Пирамида и призма

Пирамида и призма Общий исторический обзор Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии . Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений. зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н. э., но они были вытеснены “Началами” Евклида. ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых. В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия . В XVII - XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия , научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия , основы которой были созданы в трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.). Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию , называемую ныне геометрией Лобачевского. Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др. В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники. Многогранники и их элементы. Проблемы нам создают не те вещи, которых мы не знаем, а те, о которых мы ошибочно полагаем, что знаем. В. Роджерс называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников. В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является [1] Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника. Определение . Многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер. Грани Вершины Рёбра 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Призма n -угольная 2n 3n n+2 Пирамида n -угольная n+1 2n n+1 Теорема Эйлера. Г+В – Р=2 Принцип Кавальери: Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны. Призма. Определение. Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A 1 A 2 … An и B 1 B 2 … Bn n параллелограммов. Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются призмы (A 1 A 2 … An и B 1 B 2 … Bn ). (An A1 B1 Bn ) Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами (A1 B12 B2 … An Bn ) Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы. Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы. В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой , в противном случае – наклонной . Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями. Прямая призма называется , если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание. Площадь боковой поверхности призмы S бок =Рп * /g /, где Рп – /g / - длина бокового ребра Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех её граней S полн =S бок +2 S осн Объёмом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом. Доп. справка: · За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины. · Равные тела имеют равные объёмы · Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т. е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов V=S осн *h Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. S бок = P осн *h Частным случаем призмы является параллелепипед – призма, основанием которой служат параллелограммы. Основные свойства параллелепипеда: 1. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 3. сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер. 4. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. . В нём все диагонали равны между собой. Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым . Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами. Объём параллелепипеда V=S*h Объём прямоугольного параллелепипеда V=abc Объём куба V =a3 Диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + c 2 , где d a , b , c – рёбра Пирамида. которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды. Определение . Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1 A2 …An Этот n – угольник A1 A2 …An называется Остальные (треугольные) грани называются (A2 PA3 , …, An PA1 ) Общая вершина всех боковых граней называется пирамиды (P). Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её 12 , …, PAn ) Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН). Пирамида называется правильной , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу. Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n -угольной . Треугольная пирамида называется тетраэдром . Тетраэдр называется правильным , если все его рёбра равны (т. о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники). Некоторые свойства правильной пирамиды: · Все боковые рёбра равны между собой · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники · Все двугранные углы при основании равны · Все плоские углы при вершине равны · Все плоские при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. S полн = S бок + S осн Площадь боковой поверхности пирамиды – Площадь боковой грани S =1/2* m * /g /, где m – апофема, /g / - основание грани Теорема . Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. S бок =1/2 * ( P осн * m ), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания. Объём пирамиды. V=(1/3)*S осн *h Усечённая пирамида. Определение . Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A1 A2 …An и B1 B2 …Bn (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и nчетырёхугольников A1 A2 B2 B1 , A2 A3 B3 B2 , …, An A1 B1 Bn . Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. Основания 1 A2 …An и B1 B2 …Bn ). Отрезки A1 B1 , A2 B2 , …, An Bn называются высотой усечённой пирамиды (СН). Боковые грани усечённой пирамиды – . Усечённую пирамиду с основаниями A1 A2 …An и B1 B2 …Bn обозначают так: A1 A2 …An B1 B2 …Bn . Усечённая пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники , а боковые грани – равнобедренные трапеции . Высоты этих трапеций называются (КК1 ) Свойства усечённой пирамиды: 1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды Теорема . Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. Площадь поверхности усечённой пирамиды S =(1/2)* m *( P + P 1 ), где m – апофема S бок =1/2*(Рв +Рн )* m , где m – апофема, Рвн – периметр верхнего и нижнего оснований Объём усечённой пирамиды: 1 + √ S1 S2 +S2 ), где S1 , S2 – площади оснований. Площадь боковой грани S бок. гр. =1/2* m *( g + g 1 ), где m g , g 1 – основания боковой грани Тетраэдр. Определение . – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды. Тетраэдр является частным случаем пирамиды. Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCAобозначается так: DABC гранями . Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами . Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра. противоположными . Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием , а три другие – боковыми гранями. Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным . Свойства равногранного тетраэдра: описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный у него имеются три оси симметрии все трёхгранные углы равны все медианы (тетраэдра) равны все высоты (тетраэдра) равны центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают радиусы описанных окружностей граней равны площади граней равны Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: S2 =S2 1 +S2 2 +S2 3 Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется . Объём правильного тетраэдра. V=(a3 * √ 2)/12 Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре R=(a* √ 6)/4 H=(a* √ 6)/3 Площадь поверхности правильного тетраэдра S=a2 * √ 3 Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра r = (a* √ 6)/12 Список используемой литературы Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996 Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994 Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995 Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996 [1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.