Эрмитовы операторы

Содержание Линейные операторы Линейные уравнения Эрмитовы операторы Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , если для любых элементов fg из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство λ+ μ g ) = λLf μ Lg При этом множество M = ML называется областью определения L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор Lтождественным (единичным) Линейные уравнения Пусть LML . Уравнение Lu = F (2) называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом а неизвестный элемент и из ML решением этого уравнения. F положить равным нулю, то полученное уравнение Lu = 0 (3) линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2). В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения. Всякое решение и ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3) и = ио + ŭ . Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML ,ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML . Обозначим через Rl область значений оператора L , т. е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает ML . FRl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору LL -1 , так что и = L -1F . (4) Оператор L-1Rl ML . Непосредственно из определения оператора L -1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает: L L -1F = F , F Є Rl ; L -1 Lu = u ML , L L -1 = I , L -1 L = I . L имеет обратный L - 1φ k } и { L φ k } одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ kML . ) Рассмотрим линейное однородное уравнение Lu = λu где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML , называются собственными значениями оператора L , собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется собственным значением. r собственного значения λ оператора L конечна и u 1 ,...,и2 — u 0 = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + cr ur также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения Lu = λ u + f (6) существует, то его общее решение представляется формулой и = и* +∑с k и k , (7) где и* с k , k = l,2,...,r, — произвольные постоянные. Эрмитовы операторы Линейный оператор L , переводящий ML СL 2 ( G ) 2 (G), называется если его область определения ML плотна в L2 (G) и для любых f и gMl справедливо равенство ( Lf , g ) = ( f , Lg ). Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L . Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є Ml , где Ml 2 (G), принимала только вещественные значения. Линейный оператор L , переводящий Ml С L2 (G) в L2 (G), называется положительным, если Ml плотна в L2 (G) и (Lf , f ) ≥ 0, f Є Ml . Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны . Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u 0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L , L u 0λ0 u 0 . Умножая скалярно это равенство на u 0 , получим ( L u 0 , u 0 ) = (λ0 u 0 , u 0 ) = λ0 (u 0 , u 0λ0 u 0 2λ0 Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) λ0 — вещественное (неотрицательное) число. Докажем, что любые собственные функции и 1 и и 2 , соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2 , ортогональны. Действительно, из соотношений Lu 1 = λ1 и 1 , Lu 2 = λ2 и 2 , из вещественности λ1 и λ2 L λ1 (и 1 ,и 2 ) = (λ и 1 ,и 2 ) = ( L и 1 ,и 2 ) = (и 1 , Lu 2 ) = (и 1 ,λ 2 и 2 ) = =λ 2 (и 1 ,и 2 ), λ1 (и 1 ,и 2 ) = λ 2 (и 1 ,и 2 ). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ 2 , вытекает, что скалярное произведение (и 1 ,и 2 ) равно нулю. Теорема доказана. Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора Lλ1 ,λ2λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и 1 ,и 2 ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и k : Lu k = λk , и k , k = 1,2,... Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ kψ 1 ,ψ 2 ,... линейно независимых функций из L2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 ,φ 2 , — следующим процессом ортогонализации Шмидта: φ 1 = ψ 1 /ψ 2 , φ 2 = ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 / ψ 2 ψ 2, φ 1 ) φ 1 φ kψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – (ψ k , φ 1 )φ 1 / ψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – – (ψ k , φ 1 )φ 1 При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Таким образом, если система собственных функций {ик } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной: ( Lu k , u i ) = λ k (и k , u i λ k δki Список литературы 1. 2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985. 3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.