Экстремумы функций
Содержание.
1. Введение
2. Историческая справка
3. Экстремумы функций одной переменной.
3. 1. Необходимое условие
3. 2. 1. Достаточное условие. Первый признак
3. 2. 2. Достаточное условие. Второй признак
4. Экстремумы функций трех переменных.
4. 2. Достаточное условие
5. 1. Необходимое условие
5. 2. Достаточное условие
5. 3. Метод вычисления критериев Сильвестера
6. Условный экстремум.
6. 1. Постановка вопроса
6. 2. Понятие условного экстремума
6. 3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
6. 5. Достаточное условие
8. Библиография
Цель данного дипломномного проекта заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения.
Гипотезой дипломного проекта является рассмотрение и описание экстремумов функции трёх переменных, формулировании необходимого и достаточного условия их существования, а также рассмотрение метода вычисления критериев Сильвестера.
В качестве объекта для исследования и описания использовались функции одной и многих переменных.
Вмире не происходит ничего, в чем бы не был виден
Л. Эйлер.
В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.
Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.
Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками – Л. С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.
Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.
Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения.
физики и ряда инженерных дисциплин.
2. Историческая справка.
часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.
триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.
<f(x);f(x) Ph Qh2
…<f(x) . Вычитаем из обеих частей и делим на h, откуда P Qh …<0. Так как h можно выбрать любой малости, член P будет по модулю больше суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума.
К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.
Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В “Дифференциальном исчислении” (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.
Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.
экстремумов функционалов.
3. Экстремумы функций одной переменной.
3. 1. Необходимое условие.
Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке[a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части[ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т. е. между и.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0
- ,x0
f(x) < f(x0
)(или f(x)>f(x0
))
Иными словами, точка x0
доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0
) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0
.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x0
) выполняется строгое неравенство
<f(x0
)(или f(x)>f(x0
)
то говорят, что функция имеет в точке x0
собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.
0
и x1
, то, применяя к промежутку[x0
,x1
] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x2
между x01 и минимумов, они просто чередуются.
Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0
. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.
1
и х32
и х4
– локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.
0
функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х00
Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным.
3. 2. 1. Достаточное услоие. Первый признак.
Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.
0
есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х0
представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.
Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.
Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х0
(по крайней мере, для х=х000
(в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:
>0 при х<х0
и f’(x)<0 при х>х0
, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0
меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х00
] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х0
,х0
+ ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х00
+ ] , т. е. в точке х0
функция имеет собственный максимум.
II f’(x)<0 при х<х0>0 при х>х0
, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0
меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0
функция имеет собственный минимум.
III f’(x)>0 как при х<х0>х00
, т. е. при переходе через х0
, не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х0
с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x0
), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x0
) так что в точке х0
никакого экстремума нет.
0
: подставляя в производную f’(x) сначала х<х0
, а затем х>х0
, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0
слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:
a<х1
<х2
<… <хk
<хk+1
<… <хn
<b (3. 1)
именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х1
), (х1
,х2
), … ,(хk
,хk+1
), … ,(хn
,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак. Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (хk
,хk+1
) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между хk
и хk+1
, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3. 1).
Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (хk
,хk+1
) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.
3. 2. 2. Достаточное условие. Второй признак.
Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.
Справедлива следующая теорема.
0<0, то в точке х0
функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х0
(f’(x)-f’(x0
)
f’’(x0
x-x0
По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому
f’(x)
f’’=lim----------
x-x0
Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x0
-,x0
+), в котором переменная величина f’(x)/(x-x0
f’(x)
----------<0 (x0
- <x<x0
+ )
x-x0
Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х0
<0, или х>х0
, и f’(x)<0, если х-х0
>0, или х>х0
. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х0
функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).
ч. т. д.
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):
1. Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).
2. Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0
подвергаем испытанию:
- если f’’(x)>0, то х0
– точка минимума функции;
- если f’’(x)<0, то х0
– точка максимума функции.
Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3. 3. Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
0
) R, определенная в окрестности U(x0
) точки х0
, имеем в х0>1).
Если f’(x0
)=…=f (n-1)
(x0
)=0 и f(n)
(x0
)=0 , то при n нечетном в х0
экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)
(x0
)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)
(x0
).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0
)=f(n)
(x0
)(x-x0
)n
+ (x)(x-x0
)n
(3. 2)
где (x) 0 при x x0
,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0(n)
(x0
)+ (x))(x-x0
)n
(3. 3)
Поскольку f(n)
(x00n
(x0
),когда х достаточно близок к х0
. Если n нечетно, то при переходе через х0
скобка (х-х0
)n
меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3. 3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0
)n
>0 при x=x0
и,следовательно, а малой окрестности точки х0
знак разности f(x)-f(x0(n)
(x0
- пусть f(n)
(x0
),тогда в окрестности точки х0
f(x)>f(x00
– локальный минимум;
- пусть f(n)
(x0>0,тогда f(x)>f(x00
локальный минимум. ч. т. д.
4. Экстремумы функций трех переменных.
4. 1. Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0
,y0
,z0
) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0
,y0
,z0
(x0
- ,x0
+ , y0
- ,y0
+ ,z0
- ,z0
+ )
f(x,y,z)<f(x0
,y0
,z0
)
>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0
,y0
,z0
) выполнялось строгое неравенство
f(x,y,z)<f(x0
,y0
,z0
)
(>)
то говорят, что в точке (x0
,y0
,z0
) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
0
,y0
,z0
) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx
’(x0
,y0
,z0
), fy
’(x0
,y0
,z0
) ,fz
’(x0
,y0
,z0
)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0
,z= z0
сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
0
,z0
)
Так как мы предположили, что в точке (x0
,y0
,z0
) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0
- ,x0
+ ) точки x=x0
, необходимо должно выполняться неравенство
0
,z0
)<f(x0
,y0
,z0
)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx
’(x0
,y0
,z0
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx
’(x,y,z)=0
fy
’(x,y,z)=0(4. 2)
fz
’(x,y,z)=0
4. 2. Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.
Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0
,y0
,z0
), которая является стационарной, т. е. удовлетворяет условиям
fx
’(x0
,y0
,z0
)=0,fy
’(x0
,y0
,z0z0
,y0
,z0
)=0
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0
,y0
,z0
) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности
= f(x,y,z)- f(x0
,y0
,z0
)
= { fx
’’ x1
2
+fx 2
2
+…+fx
’’ xn
2x1x2
’’ x1
x2
+ +2fx1x3
’’ x1
x3
+…+2fxn-1xn
’’ xn-1
xnxixj
’’ xi
xj
где x= xi
-xi
0
(x1
0
+0 x1
, x2
0
+0 x2
,…, xn
0
+0 xn
) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj
’’ (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)=aik
так что
fxixj
’’ (x1
01
, x2
0
+0 x2
,…, xn
0n
)= aik
+ ik
и
ik
0 при x1
0,…, xn
0 (4. 3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik
xi
xk
+ ik
xi
xk
} (4. 4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1
,…,xn
. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
aik
yi
yk
(aik ki
1n
называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4. 5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J. J. Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11
a12
a11
a12
a13
a11
>0, a21
a22
, a21
a22
a23
>0,
a31
a32
a33
Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
a11
a12
a11
a12
a13
a11
>0, a21
a22
a21
a22
a23
>0
a31
a32
a33
Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0
,y0
,z0
) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4. 5).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0
,y0
,z0
), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0
,y0
,z0
) является критической точкой функции f(x,y,z), т. е.
f(x0
,y0
,z0
)f(x0
,y0
,z0
)f(x0
,y0
,z0
)
x y z
Тогда при x=x0
,y=y0
,z=z0
:
1) f(x,y,z) имеет максимум , если
20
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
<0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2
x2
y2
20
,y0
,z0
) 20
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2
x2
z2
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
2
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
-- --------------------------------- +
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
+ --------------- -------------------------------- --
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
-- ------------------------------- >0
x z y2
2) f(x,y,z) имеет минимум, если
20
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2
x2
y2
xy
20
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
x2
x2
z2
y z
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 20
,y0
,z0
)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
-- --------------------------------- +
20
,y0
,z0
) 20
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2
f(x0
,y0
,z0
) 20
,y0
,z0
)
-- ------------------------------- >0
x z y2
3)если
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
x2
x2
z2
y z
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
-- --------------------------------- +
x z y z
2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
) 2
f(x0
,y0
,z0
)
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2
f(x0
,y0
,z0
) 20
,y0
,z0
)
-- ------------------------------- =0
x z y2
4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.
5. Экстремумы функций многих переменных.
5. 1. Необходимые условия экстремума.
Пусть функция u=f(x1
,x2
,…,xn1
0
,x2
0
,…,xn
0
Говорят, что функция u=f(x1
,x2
,…,xn1
0
,x2
0
,…,xn
0
) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x1
0
x1
0
x2
0
x2
0
xn
0
xn
0
)
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1
,x2
,…,xn<f(x1
0
,x2
0n
0
)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) выполнялось строгое неравенство
f(x1
,x2
,…,xn
)<f(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)
(>)
то говорят, что в точке (x1
0
,x2
0n
0
) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) имеет экстремум,
fx1
’(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) ,…, f ’xn
(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим x2
=x2
0
,…,xn
= xn
0
сохраняя x1
переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1
:
u=f(x1
, x2
0
,…,xn
0
)
1
0
,x2
0
,…,xn
0
) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x1
0
- , x1
0
+ ) точки x1
= x1
0
f(x1
, x2
0
,…,xn
0< f(x1
0
,x2
0n
0
)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1
= =x1
0
будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx1
’(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)=0
Таким образом можно показать, что в точке (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx1
’(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)=0
……………………. (5. 1)
f ’xn
(x1
0
,x2
0n
0
Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :
d f(x1
,x2
,…,xn
x1
’= fx2xn
, то каковы бы ни были dx1
,dx2
,…,dxn
f(x1
,x2
d,…,xn
)= fx1
’ dx1
+ fx2
’ dx2xnn
=0
И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1
,dx2n
производные fx1x2
’,…, f ’xn
порознь равны нулю.
Обычно, рассматриваемая функция f(x1
,x2n
) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.
и при этом системе уравнений (5. 1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.
Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).
Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.
Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.
Пусть функция f(x1
,x2n1
0
,x2
0n
0
). Разлагая разность
= f(x1
,x2n
)-f(x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)
= { fx
’’ x1
2
+fx
’’ x2
2
+…+fx n
2x1x2
’’ x1
x2
+ +2fx1x3
’’ x1
x3
+…+2fxn-1xn
’’ xn-1
xn
}= fxixj
’’ xi
xj
где x= xi
-xi
0
; производные все вычеслены в некоторой точке
(x1
0
+0 x1
, x2
0
+0 x2
,…, xn
0
+0 xn
) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj
’’ (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
)=aik
(i,k=1,2,…,n) (5. 2)
так что
fxixj 1
0
+0 x1
, x2
0
+0 x2
,…, xn
0
+0 xnik
+ ik
и
ik1
0,…, xn
0 (5. 3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik
xi
xk
+ ik
xi
xk
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1
,…,xn
. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
aik
yi
yk
(aik
= aki
) (5. 5)
от переменных y1
,…,yn
называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (5. 5) была определенной и положительной принадлежит ,как было уже сказано выше , Сильвестеру (J. J. Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11
a12
a11
a12
a13
a11
a12
… a1n
a11
>0, a21
a22
, a21
a22
a23
>0,…, a21
a222n
a31
a32
a33 …………………
an1
an2
… ann
Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :
Если второй дифференциал,т. е. квадратичная форма
aik
xi
xk
(5. 6)
со значениями (5. 2) коэффициентов – оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x1
0
,x2
0
,…, xn
0
= x1
2
+…+ xn
2
между точками (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) и (x1
,x2
,…,xn
). Вынося в (5. 5) за скобку и полагая
xi
(i=1,2,…,n)
перепишем выражение для в виде
= { aik
Ei
Ek
+ ik
Ei
Ek
} (5. 7)
Числа Ei
Ei
=1 (5. 8)
то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях Ei
будет
aik
Ei
Ek
>m
Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов Ei
во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек(E1
,…, En
), которые удовлетворяют соотношению (5. 8) (“сферическая поверхность”). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).
С другой стороны, ввиду (5. 3) вторая сумма в (5. 7) для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x1
0
,x2
0
,…,xn
0
) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x1
,x2n
Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5. 6) будет определенной, но отрицательной.
Для того, чтобы квадратичная форма (5. 6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
a11
a12
a11
a12
a13
a11
a12
… a1n
a11
<0, a21
a22
, a21
a22
a23 <0,…,(-1)n
a21
a222n
a31
a32
a
an1
an2nn
Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка. Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей. Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :
1. На каждом этапе понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной техники.
В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.
a11
a12
a21
a22
Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a11
назовем “сверткой” определителя.
2. Определитель порядка не изменится, если элементы какой-либо строки умножить (разделить) на какое-либо число, не равное нулю, и сложить (вычесть) с элементами другой строки.
Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных некоторой функции n– переменных f(x1
,x2
,…,xn
).
ikxixk
’’. Имеем
a11
a12
… a1n
…………………
(5. 9)
an1
an2
… ann
Умножим в (5. 9) элементы первой строки на a21/
a11
и вычтем их из элементов второй строки.
Умножим в (5. 9) элементы первой строки на a31/
a11
и вычтем их из элементов третьей строки. …
Умножим в (5. 9) элементы первой строки на an1/
a11
и вычтем их из элементов последней строки.
Выполнив последовательно эти операции, получим
a11
a12
… a1n
0 a22
- a12
a21/
a11
… a2n
-a1n
an1/
a11
………………………………………………………
(5. 10)
0 an212
an1/
a11nn
- a1n
an1/
a11
11
,при этом определитель (5. 10) умножится на a11
n-2
1
----------- (5. 11)
a11
n-2
где
a11
a22
- a12
a21
a11
a23
- a13
a21
… a11
a2n
- a1n
a21
a11
a32
- a12
a31
a11
a33
- a13
a31
… a11
a13n
- a1n
a31
………………………………………………… (5. 12)
a11
an2
- a12
an1
a11
an3
- a13
an1
… a11
ann
- a1n
an1
Рассмотрим более внимательно элементы (5. 12). Перепишем (5. 12) в виде
a11
a12
… a1n-1
a21
a22 2n-1
(5. 13)
an-11
an-12
… a
Из сравнения (5. 12) и(5. 13) видно, что
a1111
a12
a21
a22
a12
– есть свертка определителя a11
a13
a21
a23
…………………………………………………..
a1n-1
– есть свертка определителя a11
a1n
a21
a2n
.
Таким образом, первая строка 1n-1
является сверткой элементов первых двух строк определителя n
. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый “прямоугольник” элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк “участвуют” во всех прямоугольниках этих строк.
a11
a12
a13
… a1n
a11
a12
a1n-1
a21
a22
a23
… a2n
Аналогично вторая строка определителя n-1
является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.
a11
a12
a13
… a1n
a21
a22
a2n-1
a31
a32
a33
… a3n
Наконец для последней строкиn-1
имеем
a11
a12
a13
… a1n
an-1 1
a
an-1n-1
an1
an2
an3
… ann
Если теперь применить те же опервции к определителю n-1
, т. е. к (5. 13), получим
1
……
a11
n-3
(5. 14)
где
a11
a12 1
n-2
a21
a22
… a2
n-2
…………..
an-2 1
an-2 2
… an-2 n-2
ik
Очевидно, повторяя эту операцию n–1 раз, получим следующую формулу, предварительно введя более простые обозначения :
a11
= a1
– левый угловой верхний элемент
a11
= a2
– левый угловой верхний элемент
a11
= a3
– левый угловой верхний элемент
…………………………………………
a11
= an
– левый угловой верхний элемент.
С учетом этого
an
a1
n-2
a2
n-3
… an-1
(5. 15) n>2
Пример №1.
2 1 5 3
0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4
2
2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 22
7 –19 -13
0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6
4 7 2
2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8
1 -121 -66 1 -121 -66 1
= -242 –165= -407
30 2 1 5
04 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0
3
3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5
1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5
12 3 9 18 -30 66 -264-108
1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162
33
9 8 -2 8 33
*122
66 78 120-108
6 7 11 10
-30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372
1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372
33
*122
66 78 12 33
*122
*(-30)
1 3150-4554 1980+25668 1 -1404 27648
33
*122
*(-30) -2340-4356 -360+24552 332
*(-30) –6696 24192
-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208
33
*12232
*30
31311360-182476800 15116544 15116544
332
*30 33
*122
=3888
Вычесленные в порядке получения определителий n
, n-1 2
их верхние левые угловые элементы a1
,a2
,…,an
являются критерием Сильвестера в части знаков, т. е.
sign a11
=sign a1
11
=sign a211
a12
a21
a22
………
a11
… a1n
11
=sign an
=sign
………..
an1
… ann
По сути метод дает возможность вычисления определителей. Однако нас интересуют лишь знаки определителей. Это существенно упрощает задачу.
Рассмотрим функцию f(x1
,x2n
). имеющую экстремум,а именно максимум в точке М0
(x1
0
,x2
0n
01
, a2
,…, an
должны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М01
, a2
,…, ak
коэффициент аk+1
стал отрицательным или нулевым.
Если же в точке М0
– минимум, то коффициенты a12
,…, an
образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно
a1
<0, a2
>0, a3
<0,…
Итак, общая схема выглядит следующим образом :
1. Определяются стационарные точки функции, в которых
ik
2
f
xi
xr
3. Выясняем знак первого диагонального элемента а11
=а1
а) если а11
>0, то все последующие элементы а2
,а3
,…,аn
должны быть положительными,если в точке М0
действительно максимум
б)если а11
<0, то знаки последующих элементов а2
,а3
,…,аn
должны чередоваться, если в точке М0
действительно минимум.
4. При нарушении какой-либо из закономерностей в п. 3 процесс прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М0
экстремума нет.
Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как коэффициенты аik
являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными 2
f/ xi
xr
в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то аik
= аki
. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (аik
) является симметрической вместе со своим определителем аik
Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое.
Во-первых, покажем, что определитель n-1
также остается симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от n-1
к n
и т. д.
Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами себе.
Рассмотрим произвольный элемент аik
в определителе n-1
, i=k, i,k=1,2,…,n-1.
аik
= аik
–а1 k
а1i
/ а11
(*)
aki
= аki
–а1 i
а1k
/ а11
ikki
следует, что аik
= аkin
- симметрический определитель, определитель n-1
также симметрический. Что это дает для вычисления n-1
?
Пусть вычислена первая строка коэффициентов а1k
(k=1,2,…,n-1) определителя n-1
а11
, а12
, а13
,…, а1n-1
Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид
а11
а21
а31
…..
аn-1 1
Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем
a11
a12
… a1 n-1
a21
a22
… a2 n-1
………………….
an1
an2
… an-1 n-1
Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а22
,т. е. а22
, а23
, а242 n-1
. Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а22
а22
а31
…..
аn-1 2
Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки. Т. е. иммем
a11
a12
а13
… a1 n-1
a21
a22
а23 2 n-1
n-1
= a31
a32
а33
… a3 n-1
…………………………..
a
a
an-1 3
… an-1 n-1
И т. д.
Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т. е. оставлять в виде
a11
a12
а13
… a1 n-1
a22
а23
… a2 n-1
n-133
… a3 n-1
(5. 16)
…………..
an-1 n-1
Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило, условно назовем, треугольника.
a1111
a22
- a12
2
a22
= a11
a33
- a13
2
Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее
a12
= a11
a23
- a13
a12
a11
a12
а13
а23
Пример №3.
3
+y3
-3xy
1. Находим
z z
---- и ----
y x
z
---- = 3x2
-3y
y
z
---- = 3y2
-3x
x
3x2
-3y=0
3y2
Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).
3. Находим
2
z 2
z 2
z
------- --------- --------
x2
y2
x y
2
z 2
z 2
z
x2
y2
x y
4. Для точки (0;0) имеем
a11
=0 a22
=0 a12
= a21
= -3
Для точки (1;1) иммем
b11
=6 b22
=6 a12
= a21
= -3
a11
a12
0 -3
a21
a22
-3 0
b11
b12
6 -3
b21
b22
-3 6
Так как <0 , то в точке (0;0) экстремума нет.
>0 и a11
>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем zmin
Пример №4.
Исследовать на экстремум функцию w=x2/3
+y2/3
+z2/3
Ищем критические точки
2 2 2
w`x
= ------ w`y
= --------- w`z
3 3
x 3 33
z
Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P0
(0;0;0). Точка P0
лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства. Поэтому P0
критическая точка.
Исследуя знак разности w(P)-w(P0
)= x2/3
+y2/3
+z2/30
, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она сохраняет положительный знак. Поэтому P0
есть точка минимума, wmin
=w(P0
)=0
5. 4. Экстремумы на множествах.
Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.
Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.
В случае, когда G – плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t), <t< вопрос о нахождении экстремальных значений функции f(x,y) на границе G сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t),y(t)), что делается уже известными нами методами.
Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстремальных точек на границе области будут рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).
Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в Rn
дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.
6. Условный экстремум.
6. 1. Постановка вопроса.
Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось к внутренним экстремумам.
Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции Rnn
в точки x0
.
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более интересная ситуация,когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих область измерения аргумента. Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь. Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника, запишем, что
(х,у)=х-у
х+у=р
2
, которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда : достаточно, записав, что у=р-х, подставить это выражение в формулу для (х,у) и найти обычными методами максимум функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для постановки вопрса. В следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения подобных задач.
6. 2. Понятие условного экстремума.
Пусть на открытом множестве G Rn
yi
=fi
(x) i=1,2,3,…,m (6. 1)
x=(x1
,x2n
). Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции fi
i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:
i
(x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6. 2)
Уравнения
fi
(x)=0, i=1,2,3,…,n (6. 3)
будем называть уравнениями связи.
0
(x) . Тогда x(0)
E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f0
(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6. 3) , если она является точкой обычного экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.
Иначе говоря , здесь значения функции f0(0)
сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки , а только со значениями в точках , принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов , можно , естественно , рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.
1) все функции f0
,f1
,f2
,…, fm
непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G ;
(0)
векторы f12
,…, fm
линейно независимы , т. е. ранг матрицы Якоби
fj
j=1,2,…,m
xi
i=1,2,…,n
равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов f12
,…, fm
).
(0)
. Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола столбцов , то из условия 2) следует ,что m<n.
Согласно условию 2) в точке x(0)
хотя бы один из определителей вида
(f1
, f2
,…, fm
)
(xi1
,xi2
,…,xim
)
(0)
.
(f1
, f2
,…, fm
)
(xi1
,xi2
,…,xim
) (6. 4)
(0)1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)
) можно разрешить относительно переменных x1
,x2m
:
x1
= 1
( x1
,x2
,…,xm
)
x2
= 21
,x2
,…,xm
)
…………………… (6. 5)
xm
= m
( x1
,x2
,…,xm
)
1
,x2
,…,xm
, даваемые формулами (6. 5) в y=f0
(x), т. е. рассмотрев композицию функции f0
и 1
y= f0
(1
( xm+1
,…,xn
),…, m
( xm+1
,…,xnm+1n
)==0( xm+1
,…,xn
) (6. 6)
от n-m переменных xm+1
,…,xn
,определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки x(0)
=(x1
(0)
,x2
(0)n
(0)
) в (n-m)–мерном пространстве Rn-m
.
Поскольку , согласно теореме о неявных функциях , условия (6. 3) и (6. 5) равносильны ,то справедливо следующее утверждение.
Точка x(0)
является точкой (строгого) условного экстремума для функции g относительно уравнений связи (6. 3) в том и только том случае , когда x(0)
является точкой обычного (строгого) экстремума (6. 6).
Если x(0)
– точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции:
dg (x(0)
)=0 (6. 7)
Напомним , что дифференциал – линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов , в данном случае – при любых dxm+1
, dxm+2
,…, dxnm+k
, k=1,2,…,n-m обращаются в нуль в точке x(0)
. Условие (6. 7) необходимо для условного экстремума в точке x(0)
.
Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений (6. 3) через элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом , позволяющим найти условный экстремум не решая системы (6. 3). Такой способ ,так называемый метод множетелей Лагранжа , изложен в следующем пункте.
6. 3. Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.
В этом пункте будем предполагать , что все функции f0
,f1
,f2
,…, fm
непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.
Теорема 6. 1 : пусть x(0)
– точка условного экстремума функции f01
, f2
,…, fm
линейно независимы , т. е. существуют такие не все равные нулю , числа 0
, 1
, 2
,…, m
что
0
f0
+ 1
f1
+ 2
f2
+…+ m
fm
=0 (6. 8)
Следствие : если в точке x(0)012
,…, fm
fj
j=1,2,…,m
xi
i=1,2,…,n
равен m, то существуют такие 1
,…, m
f0
+ i
fj
=0 (6. 9)
0
является линейной комбинацией градиентов f12m
.
(0)
f0
fi
xi
xi
функция
0j
fj
(x) (6. 11)
где числа 1
,…, m1
,…, m
– множителями Лагранжа.
(0)0
относительно уравнений связи (6. 3) , то она является стационарной точкой для функции Лагранжа , т. е.
F(x(0)
)
xi
i=1,2,…,n (6. 12)
Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и покажем , как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то , что у функции вида (6. 11) при произвольных числах 1
,…, m
, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f0
, и наоборот. Мы выбираем такие значения 1
,…, m
, чтобы выполнялись условия (6. 10) , т. е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6. 9).
Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m уравнений (6. 3) и (6. 8) относительно неизвестных x1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)
, 1
,…, m
и решить ее (если это возможно) , найдя x1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)1
,…, m
. Сформулированная теорема утверждает , что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x1
(0)
,x2
(0)n
(0)
). Вопрос о том , какие же из них фактически будут точками условного экстремума , требует дополнительного исследования , об этом будет говориться в п. 6. 5
Доказательство теоремы. Докажем утверждение равносильное теореме : если в точке x(0)
=(x1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)
fk
(x(0)
)=0 k=1,2,…,n (6. 13)
градиенты f0
, f12
,…, fm(0)
не является точкой условного экстремума.
Итак , пусть f0
, f1
, f2
,…, fm
линейно независимы и , следовательно , ранг матрицы Якоби fji
(f0
, f1
, f2
,…, fm
)
(x1
,x2m+1
) x=x(0)
(6. 14)
Множество G–открыто , а поэтому существует такое 00
>0, что при всех 0 0<0<00
, куб
Q ni
-xi
(0)<0,i=1,2,…,n}
лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f0
, f1
, f2
,…, fm
.
Зафиксируем xm+2
= x(0)
m+2n
=xn
(0)
и введем обозначения
x*
=(x1
,x2
,…,xm+1
)
Q m+1
={x*
: xi
-xi
(0)
<0,i=1,2,…,m+1}
Очевидно , функции fj
(x1
,x2
,…,xm+1
,x(0)
m+2
,…,xn
(0) m+1
. Рассмотрим отображение Ф : Qm+1
Rm+1
, задаваемое формулами
y10
(x1
,x2
,…,xm+1
,x(0)
m+2
,…,xn
(0)
)
y2
= f1
(x1
,x2
,…,xm+1
,x(0)
m+2
,…,xn
(0)
)
…………………………………… (6. 15)
ym+1
= fm
(x1
,x2
,…,xm+1
,x(0)
m+2
,…,xn
(0)
)
В силу (6. 15) для точки x*(0)
=(x1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)
(y1
, y2
,…, ym+1
) (f0
, f1
, f2
,…, fm
)
(x1
,x2
,…,xm+1
) x*
= x*(0)
(x1
,x2
,…,xm+1
)x=x(0)
а в силу (6. 13) Ф(x*(0)
)=(f0
(x(0)
,0,…,0) . Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число >0 , что на окрестности
12
,…, ym+1
) : y1
- f0
(x(0)
) < , yj
< ,j=2,3,…,m}
В частности , поскольку при любом n,0<n< ,имеет место включение (f0
(x(0)
)+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки x`*1
,x`2m+1
) и x``*
=(x``1
,x``2
,…,x``m+1
), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестностиV`.
Ф(x`*
)=(f0
(x(0)
)+n,0,…,0)
Ф(x``*
)=(f0
(x(0)
)-n,0,…,0)
Если положим для краткости x`=(x`1
,x`2
,…,x`m+1
,x(0)
m+2n
(0)1
,x``2m+1
,x(0)
m+2
,…,xn
(0)
f00
(x(0)
)+n> f(x(0)
) , fkn
и
f0
(x``)= f0
(x(0)
)-n> f(x(0)
) , fkn
В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x(0)
не является точкой условного экстремума.
ч. т. д.
Доказательство следствея. Если векторы f12m
линейно независимы , то в равенстве (6. 8) имеем 0
=0 так как в случае 0
=0 указанные векторы в силу (6. 8) оказались бы линейно зависимыми. Разделив обе части на 0
получим равенство вида (6. 9).
ч. т. д.
Пример №5.
Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0.
Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию
Ф=xyzt+ (x+y+z+t)
И составим условия
Фx
=yzt+ =0
Фy
=xzt+ =0
Фz
=yxt+ =0
Фt
=yzx+ =0
откуда
yzt=xzt=xyt=xyz
x=y=z=t=c.
6. 4. Стационарные точки функции Лагранжа.
В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6. 10) посредством фукции 0(xm+1
,xm+2
,…,xn
), введенной в пункте 6. 2 (см.(6. 8)). Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры.
Пусть задана система линейных однородных уравнений
ai1
x1
+…+ ain
xn
и еще одно линейное однродное уравнение
b1
x1n
xn
=0 (6. 17)
Лемма: Для того чтобы расширенная система (6. 16)-(6. 17) была равносильна основной системе (6. 16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6. 17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6. 16).
b==(b1n
) (6. 18)
был линейной комбинацией векторов
ai
==(ai1
,…,ain
) i=1,2,…,m (6. 19)
необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6. 16) являлось решением уравнения (6. 17).
Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы (aij
) коэффициентов системы (6. 16) равен m0
. Очевидно , что m0<m. Если m0<m, то уравнений системы (6. 16) являются линейными комбинациями остальных. Отбросив те m-m0
линейных уравнений , которые являются линейными комбинациями оставшихся , получили систему из m0
линейно независимых уравнений. равносильную системе (6. 16), причем уравнение (6. 17) является линейной комбинацией уравнений системы (6. 16) тогда и только тогда , когда оно является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся m00
=m т. е. что ранг матрицы (aij
) коэффициентов системы (6. 16) равен m– числу уравнений этой системы.
Пусть система (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают. Поскольку все уравнения основной системы (6. 16) входят в расширенную систему (6. 16)-(6. 17), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы , т. е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной системы. Следовательно , слвпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей.
Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r. Отсюда следует , что равносильность систем (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) означает равенство рангов их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы (6. 16) по условию равен m , т. е. векторы (6. 19) линейно независимы.
Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6. 16)-(6. 17) согласно сказанному в наших условиях также равен m. Поэтому векторы (см.(6. 18) и (6. 19))
b, a1
,…, am
линейно зависимы. А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a1
,…, am
.
В самом деле , линейная зависимость векторов (6. 20) означает , что существуют такие числа 0, 1
,…, m
01
a1
+…+ m
am
Здесь заведамо 0
=0, так как в противном случае векторы a1
,…, am
оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6. 21) на 0
, получим , что b является линейной комбинацией векторов a1m
.
Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6. 19), то в системах векторов (6. 19) и (6. 20) имеется в точности по m линейно независимых векторов , т. е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) равны.
1
a1
+…+ m
am
=b
эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности.
ч. т. д.
Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6. 16) является и решением уравнения (6. 17) – остальные уравнения систем просто совпадают.
Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rn
, т. е. в n–мерном пространстве со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного произведения, систему (6. 16) можно записать в виде
(ai
,x)=0 i=1,2,…,m (6. 22)
а уравнение (6. 17) в виде
где векторы a1m
и определены в (6. 18) и (6. 19) , а x=(x1
,x2m+1
)
1
,…, amn
и называется подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его через Z=( a1
,…, am
).
Множество решений системы (6. 22) состоит из всех векторов х, ортоганальных подпространству Z=( a1
,…, am
) Обозначим это множество решений через Т. Оно также является подпространством пространства Rn
.
1
,…, am
) и Т называются ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rn
.
1
,…, am1
,…, amn
:b L. Это условие в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т. е. что любое реение х системы (6. 22) является решением уравнения (6. 23). Это и является утверждением следствия леммы.
Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть система (6. 16) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m. Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю. Пусть для определенности
a11
… a1m
am1
… amm
(6. 24)
В этом случае все решения системы (6. 16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1
,x2n
). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6. 16). В самом деле, возьмем произвольное решение (x1
(0)
,x2
(0)
,…,xn
(0)
) системы (6. 16). После подстановки xm+1
= x(0)
m+1
,…, xn
= xn
(0)
в (6. 16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x1
,x2
,…,xn
), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6. 24) невырожденная. Поэтому существуют единственные значения x1
,x2
,…,xn
, удовлетворяющие получившейся системе. Поскольку (x(0)
1
,x(0)
2
,…,x(0)
n
). также было решением системы (6. 16), то x1
=x(0)
1
, x2
=x(0)
2
,…, xm
=x(0)
m
.
Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.
Теорема 6. 2: Пусть функции f0
, f12
,…, fmn
, x(0)
G
fi
(x)=0, i=1,2,3,…,n
а ранг матрицы Якоби функций f1
, f2m
в точке x(0)
равен m. Для того чтобы в точке x(0)
=(x(0)
1
,x(0)
2
,…,x(0)
n
) градиент f0
являлся линейной комбинацией градиентов f1
, f2
,…, fm
необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)
=(x(0)
1
,x(0)
2(0)
n
) была стационарной точкой для функции.
g(x)=g(xm+1
,…,xn
)
(0)
градиент f0
является линейной комбинацией
f0
= 1
f1
+ 2
f2
+…+ m
fm
(6. 25)
1
, f2
,…, fm
, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа
F= f0
- 1
f1
- 2
f2
-…- m
fm
для которой точка x(0)
является стационарной :
F(x(0)
)
xi
i=1,2,…,n (6. 27)
Это просто координатная запись (6. 25) ,ибо в силу (6. 26)
F(x(0)
) f0
f1
f2
fm
xi
xi
xi
xi
xi
1
, f2
,…, fm(0)
(f1
, f2m
)
(x1
,x2
,…,xm
) x(0)
(6. 28)
Подставим в уравнение связи (6. 3) функции (6. 5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1
,…,xn
тождества. Получим для точкиx(0)i
(x(0)
)=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых приращений dxm+1
,…,dxn
независимых переменных xm+1
,…,xn
(напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство
fi
fi
fi
fi
i=1,2,…,m
x1
xm
xm+1
xn
(6. 29)
где xm+1
,…,xn
произвольные , а x1
,…,xm
находятся изформул (6. 5). Таким образом вектор dx=( dx1
,…,dxm
,dxm+1
,…,dxn
) является решением линейной однородной системы (6. 29).
Отметим , что в силу условия (6. 28) значения dx1m
при заданных dxm+1
,…,dxn
Стационарность точки x(0)
для функции g(x)=g(xm+1
,…,xn
)
означает , что dg(x(0)
). Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде
f0
f0
f0
f0
x1
xm
xm+1
xn
(6. 31)
где dxm+1
,…,dxn
можно задавать произвольно, а dx1
,…,dxm
следует находить из формул (6. 5) или , что дает тотже результат из формул (6. 29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6. 29) является и решением уравнения (6. 31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6. 31) является линейной комбинацией уравнений системы (6. 29) , т. е. когда существуют такие числа , что
f0
= 1
f1
+ 2
f2
+…+ m
fm
ч. т. д.
Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6. 29) образуют подпространство Т пространства Rn
, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f12
,…, fm
) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi
, а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0)
к гиперповерхности fi
(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций fi
,i=1,2,…,m.
Таким образом , пространство решений Т системы (6. 29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi
(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей fi
(x)=0 ,i=1,2,…,m. Напомним , что векторы касательноо пространства Т ,т. е. решения системы (6. 29), были обознаены через dx (см.(6. 30)).
Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение
f0
L=Z( f12
,…, fm
)
то
f0
T
0
одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям fi
(x)=0 ,i=1,2,…,m:
( f0
,dx)=0
(это другая запись уравнения (6. 31)), т. е. градиент f0
перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0)
. Но множество всех векторов , ортогональных к f0
, образуют (n-1)– мерное пространство Т0
, называемое касательным пространством к гиперповерхности f00
(x(0)
) . В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f0
, принадлежит к Т0
, т. е. Т Т0
.
Итак , если x(0)
– точка условного экстремума , то. Т Т0
, т. е. касательное пространство в точке x(0)
пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.
Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1. В самом деле , если x(0)(0)
точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационаоной точкой. Поэтому согласно теореме 2 точка x(0)
6. 5. Достаточные условия для точек условного экстремума.
В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6. 2. Пусть
F= f0
+ i
fi
-функции Лагранжа (см.(6. 11)) для функции f0
и уравнений связи(6. 3). Пусть x(0) метода , с помощью которого можно установить условия , достаточные для того , чтобы x(0)
являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.
Заметим прежде всего , что если точка x G удовлетворяет уравнениям связи (6. 3) , то
(0)(0)
Отсюда сразу видно , что если x(0)
является точкой обычного экстремума для функции F, т. е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки x(0)
, то x(0)
является точкой условного экстремума для функции f0
.
Действительно , из (6. 32) следует в этом случае , что приращение f0
для допустимых значений х , т. е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач. Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума.
Пусть x(0)(0)
1
,x(0)
2
,…,x(0)
nm+1
,…,xn
) , получаемой из f0
(x)= f0
(x1
,x2
,…,xn
) при условии , что являются x1
,x2
,…,xm
функциями переменных xm+1
,…,xn(0)
. Будем дополнительно предполагать , что f0
(x ) и fi
(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x(0)
.
Выше отмечалось (в пункте 6. 2) , что x(0)0
(x) относительно уравнений связи (6. 3) тогда и только тогда , когда x(0)
является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x). Поэтому , если например , в точке x(0)
функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция f0
(0)
)
xi
i=m+1,…,n; (6. 33)
2)второй дифферециал
2
g(x(0)
)
d2
g(x(0)
)= -----------dxi
dxj
xi
xj
является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.
При выполнении этих условий x(0)(0)0
(x) относительно уравнений связи (6. 3). Однако они неудобны для практического использования , так как требуют знания функции g(x). Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уоавнений связи.
Прежде всего заметим , что в силу условия (6. 4) система (6. 29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx1
,…,dxm
при произвольно фиксированных dxm+1
,…,dxni
(x) в точке x(0)
:
d fi
(x)=0, i=1,2,…,m
при выполнении условий (6. 3) , будем записывать кратко в виде :
где
f=(f1
,f2m
)
(0)
является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x). Это означает, что dF(x(0)
)=0, т. е. что в этой точке f0
+ i
fi
=0. В теореме 2 показано, что в том случае x(0)
dg(x(0)
Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что
d2
g(x(0)
)= d2
F(x(0)df=0
Это равенство следует понимать как равенство функции n-m переменных dxm+1
,…,dxn
. В правой части равенства (6. 37) остальные переменные dx1
,…,dxm
, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6. 35) или, что равносильно (см. формулы (6. 5))
dxk
=d k
(x1
,x2
,…,xn-m
Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу (6. 6), имеем
f0
(x(0)
)
dg(x(0)j
xj
Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (6. 29), умноженных соответственно на постоянные ii
F(x(0)
)
dg(x(0)0
(x )+ i
fi
(x)] dxj j
=0
xj
x=x0
xj
Утверждение (6. 36) доказано.
Равенство (6. 37) доказывается аналогичным приемом. Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x(0)
:
2
f0
(x(0)
) f0
(x(0)
d2
g(x(0)
)= ---------dxj
dxk
+ ----------- d2
xj
(6. 38)
xj
xk
xj
Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6. 3), т. е. тождества будем иметь в точке x(0)
:
2
f0
(x(0)
) f0
(x(0)
)
d2
g(x(0)
)= -----------dxj
dxk
+ ----------- d2
xj
=0 (6. 39)
xj
xk
xj
i=1,2,…,n
Умножив i–е равенство (6. 39) на постоянную i
, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6. 38) ; тогда получим
2
F(x(0)(0)
)
d2
g(x(0)j
dxk
+ ----------- d2
xj
(6. 38)
xj
xk
xj
где dxi(0)
точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6. 37) доказана.
Будем говорить, что квадратичная форма d2
F(x(0)
) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxi
, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6. 35), если для любых dxi
, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dxi
)2
>0 выполняется неравенство d2
F(x(0)>0 (соответственно d2
F(x(0)
) <0)
Пусть точка x(0)
удовлетворяет уравнениям связи (6. 3) и является стационарной для функции Лагранжа (6. 11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1
,…,dxn
, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6. 35). Тогда из (6. 36) и (6. 37) следует, что x(0)
является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x(0)
является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxm+1
,…,dxn(0)
строгий минимум (максимум) , а значит, функция f0
(x) имеет в точке x(0)
условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6. 3).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 6. 3: Если x(0)
удовлетворяет уравнениям связи (6. 3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6. 11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1
,…,dxn
при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6. 29), то x(0)
является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6. 3).
Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6. 11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6. 37), т. е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6. 3) (когда дифференциалы dxi
, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6. 29)). При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выплнении.
7. Заключение.
в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.
Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования – изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.
При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.
При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.
8. Библиография.
1. А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович Краткий курс математического анализа. -М.: Наука, 1973.
2. И. Е. Жак Дифференциальное исчисление. -М.:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.
3. Г. И. Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. -М.: Высшая школа,1966.
4. В. А. Зорич Математический анализ. -М.: Наука, 1981.
5. А. П. Картышев, Б. Л. Рождественский Математический анализ. -М.: Наука, 1984.
7. Л. Д. Кудрявцев Курс математического анализа. -М.: Высшая школа, 1981.
8. А. Г. Моркович, А. С. Солодовников Математический анализ. -М.: Высшая школа, 1990.
10. К. А. Рыбников История математики. -М.:Издательство Московского университета, 1994.
13. Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 1. -М.: Наука, 1969.
|
