Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени Валентин Подвысоцкий X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1) X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2) X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T, (3) X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P, (4) X1X2X3X4 = Q. (5) Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем: (6) (X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P. (7) Составляем квадратное уравнение: Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0, (8) где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4. Y2 – (T + A)Y + Q = 0. Решая уравнение (8) получаем: X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2), (9) X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2). (10) X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (11) (12) P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (13) Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А: A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. (14) Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений: X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0, (15) X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0. (16) Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде: X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0, (17) (18) Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.