Научная контрреволюция в математике
"Левополушарная преступность" вот уже больше века правит бал во владениях "королевы всех наук"
Не так давно в официальном печатном органе Российской академии наук ("Вестник РАН", 1999, №6, с. 553-558) была опубликована статья известного математика, вице-президента Международного математического союза, академика Владимира Игоревича Арнольда. Название этого материала было довольно непривычным, я бы сказал, провокационным - "Антинаучная революция и математика". У обычных людей, привыкших относиться к науке, а тем более к математике с почти врожденным пиететом, уже одно это название вызывает "законное чувство" тревоги и недоумения.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855):
"Я возражаю... против употребления <актуально> бесконечной величины как чего-либо завершенного, что никогда не позволительно в математике..."
Ситуация действительно не совсем обычная. Один из ведущих математиков обвиняет математику в опасной склонности к абстрактному мышлению, или в так называемом левополушарном абстракционизме. "В середине ХХ столетия, - пишет, в частности, Владимир Арнольд, - обладавшая большим влиянием мафия "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями... Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений" и, более того, создает "современное резко отрицательное отношение общества и правительств к математике".
Логика на любой вкус
Диагноз, несомненно, верный, но устрашающий и... не новый. Более трех столетий назад знаменитый (в бывшем СССР особенно, поскольку с "легкой руки" В. И. Ленина был включен в "черный список" классовых врагов диалектического и исторического материализма) епископ Дж. Беркли писал: "Если ум человека с детских лет погружен в абстракции, то в зрелом возрасте он теряет способность адекватно реагировать на окружающую его действительность". Более того, один из создателей именно абстрактно-теоретических, формальных основ современной информатики, Дж. фон Нойман, еще полвека тому назад предупреждал, что "излишняя формализация и символизация математической теории опасна для здорового развития математической науки".
Так что же получается: если отнюдь не заурядные представители математической науки на протяжении трех столетий ставят один и тот же неутешительный диагноз, то болезнь неизлечима? Не совсем так.
с ее древнейшей аксиоматической системой, которая без существенных изменений дошла до наших дней и стала эталоном для всех современных формально-аксиоматических, действительно научных, построений. Поэтому возражать против естественного стремления математики к максимально общему, абстрактно-теоретическому описанию "объективной реальности" значит, пользуясь известным сравнением Гильберта, пытаться запретить "профессиональным боксерам пользоваться на ринге своими кулаками".
"бурбакизм", по терминологии Арнольда) современной математики привел к тому, что два математика, работающих в соседних комнатах, уже не в состоянии понять друг друга.
Лет тридцать тому назад ради спортивного интереса я начал коллекционировать различные "логики", используемые в современных логико-математических трактатах. Когда их количество перешагнуло вторую сотню, стало ясно: если логику можно выбирать "по вкусу" (или даже конструировать "по потребности"), то такое понятие, как "наука", становится здесь просто неуместным.
"Вавилонскую" эпопею: звуки-символы абстрактных речений почти одинаковы, а смысл, если таковой имеется, у каждого - свой. Чем закончился Первый Вавилон - описано в Библии...
На мой взгляд, выход из создавшейся ситуации один…
недавнее решение знаменитой проблемы Ферма. Известны также историко-революционные потрясения и противоположного типа - великие кризисы в основаниях математики, связанные с открытием иррациональных чисел, бесконечно-малых и знаменитых парадоксов теории множеств. "Но чтобы контрреволюция! И где? В математике?!" - удивятся многие.
Что есть общего между великими кризисами в основаниях математики, хотя их и разделяют тысячелетия? Если быть кратким, то - неистребимое стремление математиков понять сущность бесконечного. Хочу сразу же заметить, что раньше все математики, так или иначе вовлеченные в эти кризисы, были одновременно и выдающимися философами. Но, как утверждают ученые богословы, Бесконечное есть атрибут Божий, а для конечного человека посягательство на "святыни" всегда чревато небезопасными последствиями.
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований математики? Дерзкая попытка в то время мало кому известного немецкого математика Георга Кантора актуализировать (по-русски - оконечить) Бесконечное.
Напомню, что со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т. е., взаимоисключающих) понятия Бесконечного. А именно, если вы начинаете считать:
и утверждаете, что закончить этот процесс невозможно в принципе, то такой тип "отсутствия конца" у ряда (1) называется его потенциальной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет последнего, наибольшего элемента, но тем не менее, следуя Кантору, полагаете, что, как бы это ни показалось противоречивым, - нет ничего нелепого в том, чтобы обозначить ("вообразить себе" - в канторовском оригинале) этот ряд (1) неким символом, например, греческим символом w (омега), назвать этот символ целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет далее:
"становится" завершенной (?!), законченной (?!) или актуальной бесконечностью.
"Infinitum Actu Non Datur", что эквивалентно российскому утверждению: "Понятие актуальной бесконечности является внутренне противоречивым", а потому его использование в науке - недопустимо. Как показала весьма продолжительная, почти 2200-летняя историческая практика, в вопросах "высшего логического и философского порядка" Аристотелю не только можно, но и нужно верить!
Георга Кантора (в котором "желаемого" гораздо больше, чем "действительного") за строгое математическое "доказательство" правомерности введения в математику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс "всеобщей актуализации" бесконечных множеств в математике.
Патологический казус
противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Начался Третий Великий кризис оснований математики, который, по мнению многих известных математиков и философов, "продолжается и по сей день".
Еще один, уже чисто психологический, казус состоит в том, что открытие любого подобного противоречия в любой другой науке означало бы ее полную дискредитацию и немедленное закрытие "на все времена". Однако целая плеяда выдающихся математиков и философов первой половины двадцатого века (таких, как Рассел, Гильберт, Брауэр и др.) посвятили всю свою жизнь "спасению" канторовской теории множеств, а следовательно, его идеи актуализации бесконечности. Жертвуя при этом солидными "кусками" здорового тела математической науки: Рассел, например, принес в жертву актуальной бесконечности самоприменимость математических понятий; Брауэр - фундаментальнейший закон логики - закон исключенного третьего; а Гильберт в своей знаменитой программе формализации всей математики фактически призывал вообще отказаться от семантики, то есть от содержательного смысла, математических конструкций. Другими словами, от всякой связи математических теорий с физическим миром.
"в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".
употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.
Акупунктура мета-математики
Суть этого метода, как известно, заключается в практическом использовании следующего универсального, почти кибернетического принципа. А именно: в любой сложной системе (например, в человеке или социуме) имеются так называемые узкие места, или аттракторы, или акупунктурные точки, обладающие тем уникальным свойством, что даже самые слабые воздейстия на них способны вызывать существенные, а нередко (при неквалифицированном вмешательстве) и катастрофические изменения в состоянии и поведении всей сложной системы (живой, технической, финансовой, социальной, политической и т. д.) в целом.
Вот этим древним методом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев.
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня. Однако сами-то эти направления оформились как самостоятельные дисциплины примерно в 30-х годах уже XX века, то есть почти через полвека после того, как Кантор доказал свою теорему! Следовательно, и сама эта теорема, и ее доказательство не имеют никакого отношения к устрашающим образом "бурбакизированным" способам "рассуждений", практикуемых сегодня в рамках упомянутых дисциплин.
Увы, в действительности, не у всякого профессионального математика повернется язык назвать математической работу, в которой, как, например, в теореме Кантора, используются всего лишь три понятия элементарной (школьной, то есть доступной каждому образованному гуманитарию) математики - понятия натурального числа, действительного числа и последовательности таких чисел.
знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное американским математиком Вайлсом? Ничего подобного! Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр немного не закончил свою мысль (см. выше): действительно, "грядущие поколения придут в ужас".., но только от "смущения" за своих математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то десяти строчек, на целых сто лет и добровольно передали свою, по Гауссу, "королеву всех наук" в услужение коварному "бурбакизму"... Прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Увы, речь-то идет не о простом историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о "патологическом казусе" в истории математики. Думаю, не последнюю роль здесь сыграл доведенный до абсурда, особенно в ХХ веке, пиетет перед так называемым профессионализмом. Вплоть до того, что "дважды два" - это моя "территория", где я говорю на своем языке, а "трижды три" - чужая "епархия", где говорят на другом языке, и в ней мне уже "не должно сметь свое суждение иметь". Как ни странно, эта опасная болезнь является прямым - сегодня уже социальным - следствием Великой Промышленной революции последних трех столетий и... современного "бурбакизма".
Один великий ученый открывает совершенно абстрактную формулу E=mс2
, другой великий ученый открывает новый химический элемент U-238, третий, талантливый инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, четвертый, политик, принимает решение использовать эту A-Bomb в самых "высоких и гуманных" целях, пятый, пилот-исполнитель, доставляет этого "Малыша" куда надо и делает с ним то, что приказано. "Гуманитарные" последствия такого "подарка" напоминают о себе до сих пор. Кто виноват? Вопрос, на который не существует ответа! Так, один из величайших факторов промышленного прогресса - принцип разделения труда ради повышения его эффективности "во благо..." имеет своим следствием вначале разделение ответственности, а затем - и разделение совести.
"дебри" этого процесса, то... философы однажды решили, что теорема Кантора - это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора - это метаматематика, и с тех пор в эту область - "ни ногой". Так что математика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.
"патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т. е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего.
Есть еще один парадокс, связанный с теорией Кантора. Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного "покушения на устои" и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться - у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью "Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)", опубликованную в журнале "Доклады РАН" (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам - более популярное, но не менее строгое изложение в работе "Ошибка Георга Кантора", опубликованной в журнале "Вопросы философии" (2000 год, номер 2, стр. 45-48).
Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к сожалению, содержит один существенный недостаток. Она неконструктивна, поскольку в ней не содержится критерий, по которому было бы возможно отличить нормальный, здоровый, естественный "абстракционизм" математики от метаматематического "бурбакизма". Думаю, указать такой критерий невозможно в принципе.
Поэтому я лично вижу два способа профилактики "левополушарной преступности", о которой говорит Арнольд. Первый путь - радикально-юмористический: искоренение причин, порождающих этот вид "преступности". Второй путь - не менее конструктивный: истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей. Если это действительно Истина и если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем видеть одно и то же. И никто при всем желании уже не сможет, прикрываясь камуфляжем "бурбакизма", выдать ложь за истину, а пустое место - за выдающееся научное достижение.
И в заключение - давайте не будем забывать, что математика все-таки - "королева всех наук, а теория чисел - королева математики", а также и о том, что обычные натуральные числа "создал Господь Бог, все остальное - дело рук человеческих".
|
