LL(k) - Грамматики
[AK1]
LL(k) -
Грамматики
.
Определение
LL(k)
Для начала предположим, что G
=(N
,E
,P
,S
) - однозначная грамматика и w=a1,a2... an - цепочка из L
(G
). Тогда существует единственная последовательность левовыводимых цепочек b0,b1.. bm, для которой S
=b0,bi,pi Þ bi+1 при 0<=i<m и am=w. Последовательность p0p1.. pm-1 - левый разбор цепочки w.
Допустим, что мы хотим найти этот левый разбор, просматривая w один раз слева направо. Можно попытаться сделать это, строя последовательность левовыводимых цепочек b0,b1.. bm. Если bi=a1,a2... ajAB, то к данному моменту анализа мы уже прочли первые j входных символов и сравнили их с первыми j символами цепочки bi. Было бы желательно определить bi+1, зная только a1,a2... aj (часть входной цепочки, считанную к данному моменту), несколько следующих входных символов (aj+1aj+2... aj+k для некоторого фиксированного k) и нетерминал A. Если эти три фактора однозначно определяют, какое правило надо применить для развертки нетерминала A, то ai+1 точно определяется по ai и k входным символам aj+1aj+2... aj+k.
Грамматика, в которой каждый левый вывод обладает этим свойством, называется LL
(k)-грамматикой. Мы увидим, что для каждой LL
(k)- грамматики можно построить детерминированный левый анализатор, работающий линейное время. Дадим несколько определений :
ОПР
:
Пусть a=xb такая левовыводимая цепочка в грамматике G
=(N
,E
,P
,SÎE*, а b либо начинается нетерминалом, либо пустая цепочка. Будем называть x законченной частью цепочки a, а b - незаконченной частью частью. Границу между x и b будем называть рубежом.
ПРМ
:
Пусть x=abacAaB, тогда abac - законченная часть цепочки x, AaB - незаконченная часть цепочки. Если x=abc, то abc - законченная часть и е
Иными словами идею LL
(k) - грамматики можно объяснить так: если имеется уже разобранная часть цепочки, то на основании этого и еще нескольких неразобранных символов мы можем сделать вывод о том, какое правило неоюходимо применить. Таким образом грамматика посуществу не зависит (не считая k последующих символов) от того, что выводится из незаконченной части цепочки. В терминах деревьев этот процесс выглядит следующим образом: дерево вывода цепочки строится начиная с корня и детерминировано сверху вниз.
G
- количество символов и грамматика соответственно, но их возможно опускать, если это не вызовет недоразумений.
ОПР
:
KC- грамматика G
=(N
,E
,P
,SLL
(1) S
ÞwAa`Þwb`a`
Þwx
(2) S
ÞwAa`
Þwc`a`
Þwy
x
)=FIRST(y
), вытекает что b`
=c`
.
Иначе это определение выражает то, что для имеющейся цепочки и зная следующие k символов можно применить не более одного правила вывода. Грамматика называется LLLL
(k)- грамматика для некоторого k.
ПРМ
:
Пусть GS
®aAS
b
, A
®a
bSA
. Интуитивно G
является LL
(1)- грамматикой, потому что, коль скоро дан самый левый нетерминал С
в левовыводимой цепочке и следующий входной символ сС
и приводящего к терминальной цепочке, начинающейся символом с
. Переходя к определению LL
(1)- грамматики, мы видим, что если S
ÞwSa`
Þwb`a`
Þwx
и S
ÞwSa`Þwc`a`Þwy
и цепочки x
и y
начинаются одним и тем же символом , то должно быть b`
=c`x
и yaS
®aAS
и b`
=c`
=aAS
. Альтернатива S
®b
здесь невозможна. С другой стороны, если x
и yb
, то должно применяться правило S
®b
и b`
=c`
=b
. Заметим, что случай x
=y
=e
здесь невозможен, так как из S
в грамматике G
не выводится e
.
Когда рассматриваются два вывода SÞwAa`
Þwc`a`
ÞwyG
служит примером так называемой простой LL
(1)- грамматики (или разделенной грамматики).
ОПР
:
КС-грамматика G
=(N
,E
,P
,Se
-правил называется простой LL
(k) - грамматикой ( или разделенной грамматикой ), если для каждого A
ÎN
все его альтернативы начинаются различными терминальными символами.
Предсказывающие алгоритмы разбора.
Разбор для LL
(k)-грамматики очень удобно осуществлять с помощью так называемого k-
предсказывающего
алгоритма разбора. k-предсказывающий алгоритм использует входную ленту, магазин и выходную ленту. Алгоритм пытается проследить вывод цепочки, записанной на его входной ленте. При чтении анализируемой цепочки входная головка может «заглядывать» вперед на очередные k символа. Эти символы называют конфигурацию
представляемую тройкой (x
,Xa
,n
), где
x
Xa
- цепочка в магазине и Х - верхний символ
n
- цепочка на выходной ленте
{(верхний символ магазина)Х(аванцепочка)}
и множеством
{(правая часть правила и его номер)ошибкавыбросдопуск}.
Алгоритм является корректным для грамматики, если для любой цепочки из этой грамматики алгоритм позволяет получить упорядоченный список правил для ее разбора. Если работой некоего алгоритма руководит какая-то таблица и этот алгоритм оказывается корректным для рассматриваемой грамматики, то таблицу называют корректной.
ПРМ
:
(1) S
®aAS
(2) S
®b
(3) A
®a
(4) A
®bSA
аванцепочка
a
b
e
верхний
ошибка
символ A
a,3 bSA,4
ошибка
магазина a
выброс ошибка ошибка
b
ошибка выброс ошибка
$
ошибка ошибка допуск
По такой таблице будет проведен анализ:
(abbab
,S$,
e abbab
,aAS$,1
)
-( bbab
,AS$,1
)
-( bbab
,
)
-( bab
,
)
-( bab
,
)
-( ab
,AS$,142
)
-( ab
,aS$,1423
)
-( b
,S$,1423
)
-( b
,b$,14232
)
-( e
,
)
G
можно моделировать на детерминированном МП- преобразователе с концевым маркером на входной ленте. Так как входная головка МП- преобразователя может обозреть только один входной символ, аванцепочка должна храниться в конечной памяти управляющего устройства. Остальные детали моделирования очевидны.
ТРМ
:А
- k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G
. Тогда существует такой детерминированный МП- преобразователь, который позволяет разобрать любую цепочку из этой грамматики. Иначе говоря можно промоделировать любой алгоритм на указанном преобразователе.
СЛВ
:
Пусть А
- k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G
. Тогда для G
существует детерминированный левый анализатор.
Следствия определения
LL(k)
Покажем что для каждой LL(k) Для этого выведем некоторые следствия определения LL
(k)- грамматики.
В определении LL
(k)- грамматики утверждается, что для данной выводимой цепочки wAa
цепочка w и непосредственно следующие за ней k входных символов однозначно определяют, какое применить правило для развертки нетерминала A. Поэтому на первый взгляд может показаться, что для определения нужного правила надо помнить всю цепочку w. Однако это не так. Докажем теорему, очень важную для понимания LL
ТРМ
:
КС-грамматика G
=(N
,E
,P
,S
) является LL
(k)-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил A
®b`
и A
®c`
из P
пересечение FIRST(b`a`
)ÇFIRST(c`a`
) пусто для всех таких wAa`
, что SÞwAa`
.
ДКВ:
Необходимость. Допустим, что w, A, a`
, b`
и c`
удовлетворяют условиям теоремы, а FIRST(b`a`
)ÇFIRST(c`a`
) содержит x. Тогда по определению FIRST для некоторых y и z найдутся выводы S
ÞwAa`Þwb`a`
Þwxy и S
ÞwAa`Þwc`a`
Þwxz. (Заметим, что здесь мы использовали тот факт, что N
не содержит бесполезных терминалов, как это предполагается для всех рассматриваемых грамматик.) Если x < k то y = z = e
. Так как b`
¹ c`
, то G
не LL
Достаточность. Допустим, что G не LL(k)- грамматика. Тогда найдутся такие два вывода S
ÞwAa`Þwb`a`
Þwx и S
ÞwAa`
Þwc`a`
Þwy, что цепочки x и y совпадают в первых k позициях, но b`
¹c`
. Поэтому A®b`c`
- различные правила из P и каждое из множеств FIRST(b`a`
) и FIRST(c`a`
) содержит цепочку FIRST(x) совпадающую с FIRST(y). ЧТД
.
ПРМ:
Грамматика G
из правила S
®aS
a, не будет LL
(1)- грамматикой, так как FIRST1(aS
)=FIRST1(a)=a. Это можно объяснить так - видя только первый символ цепочки мы не можем определить какое правило необходимо применить (левое или правое). С другой стороны эта грамматика является LL2(k) грамматикой - что вполне очевидно.
ОПР:
Пусть G
=(N
,E
,P
,S
) - КС-грамматика. Определим FOLLOWk(b`
) как множество терминальных символов, которые могут встречаться после нетеминала, являющегося аргументом функции.
ТРМ:
КС-грамматика G
=(N
,E
,P
,S
) является LL
(1)-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил A
®b`A
®c`
пересечение FIRST1(b`
FOLLOW1(A))ÇFIRST1(c`ÎN
. (Без ДКВ
).
Теорему можно выразить следующим : по первому символу после нетерминала необходимо выбрать применимое правило - следовательно эти символы различны и пересечение пусто. Эта теорема может применяться к LL
(k)- грамматикам, но не всегда выполняться. Грамматики для которых выполняется теорема называются сильными, таким образом все LL
(1) грамматики - сильные. Необходимо так же заметить что каждая LL
(k)- грамматика однозначна, поэтому если имеется неоднозначная грамматика - то она не LL
(k). Имеется неразрешимая проблема распознавания, существует ли для данной КС-грамматики G
, не являющейся LLLL
(k)- грамматика. Однако в ряде случаев такое преобразование возможно. Применяется два способа:
Первый способ - устранение левой рекурсии
.
ПРМ:
Пусть G
- грамматика S
®S
ab которая не является LL- грамматикой. Заменим правила на следующие:
SS`
S`
®aS`
e
получив при этом эквивалентную LL
(1)- грамматику.
Другой способ - левая факторизация
.
ПРМ:LL
(2)- грамматику GS
®aS
a. В этих двух правилах «вынесем влево за скобки» символ a, записав их в виде S
®a(S
e
S
®aA
A®S
e
LL
(1)-грамматику.
Разбор для
грамматик.
АЛГ 1:LL
(1)-грамматики.
Вход :
LL
(1)- грамматика.
Выход :
Корректная управляющая таблица.
Метод :
Будем считать, что $-маркер дна магазина. Таблица определяется следующим образом:
a`
- правило из P с номером i, то M[A,a]=(a`
,i) для всех a¹e, принадлежащих FIRST1(a`
). Если e
ÎFIRST1(a`
), то M[A,b]=(a`
,i) для всех bÎFOLLOW1(A).
(2) M[a,a]=выброс для всех aÎE.
(3) M[$,e
]=допуск.
(4) В остальных случаях M[X,a]=ошибка для XÎNÈEÈ{$} и aÎEÈ{e}.
ТРМ:
Предложенный алгоритм строит корректную управляющую таблицу для LL
(1)- грамматики G
.
Разбор для
грамматик.
Построим управляющую таблицу для произвольной грамматики. Если грамматика сильная, то можно применить предыдущий алгоритм с аванцепочками расширенными до k символов. В противном случае возникает несколько проблем. В 1-м предсказывающем алгоритме разбора в магазин помещались только символы из E
ÈN
и оказывалось, что для однозначного определения очередного применяемого правила достаточно знать нетерминальный символ наверху магазина и текущий входной символ. Для не сильных грамматик этого может оказаться недостаточно.
ПРМ:
S
®aAaabAba
A®be
Если даны нетерминал A и аванцепочка ba, то не известно, какое из правил надо применить.
Неопределенности такого рода однако можно разрешить, связав с каждым нетерминалом и частью левовыводимой цепочки (которая может оказаться справа), специальный символ, называемый LL
(k)- таблицей
. По данной аванцепочке LL
(k)- таблица будет однозначно определять какое правило надо применить на очередном шаге вывода.
ОПР:E
- некоторый алфавит. Если LL
2 - подмножества E
, то положим L
1 Åk L
2 = {
w для некоторых xÎL
1 и yÎL
2
£k
}
ЛМА:
Для любой КС- грамматики G
=(N
,E
,P
,S
) и любых a`
, b`Î(N
ÈE
) :
FIRSTk(a`b`
)=FIRSTk(a`
) Åk FIRSTk(b`
)
ОПР:
Пусть G
=(N
,E
,P
,S
) - КС- грамматика. Для каждых AÎN
и LÍE
определим LL
(k)- таблицу Ta,l, соответствующую A и L, как функцию T(u), значением которой служит :
(1) =ошибка, если в P нет такого правила A®a`
, что FIRSTk(a`
) Åk L содержит u;
(2) =(A®a`
,<Y1,Y2... Ym>), если A®a`a`
) Åk L содержит u;
На нормальном языке это означает что вырабатывается значение ошибка, если u вообще не является цепочкой грамматики, возвращается правило если оно существует и только одно и если несколько правил - то значение не определяется.
АЛГ 2:
Построение LL
(k)- таблиц.
Вход:
LL
(k)- грамматика G
=(N
,E
,P
,S
).
Выход:
Множество TG LL
(k)- таблиц, необходимых для построения управляющей таблицы для G
.
Метод:
LL
(k)- таблицу T0, соответствующую S
и {e
}.
(2) Положить вначале TG={T0}.
(3) Для каждой LL(k)-таблицы TÎTG, содержащей элемент T(u)=(A®x0B1x1... Bmxm,<Y1,Y2... Ym>) включить в TG LL
(k)- таблицу T для 1£i£m, если T еще не входит в TG.
ПРМ:
Построим соответствующее множество LL
(2)- таблиц для грамматики S
®aAaabAba и A®bee
}} . Так как TS,{e
}(aa)=( S SLL
(2)- таблиц TA,{aa} и TA,{ba}, отличные от значения ошибка, приведены в таблице ниже). Сейчас TG={TS,{e},TA,{aa},TA,{ba}}, и алгоритм уже не может включить в TG новых таблиц, так что это три LL
TA,{aa} TA,{ba}
u правило множества u правило множества
ba A ® b - ba A ® e
-
aa A ® e
Теперь дадим алгоритм, которым можно построить корректную управляющую таблицу по соответствующему множеству LLLL
АЛГ 3:
Построение управляющей таблицы для LL
(k)- грамматики.
Вход :
LL
(k)- грамматика и соответствующее множество TG LL
(k)- таблиц.
Выход :
Корректная управляющая таблица M для G
.
Метод:
M определяется на множестве (TGÈEÈ{$})´E*k следующим образом:
(1) Если A®x0B1x1... Bmxm - правило из P с номером i и TA,LÎTG, то для всех u, для которых TA,L(u)=(A®x0B1x1... Bmxm,<Y1... Ym>) полагаем M[TA,L,u]=(x0TB1,Y1... TBm,Ymxm,i).
(2) M[a,av]=выброс для всех vÎE*(k-1).
(3) M[$,e
]=допуск.
(4) В остальных случаях M[X,u]=ошибка
(5) TS,{e
} - начальная таблица.
ПРМ:LL
(2)- грамматики
(1) S
®aAaa
(2) S
®bAba
(4) A®e
используя соответствующее ей множество LL
e
T0 aT1aa,1 aT1aa,1 bT2ba,2
T1 e
,4 b,3
T2 e
,4 b,3
a выброс выброс выброс
$ допуск*
тактов:
(bba,T0$,e
) - (bba,bT2ba$,2)
- (ba,T2ba$,2)
- (ba,ba$,24)
- (a,a$,24)
- (e
,$,24)
ТРМ:
Описанный алгоритм строит для LL
(k)- грамматики G
=(N
,E
,P
,S
) корректную таблицу, управляющую работой соответствующего k- предсказывающего алгоритма.
ПРМ:LL
(2)- грамматику G с правилами:
(1) S
®e
(2) S
S
aa
(4) A®b
Построим соответствующие LL
(2)-таблицы. Начнем с T0=TS,{e
}. Затем по T0 найдем T1=TA,{e
}, далее T2=TS,{aa} и T3=TA,{aa}:
T0 T2
u правило множества u правило множества
e
S
®e - aa S
®e
-
ab S
®abA {e
} ab S
T1 T3
u правило множества u правило множества
b A ®b - aa A ®S
aa {aa}
S
aa {aa} ab A ®S
aa {aa}
ab A ®S
aa {aa} ba A ®b -
По этим таблицам построим управляющую таблицу:
aa ab a ba bb b e
T0 abT1,2 e
,1
T1 T2aa,3 T2aa,3 b,4
T2 e
,1 abT3,2
T3 T2aa,3 T2aa,3 b,4
a выброс выброс выброс
b выброс выброс выброс
$ допуск
Алгоритм построенный по таблице разберет цепочку abaa следующим образом:
(abaa,T0$,e
- (baa,bT1$,2)
- (aa,T1$,2)
- (aa,T2aa$,23)
- (aa,aa$,231)
- (a,a$,231)
- (e
,$,231)
ТРМ:
Число шагов, выполняемых k- предсказывающим алгоритмом с управляющей таблицей, построенной предыдущим алгоритмом по LL
(k)- грамматике G, линейно зависит от n, где n - длинна входной цепочки.
Проверка
LL(k)-
условия.
По отношению к произвольной данной грамматике G возникает ряд естественных вопросов:
(1) Является ли G
LL
(2) Существует ли такое k, что G
- LL
(3) Так как для LLLL
(1)- грамматика, то существует ли эквивалентная ей LL
(1)- грамматика G’
, для которой L(G
) = L(G’
)?
К сожалению, только для первого вопроса есть отвечающий на него алгоритм. Можно показать, что вторая и третья проблемы алгоритмически не разрешимы, но это доказательство не приводится. Приведем алгоритм проверки LL
(k)- условия:
АЛГ 4:
Проверка LL
(k)- условия.
Вход: G
=(N
,E
,P
,S
) и целое число k.
Выход:
«Да» - если G
- LL
(k)- грамматика и «Нет» в противном случае.
Метод:
Суть алгоритма сводится к следующему: Для каждого нетерминала, имеющего два или более правила раскрутки вычисляется пересечение первых k- символов всех возможных цепочек раскрутки. Если это множество пусто, то переходят к следующему терминалу, иначе заканчивают со значением «Нет». Если все пересечения пусты - заканчивают со значением «Да». Для получения пересечения двух правил можно воспользоваться записью: (FIRSTk(b`
) ÅkL)Ç(FIRSTk(c`
) ÅkL), где L=FIRSTk(a`
) и a`
- цепочка символов после терминала.
|
