Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.
В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.
Например, уравнение
(С
*d (
D
Q) /С
C
*dt) +
D
Q= 2*I0
D
I/ С
C
*F (1)
D
I/
I =
XВХ
D
Q/
Q0
= Хвых
(1)
можно записать в безразмерной форме, заменив:
D
Q =
Q0
*Хвых
и
D
I =
I *
XВХ
Тогда
С*
Q0
*
d Хвых
/ СC
*
F*
dt +
Q0
Хвых
= 2*
I0
2
*
R*
XВХ
/ СC
*
F
Разделив обе части уравнения на Q0, п
олучим:
С*
d Хвых
/ СC
*
F*
dt + Хвых
I0
2
*
R*
XВХ
/ СC
*
F*
Q0
С
/ С
C
* F= Т
2* I0
2
* R/ С
C
*F* Q0
= R
Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени
В самом деле,
С
[дж/град
]/ С
C
[вт/см2
]*
F
[ см
]= С/ С
C
*
F
2
*град/град*вт*см2
]
Коэффициент К при XВХ
называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:
2*
I0
2
[А2
]*
R
[Ом
]/ С
C
[ вт/см2
*град
]*
F
[ см
]*
Q0
[град
] =
= 2*
I0
2
*
R/ С
C
*
F*
Q0
[А2
*Ом*см2
*град/Вт*см2
*град
] =
= 2* I0
2
* R/ С
C
*F* Q0
[
0
]
= К
Т* Х/
вых + Х вых = К* Х вх (2)
Т* Х/
вых + Х вых = К* Х вх
Будем искать решение этого уравнения в виде
Х вых = С*е
rt
K* Х вх 0
Где r и С подлежат определению
/
в уравнение (2).
Т* С*
r*е
rt
rt
Сокращая на С*е
rt
будем иметь:
Т*
r + 1 = 0
r = - 1/Т
Х вых = К* Х вх 0
(1-е-
t/
T
)
При t = 0
Х вых = 0
следовательно С = К* Х вх 0
.
тогда уравнение кривой разгона будет:
Х вых = К* Х вх 0 (
1-е-
t/
T
)
График кривой разгона:
При t =
¥Х вых
Х вых. уст = К* Х вх 0
Коэффициент усиления К
определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:
К = Х вых. уст/ Х вх 0
Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.
Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.
| 
