Евклид и Лобачевский
Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название „евклидова г
еометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду..
Начала". В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по..
Началам" Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и распространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора..
Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало.
Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом
(410—485), автором комментариев к „Началам", деятельность Евклида проходила во время правления Птолемея
Сотера
1 (305—282 гг
до н. э.).
При этом царе, столица Египта Александрия
стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и среди них Евклид, который был одним из первых ее преподавателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свидетельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математиков и философов, достиг высот тогдашних научных знаний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка. Некоторый свет на Евклида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и правдивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.
Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей
1, листая книгу..
Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет особых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорится, чтр
один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал невольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот человек ожидает прибыли от науки". Математик Папп
(320 г. н.
э.)
восторгается необыкновенной честностью, скромностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных трудов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории математики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедуктивный метод. ..
Начала" носят характер учебника, в котором Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида трудно считать самостоятельным автором содержания „Начал", за небольшими исключениями, касающимися конусных сечений и сферической геометрии. Но в „Началах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..
Начала" были написаны около 300 года до н. э., но древнейшие, сохранившиеся рукописи на греческом языке восходят всего лишь к Х
ве
нашего летосчисления.
Со времен 1 века нашей эр
ы хранилось только несколько отрывков папируса с ским
текстом. Несмотря на отсутствие оригинг
даря кропотливому труду ученых, сравнил
и внейшие,
сохранившиеся рукописи, удалось с полной достоверностью восстановить первоначальный текст замечательного труда Евклида. Из тринадцати книг..
Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на плоскости, в одинадцатой,
двенадцатой и тринадцатой приведены основы стереометрии, остальные книги..
Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных теорем — без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные — постулатами и ввел необходимое число определений. Опираясь на этой сиСтеме
аксиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 теорем распределенных в цепочку, очередные звенья которой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,
Аксиома параллельности" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приняли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.
Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..
Площадь квадрата построенного на высоте прямоугольного треугольника опущенной из прямого угла на гипотенузу, равновелика площади прямоугольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в тру
дах дру
гих математиков.
Историю древнегреческой математики можно подразделить на три периода: первый — необыкн
овенно буйное, почти стихийное развитие, второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.
Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.
Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет.
И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых равноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиворечива.
Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.
Ведущий. У Евклида в “Началах” несколько иная формулировка, но суть та же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опровергнешь, ведь на практике воспроизводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.
Ведущий. Так оно и было. Веками длились попытки придумать доказательство — не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и проник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недоказуем и от -господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная мыслимая система геометриче ского
познания мира, необходимо от казаться.
1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида
Постулат, как черный идо
В жертву требует умов...
Ах, догматики! Грозу им
Принесет такая весть.
3-й ученик. На уроках геометрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал “неевклидову геометрию”, в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую.
АВ
и -вне ее точку С. Пусть САВ
Построим луч С
D
,
пересекающий прямую АВD
,
лежащей вправо от точки А,
и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча С
D
непосредственное наблюдение пересечения его с АВ
становится неосуществимым. По этой причине будет логически правомерным изменить наше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч С
D
в какой-то момент своего вращения “отрывается” от прямой АВ,
т. е. перестает иметь с ней общую точку.
(аа'),
содержащую луч, впервые “оторвавшийся” от АВ,
назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.
Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть “прямая” (ЬЬ'),
симметричная “прямой” {аа')
и проходящая через точку С(ЬЬ')
следует считать параллельной АВ,
но уже в направлении луча АВ'.
Следовательно, через С
проходят две “прямые”, параллельные прямой ВВ'.
С каждой из этих “прямых” луч СА
,
перпенд
икулярный прямой В'
В,
образует угол л
(р),
названный Лобачевским
Угол p
(р)
зависит от длины СА
==р
и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и образующие с перпендикуляром СА
угол, меньший л
(р)
, пересекают В'В,С
,
не пересекают В'В,
их называют
или сверхпараллелями к прямой В'В. С
В частном случае, когда p
(р)
==
90°, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, “употребительной”, как называл ее Н.
И. Лобачевский.
Угол p
(р)
возрастает и приближается к прямому углу при приближении точки СВ'В
.
Из допущения, что p
(р
)<
90° вытекают совершенно иные следствия,
составляющие содержание но вой геометрии, так же непротиворечивой,
как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем евклидова,
отображающей пространственные геометрические и физические
соотношения, например, за
предела ми мировых областей “средней ве
личины”.
Оказалось также, что взаимо
связь пространства и времени, от крытая X. Лоренцом,
А. Пуанкаре,
А. Эйнштейном и Г. Минковским
и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Был мудрым Евклид,
Но его параллели,
Как будто бы вечные сваи легли.
И мысли его, что как стрелы летели,
Всегда оставались в пределах Земли.
А там, во вселенной, другие законы,
Там точками служат иные тела.
И там п
араллельных лучей миллионы
Природа сквозь Марс, может быть, провела.
Ведущий. Из понимания параллельности “по Лобачевскому” вйтекает
много диковинных на первый взгляд, но строго обоснованных следствий.
Ведущий. Например, в пространстве Лобачевского
параллельные прямые неограниченно сближаются в направлении параллельн
ости и потому существуют “бесконечные треугольники”, стороны которых попарно параллельны , но нет подобных многоугольников.
Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.
После встал, потянулся устало.
Вечность тайну тебе нашептала,
И душой изумленной увидел ты то,
Что доселе не знал и не ведал
никто:
Только сразу такое постигнешь едва ли.
Ведущий. В геометрии Лобачевского интересна и важна такая теорема: “Сумма углов треугольника всегда меньше 180°”.
Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Теперь-то нам понятно, что не может быть двух тупых углов не только в нашем “земном” треугольнике, но и в “звездном” треугольнике геометрии Лобачевского...
Пусть a,b и g— углы треугольника, тогда число d
= 180°—
(a +b+g) называют “дефектом треугольника”
и справедлива поразительная формула выведенная Н.
И. Лобачевским d= S/R2SR
— число, одинаковое для всех треугольников Величину К,
имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны,
пространства Лобачевского,
а отрицательную величину k=1/R2
это
го пространства.
В евклидовом пространстве d
=0 (так как a
+b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.
Получается так, что наша “употребительная” геометрия является предельным (приd- 0) случаем геометрии Лобачевского.
1-й ученик.
В мире все криволинейно.
Прямота лишь сферы часть.
И Евклидово ученье
В космосе... теряет власть.
Ученик. Послушайте стихотворение поэта Александра Лихолета
(Донецк), напечатанное в альманахе “Истоки” (М.:
Молодая гвардия, 1983).
Лобачевский
“Все! Перечеркнуты “Начала”.
Довольно мысль на них скучала,
Хоть прав почти во всем Евклид,
Но быть не вечно постоянству:
И плоскость свернута в пространство,
И мир
Иной имеет вид...
О чем он думал во вчерашнем?
Из ниоткуда в никуда?
О том, что станет новым взглядом:
Две трассы, длящиеся рядом,
Не параллельны никогда?
Что постоянному движенью
И, значит, встретятся они:
Его земная с неземными
Непараллельными прямыми
Когда-нибудь, не в наши дни?..
Ведущий. Открытие Лобачевского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприятию идей “воображаемой геометрии”. Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение “непризнанного ученого”. Приведу один любопытный факт общественной жизни того времени.
Могучий “властитель дум” передовой интеллигенции — Н.
Г. Чернышевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утверждениях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы восприятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сыновьям: “Что такое “кривизна луча” или “кривое пространство”? Что такое геометрия без аксиомы параллельных?” Он сравнивает это с “возведением сапог в квадраты” и “извлечением корней из голенищ” и говорит, что это столь же не
лепо, как “писать по-русски без глаголов”, (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: “Шелест, робкое дыханье, трели соловья”.)
1-й ученик.
Отшатнулись коллеги,
отстали друзья…
2-й ученик
— Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред
Ничего смехотворней и в мире-то нет!
Как дорога от города и до погоста!
Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,
Хоть сто лет рассекая раздольное поле?
3-й учени
к.
Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,
Окунутся с разбега в иные законы.
Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,
Мировые законы пока потаенны.
4-й ученик.
Проплывают в ухмылке ученые лица,
Так неужто
же он, Лобачевский, смирится?
Ведущий. Потребовалось полвека для того, чтобы идеи Лобачевского сделались неотъемлемой частью математических наук, проникли в механику, физику, космологию, стали общекультурным достоянием. Так, в “Братьях Карамазовых” Иван, обладающий, по словам автора романа, “евклидовским”
характером ума, .
говорит: “Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму...” Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.
|