметы можно разделить на несколько равные частей. Дети делят на 2 и 4 части модели геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник), а также другие предметы, сравнивают целое и части. Больное внимание уделяют формированию пространственных м временных представлений. Так, дети учатся видеть изменение предметов по размерам, оценивать размеры предметов с точки зрении 3 измерений: длины, ширины, высоты; углубляются их представления о свойствах величин.

Детей учат различать близкие по форме геометрические фигуры: круг и фигуру овальной формы, последовательно анализировать и описывать форму предметов.

У детей закрепляют умение определять словом положение того или иного предмета по отношению к себе («слева от меня окно, впереди меня шкаф), по отношению к другому предмету (•. справа от куклы сидит заяц, слеза от куклы стоит лошадка»). Развивают умение ориентироваться в пространстве: изменять направление движения во время ходьбу, бега гимнастических упражнений. Учат определять положение ребенка средь окружающих предметов (например, «я стою за стулом», «около стула:* и т. п.). Дети запоминают названия и последовательность дней недели.

49. Состав числа из единиц (старшая, подготовительная группа).

50. Сравнение смежных чисел и понимание отношений между ними.

51.

выравнивание знаний. —5 занятий бывает недостаточно для повторения всей программы средней группы. На этих занятиях в основном закрепляют материал раздела «Количество -и счет», представления детей о форме, величина;: и др.; продолжают закреплять в ходе обучения счету до 10.

который позволяет ввести новые знания в систему ранее усвоенных. Повторение чаще организуется в форме игровых упражнений, решения задач («Найдите ошибку Незнайки», Кого больше?») и занимает от 1 до 5 млн. С игровых упражнений начинают и занятия, посвященные закреплению знаний. Стимулируя проявление смекалки и сообразительности, эти упражнения позволяют сосредоточить внимание детей, активизировать их мышление, создать хороший, эмоциональный настрой. Для закрепления знаний в конце занятия также проводят игровые упражнении и дидактические игры. Широко используют комбинированные упражнения, позволяющие одновременно решать 2—3 задачи. При этом может идти работа над материалом разных разделов программы.

У детей 5 лет повышается устойчивость внимания. Однако длительно выполнять однообразную работу, сохранить одну и ту же позу пятилетние непоседы не могут и нуждаются в частой смене деятельности, в двигательной разрядке.

Работу, требующую произвольного внимания, педагог чередует с элементами игры, количество однородных упражнений ограничивают до 3—5. Включаются задания, связанные с выполнением движений. Если такие задания отсутствуют, то на 12—14 мин проводится физкультурная минутка. Содержание ее по возможности связывают с работой на занятии. Проводя опрос, педагог старается вызвать как можно больше детей.

52.

к моменту поступления в школу дети должны усвоить относительно широкий круг взаимосвязанных знаний о множестве и числе, форме и величине,научиться ориентироваться в пространстве и во времени. Практика показывает что затруднения первоклассников связаны, какправило, с необходимостью усваивать абстрактные знания, переходить от действия с конкретными предметами, их образами к действию с числами и другими абстрактными понятиями. Такой переход требует развитой умственной деятельности ребенка. Поэтому в подготовительной к школе группе особое внимание уделяют развитию у детей умения ориентироваться в некоторых скрытых существенных математических связях, отношениях, зависимостях «равно», «больше», »меньше», «целое и частью, зависимостях между величинами, зависимости результата измерения от величины меры н др. Дети овладевают способами установления разного рода математических связей, отношений, например способом установления соответствия между элементами множеств (практического сопоставления элементов множеств один к одному использование приемов наложения приложения для выяснения отношений величин). Они начинают понимать, что самими точными способами установления количественных отношений является счет предметов и измерение величин. Навыки счета и измерения становятся у них достаточно прочными осознанными. Умение ориентироваться в существенных математических связях и зависимостях и овладение соответствующими действиями позволяют поднять на новый уровень наглядно-образное мышление дошкольников и создают предпосылки для развития их умственной деятельности в целом. Дети приучаются считать одними глазами, про себя, у них развиваются глазомер, быстрота реакции на форму. Не менее важно в этом возрасте развитие умственных способностей, самостоятельности мышления, мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, способности к отвлечению и обобщению, пространственного воображения.

У детей должны быть воспитаны устойчивый интерес к математическим знаниям, уменье пользоваться ими и стремление самостоятельно их приобретать. Программа по развитию элементарных математических представлений подготовительной к школе группы предусматривает обобщение, систематизацию, расширение и углубление знаний, приобретенных детьми в предыдущих группах.

53.

54. Методика знакомства с цифрами от 0 до 9.

55.

56.

57.

58. Упражнения на называние чисел в прямом и обратном порядке.

59. Деление целого на части.

60. Методика обучения измерению с помощью условной мерки.

61. Видоизменение геометрических фигур.

62. Игры и упражнения на видоизменение геометрических фигур («Танграм», «Волшебный круг»).

63. Работа на листах бумаги в клетку (ориентировка в пространстве).

64. Знакомство с календарем. Развитие чувства времени у детей.

65. Игры и упражнения на ориентировку во времени в старшей и подготовительной группах.

66. Занимательные игры и упражнения для детей старшего дошкольного возраста.

67.