Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
©
Н. М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
N
=
A
+
B
,
где: А
и В
– простые числа.
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
- количество членов прогрессии равно N;
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую V
и убывающуюUР
для случая, когда n
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
U
:
U1
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:
V1
=[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U
:
U2
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:
V2
= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N
при n
– четном запишем:
V0
U0
Приэтом:
V0i
+ U0i
= N,
где V
0
i
и U
0
i
-
i
–
тые члены прогрессий V
0
иU
0
.
Приn
– четном количество членов прогрессии V
0
U
0
и равно:
K
= 0,5∙n
= 0,25·
N
. /1/
V
и убывающуюU
арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р
для случая, когда n
– нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U
:
U3
= [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:
V3
= [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U
:
U4
= [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:
V4
Nn
– нечетном запишем:
V0
= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U0
V0i
+ U0i
= N,
где V
0
i
и U
0
i
-
i
–
тые члены прогрессий V
0
иU
0
.
Приn
–нечетном количество членов прогрессии V
0
равно количеству членовпрогрессииU
0
и равно:
К
=0,5·(
n
+1) = 0,25·(
N
+ 2). /2/
Количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
прогрессий V
0
иU
0
П =К.
В общем случае обозначим:
Zpv
–
количество простых чисел в прогрессии V
0
;
Zsv
--
количество составных чисел в прогрессииV
0
;
Zpu
--U
0
;
Zsu
-- U
0
;
П
s
/
v
– количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
, состоящих из составных чисел прогрессии U
0
V
0
;
П
s
/
u
– количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
V
0
и простыхчисел прогрессии U
0
;
Пр
--
количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
V
0
иU
0
.
Очевидно, что:
П
=
К
= Zpv
+ Zsv pusu
; /3/
Zsv
= K - Zpvsu
= K - Zpu
.
Из анализа значений числа N
с использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N
≤ 116
: Zpv
>
Zsu
;
Zpu
>
Zsv
;
-
для чисел N
= 118…136:
Zpv
=
Zsu
;
Zpu
=
Zsv
;
-
для чисел N
≥138:
Zpv
<
Zsu
;
Zpu
<
Zsv
.
Составим прогрессии V
0
иU
0
N
,
разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv
,
Zsv
,
Zpu
,
Zsu
,
П
s
/
v
, П
s
/
u
, Пр
и соотношения между ними как для прогрессий V
0
иU
0
ПРИМЕР 1.
N
=120;
n
=0,5
N
=0,5·120 = 60 –
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
равно:
N
=0,25∙120 =30.
V
0
={
V
01
=[ 1 3 5 7
9 11 13
] V
02
=[
15 17 19
21 23
] V
03
=[
U
0
={
U
01
= [119 117 115
113
109
107
] U
02
=[105 103
101
99 97
] U
03
=[]
Пр
* * * * * *
V04
= [ 29 31
] V05
= [
33 35 ] V06
= [ 37
39 41 43
45 47
] V07
= [
49 51 53
]
U04
= [
91 89
] U05
87 85 ] U0683
79
77 75 73
] U0771
69 67
]
Пр
* * * * *
V
08
= [
55 57 59
] }.
U
08
= [
65 63 61
] }.
Пр
*
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
V
0
и U
0
в целом имеем:
Zpv
=17, Zsv
=13, Zpv
= Zsu
, Пs
/
v
=5, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpu
=13, Zsu
=17, Zpu
= Zsv
, Пs
/
u
=1, Пр
= 12.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 17 – 5 = 12;
Rupus
/
u
= 13 – 1 = 12.
v
, Ru
и Пр
следует:
Rv
=Ruр
= 12.
V
01
иU
01
имеем:
Zpvsv
=1, Zpv> Zsu
, Пs
/
vs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpu
=3, Zsupu
> Zsv
, Пs
/
uр
Определим разности:
Rvpv
- Пs
/
vu
= Zpu
- Пs
/
u
= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Прv
= Ru
= Пр
V
02
иU
02
имеем:
Zpv
=3, Zsv
=2, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=0, Пs
/
v
=Пs
/
u
= 0,
Zpusu
=2, Zpu
> Zsv
, Пs
/
uр
= 3.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 3 – 0 = 3; Ru
= Zpus
/
u
= 3 – 0 = 3.
v
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
V
04
иU
04
имеем:
Zpv
=2, Zsvpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v≠Пs
/
u
,
Zpu
=1, Zsupu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 1.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 2 – 1 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ruр
следует: Rv
= Ruр
= 1.
V
06
иU
06
имеем:
Zpv
=4, Zsv
=2, Zpv> Zsu
, Пs
/
vs
/
v≠Пs
/
u
,
Zpu
=3, Zsu
=3, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
vupu
- Пs
/
u
= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
V
07
иU
07
Zpv
=1, Zsv
=2, Zpvsus
/
vs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpusu
=1, Zpu
= Zsv
, Пs
/
uр
= 1.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 1 – 0 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 2 – 1 = 1.
v
, Ru
и Прv
= Ru
= Пр
= 1.
V
08
иU
08
Zpvsvpv
< Zsu
, Пs
/
v
=0, Пs
/
v
=Пs
/
u
= 0,
Zpu
=1, Zsu
=2, Zpu
< Zsv
, Пs
/
uр
Определим разности:
Rvpvs
/
vu
= Zpus
/
u
= 1 – 0 = 1.
v
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
ПРИМЕР 2.
N
n
=0,5
N
нечетное число.
В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V
0
i
+
U
0
i
равно:
П = К
=0,5(
n
+1) = 0,25(
N
+ 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V
0
=
{V
01
1 3 5 7
V
02
=
[
15 17 19
21 23
] »
U
0
={
U
01
=
[153 151
149
147 145] U
02
= 139 137
131
] »
Пр
V
03
29 31
33 35 37
39] V
04
=
[
45 47
49 51 53
]
U
03
=
[129 127
125 123 121 119 117 115] U
04
=[113
109
107
105103
101
]
Пр
* * *
» V
05
=
[55 57
63 65 67
V
06
=
[ 71 73
V
07
=
» U
05
= 97
95 93 91 89
87 85] U
06
83
81 ] U
07
=
[ 79
77 ] }.
Пр
*
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V
0
и U
0
в целом имеем:
Zpvsv
=18, Zpv
< Zsu
, Пs
/
v
=13, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpusu
=24, Zpu
< Zsv
, Пs
/
u
=7, Пр
= 8.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 21 – 13 = 8; Ru
= Zpus
/
u
= 15 – 7 = 8.
Из сравнительного анализа величин Rvuр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 8.
Для подпрогрессий V
01
иU
01
имеем:
Zpvsv
=1, Zpv
> Zsu
, Пs
/
vs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpusu
=3, Zpu
> Zsvs
/
u
=0, Пр
Определим разности:
Rv
= Zpvs
/
vu
= Zpu
- Пs
/
u
= 2 – 0 = 2.
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Прvu
= Пр
= 2.
V
02
иU
02
имеем:
Zpv
=5, Zsv
=2, Zpv> Zsu
, Пs
/
vs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpu
=3, Zsupu
> Zsvs
/
u
=1, Пр
Определим разности:
Rvpvs
/
v
= 5 – 3 = 2; Ru
= Zpus
/
u
= 3 – 1= 2.
vu
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 2.
V
04
иU
04
имеем:
Zpv
=4, Zsv
=3, Zpv> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpusupu> Zsv
, Пs
/
uр
= 3.
Определим разности:
Rv
= Zpv
- Пs
/
v
Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 5 – 2 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Прv
= Ru
= Пр
V
06
иU
06
имеем:
Zpvsv
=0, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,
Zpu
=1, Zsu
=1, Zpu
> Zsvs
/
uр
Определим разности:
Rvpvs
/
v
= 2 – 1 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv
, Ruрv
= Ruр
= 1.
Zpv
,
Zsv
,
Zpu
,
Zsu
,
П
s
/
v
, П
s
/
u
,
при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V
0
i
+
U
0
i
, удовлетворяющие условию:
V
0
i
+
U
0
i
=
N
:
Zpv
=Zpu
, Zsv
=Zsu
, Zpv>Zsu
, Zpu
>Zsv
, Пs
/
v
=Пs
/
u02
-U02
для числа N =120);
Вариант 2:
Zpv
=Zpu
, Zsv
=Zsu
, Zpv
<Zsu
, Zpu
<Zsv
, Пs
/
v
= Пs
/
u(08
-U08
для числа N =120);
Вариант 3:
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsu
, Zpv>Zsupu
>Zsv
, Пs
/
v
>Пs
/
u
(
подпрогрессии V01
-U01
, V04
-U04
, V06
-U06
для числа N =120 и подпрогрессии V01
-U0106
-U06
для числа 154);
Вариант 4:
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsupv
=Zsu
, Zpu
=Zsv
, Пs
/
v>Пs
/
u
(прогрессия V0
-U0
для числа N =120);
Вариант 5:
Zpv
>Zpu
, Zsv>Zsu
, Zpv
>Zsupu
>Zsvs
/
v
>Пs
/
u
(подпрогрессия V02
-U02
Zpv
<Zpu
, Zsv
>Zsu
, Zpv
=Zsu
, Zpu
=Zsvs
/
v
<Пs
/
u
(подпрогрессия V07
-U07
Вариант 7:
Zpv
<Zpu
, Zsv
>Zsupv
>Zsu
, Zpu
>Zsvs
/
v<Пs
/
u04
-U04
для числа N =154);
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsupv
<Zsu
, Zpu
<Zsvs
/
v
>Пs
/
u0
-U0
для числа N =154).
В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv
,
Zsv
,
Zpu
,
Zsu
,
П
s
/
v
, П
s
/
u
.
Значения количества пар П
p
NП
p
N
):
80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).
Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел NП
p
N
увеличивается количество пар П
p
для них.
Из изложенного следует, что любое четное число N
>4
равно сумме двух и более пар П
p
простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:
6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА
Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М
М =
A
+
B
+
C
,
A
≠
B
≠ С
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим:
A + B =N.
Очевидно, что N – четное число.
Тогда:
M = N + C.
Отсюда:
нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:
M
=
N
+
C
=
A
+
B
+ С,
где: A
,
B
и C
– простые числа.
A
≠
B
≠ С
Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик
| 
