"Длинная" арифметика
можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,
30! = 265252859812191058636308480000000?
В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.
Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной арифметики".
Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.
"длинных" чисел. Рассмотрим одно из них. Представим наше число
30! = 265252859812191058636308480000000
в виде:
30! = 2 * (104)8 + 6525 * (104)7 + 2859 * (104) + 8121 * (104)5 + 9105 * (104)4 + 8636 * (104)3 + 3084 * (104)2 + 8000 * (104)1 + 0000 * (104)0.
Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1.
Таблица 1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Значение
|
9
|
0
|
8000
|
3084
|
8636
|
9105
|
8121
|
2859
|
6525
|
2
|
"длинное" число представлено в 10000-10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.
Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.
Примечание. Мы работаем с положительными числами!
Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.
Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления,
в элементах массива храним четырехзначные числа}
{Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе}
"длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.
Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2.
Таблица 2
А[0]
|
А[1]
|
А[2]
|
А[3]
|
Ch
|
|
3
|
674
|
851
|
23
|
-
|
Конечное состояние
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
Начальное состояние
|
1
|
2
|
0
|
0
|
3
|
|
1
|
23
|
0
|
0
|
8
|
2-й шаг
|
1
|
238
|
0
|
0
|
5
|
3-й шаг
|
2
|
385
|
2
|
0
|
1
|
4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2]
|
2
|
851
|
23
|
0
|
6
|
5-й шаг
|
2
|
516
|
238
|
0
|
7
|
|
3
|
167
|
385
|
2
|
4
|
|
3
|
674
|
851
|
23
|
|
|
Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы).
результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".
старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т. е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:
For i := A[0] DownTo 1 Do
Begin
A[i+l] := A[i+l] + (Longint(A[i]) * 10) Div Osn;
End;
"задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.
i
|
А[1]
|
А[2]
|
А[3]
|
ch
|
2
|
516
|
238
|
0
|
7
|
2
|
516
|
380
|
2
|
|
1
|
160
|
385
|
2
|
|
"длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0].
В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:
Procedure ReadLong(Var A : Tlong);
Var ch : char; i : Integer;
Begin
FillChar(A, SizeOf(A), 0) ;
Read(ch);
While Not(ch In ['0'.. '9']) Do Read(ch);
While ch In ['0'.. '9'] Do
Begin
Begin
{"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i]
в младшую цифру числа из A[i+l]}
A[i+l] := A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn;
End;
{добавляем младшую цифру к числу из А[1]}
If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]);
Read(ch)
End
End;
Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.
Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:
A[0]
|
A[1]
|
A[2]
|
A[3]
|
3
|
3274
|
58
|
1284
|
При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:
Begin
Str(Osn Div 10, Is);
Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа}
For i := A[0] - l DownTo 1 Do
Begin
Str(A[i], s);
While Length(s) < Length(Is) Do s := '0' + s;
Write(s)
End;
End;
"длинных" чисел выполнена.
"кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.
Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:
Begin
ReadLong(A); ReadLong(B) ;
Close(Input);
SumLongTwo(A, B, C);
Assign(Output, 'Output.txt');
Rewrite(Output);
WriteLong(C);
End.
Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А=870613029451, В=3475912100517461.
i
|
A[i]
|
B[i]
|
C[1]
|
C[2]
|
C[3]
|
C[4]
|
1
|
9451
|
7461
|
6912
|
1
|
0
|
0
|
2
|
1302
|
51
|
6912
|
1354
|
0
|
0
|
3
|
8706
|
9121
|
6912
|
1354
|
7827
|
1
|
4
|
0
|
3475
|
6912
|
1354
|
7827
|
3476
|
"длинными" числами используется машинное представление "задом наперед".
Результат: С = 3476782713546912.
Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.
Procedure SumLongTwo(A, B : Nlong; Var C : Tlong);
Begin
FillChar(C, SizeOf (C), 0) ;
If A[0] > B[0] Then k := A[0] Else k : =B[0];
Begin С [i+1] := (C[i] + A[i] + B[i]) Div Osn;
C[i] := (C[i] + A[i] + B[i]) Mod Osn
{Есть ли в этих операторах ошибка?}
End;
End;
"длинных" чисел (А=В, А<В, А>В, А<=В, А>=В).
Function Eq(A, B : TLong) : Boolean;
Var i : Integer;
Begin
Eq := False;
If A[0] <> B[0] Then Exit
Else Begin
i := l;
While (i <= A[0]) And (A[i] = B[i]) Do Inc(i);
Eq := i = A[0] + l
End
End;
Реализация функции А > В также прозрачна.
Function More(A, B : Tlong) : Boolean;
Begin If A[0] < B[0] Then More := False
Else If A[0] > B[0] Then More := True
Else Begin
i := A[0];
While (i > 0) And (A[i] = B[i]) Do Dec(i);
If i = 0 Then More := False
> B[i] Then More := True
Else More:=False
End
End;
Function Less(A, B : Tlong) : Boolean; {A < B}
Begin
Less := Not(More(A, B) Or Eq(A, B))
End;
Function MoreEq(A, B : Tlong) : Boolean; {A >= B}
Begin
MoreEq := More(A, B) Or Eq(A, B)
End;
Function LessEq(A, B : Tlong) : Boolean; {A <= B}
Begin
End;
Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига. О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать", что числа равны. Решение может иметь следующий вид:
Var i : Integer;
Begin
If A[0] > B[0] + sdvig Then More := 0
Else
< B[0] + sdvig Then More := l
While (i > sdvig) And
(A[i] = B[i-sdvig]) Do Dec(i);
If i = sdvig Then Begin
{совпадение чисел с учетом сдвига}
If A[i] > 0 Then Exit;
More := 2;
"хвост" числа А равен нулю}
End
Else More := Byte(A[i] < B[i-sdvig])
End
End;
Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt.
Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.
Procedure Mul(Const A : TLong; Const К : Longlnt; Var С : TLong);
Var i : Integer;
Begin
FillChar (С, SizeOf(С), 0);
If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль}
Else Begin
Begin
C[i+l] := (LongInt(A[i]) * K + C[i]) Div Osn;
C[i] := (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn
End;
If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1
End
End;
Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига
Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.
Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.
Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.
Procedure Sub (Var A : TLong; Const B : TLong; Const sp : Integer);
Var i, j : Integer;
Begin
For i := l To B[0] Do
Begin Dec(A[i+sp], B[i]);
{реализация сложного заимствования}
while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do
Inc(A[j+sp], Osn) ;
Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*}
end; {*}
{Реализация простого заимствования.
Если операторы, отмеченные *, заменить
на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то,
по понятным причинам, логика не будет работать
при всех исходных данных. Можно сознательно сделать
ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}
{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn);
End;
While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i);
A[0] := i
{корректировка длины результата операции}
End;
Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В — 2000073859998.
Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т. е. нахождение целой части частного и остатка.
Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:
Procedure LongDivLong(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Begin
FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0] := 1;
FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0] := 1;
{А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру}
2: Res[l] := l; {А равно В}
End;
End;
1000143123567 73859998
- 73859998 ----------
261543143
----------
- 369299990
---------
303315056
----------
78750647
--------
4890649 (Остаток)
но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В*10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.
Down
|
Up
|
С = В * ( (Down + Up) Div 2)
|
|
0
|
10
|
315 = 63 * ( (0 + 10) Div 2)
|
C < Ost
|
5
|
10
|
441 = 63 * ( (5 + 10) Div 2)
|
C < Ost
|
7
|
10
|
504 = 63 * ( (7 + 10) Div 2)
|
< Ost
|
8
|
10
|
567 = 63 * ( (8 + 10) Div 2)
|
> Ost
|
8
|
9
|
|
C < Ost
|
Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше.
Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.
Down
|
Up
|
С
|
Ost = 27856
|
0
|
10000
|
|
> Ost
|
0
|
5000
|
885000
|
C > Ost
|
0
|
2500
|
|
C > Ost
|
0
|
1250
|
221250
|
C > Ost
|
0
|
625
|
|
C > Ost
|
0
|
312
|
55224
|
> Ost
|
0
|
156
|
27612
|
C < Ost
|
78
|
156
|
41418
|
C > Ost
|
78
|
117
|
34338
|
C > Ost
|
78
|
97
|
30798
|
> Ost
|
78
|
87
|
29028
|
> Ost
|
78
|
82
|
28320
|
C > Ost
|
78
|
80
|
27966
|
> Ost
|
78
|
79
|
27612
|
C < Ost
|
Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т. е. 244.
Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.
Function FindBin(Var Ost : Tlong; Const В : TLong; Const sp : Integer) : Longint;
Var Down, Up : Word; C : TLong;
Begin
Down := 0;Up := 0sn;
While Up - l > Down Do
Begin
цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.}
Mul(В, (Up + Down) Div 2, С);
1: Up := (Up + Down) Div 2;
End;
End;
Mul(B, (Up + Down) Div 2, C);
Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost := C end;
FindBin := (Up + Down) Div 2;
{целая часть частного}
End;
Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.
Procedure MakeDel(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Var sp : Integer;
Begin
sp := А[0] - В[0];
{B * Osn > A, в результате одна цифра}
Res[0] := sp + l;
>= 0 Do
Begin
{находим очередную цифру результата}
End
End;
Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя.
1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).
2-е занятие. Функции сравнения (задача 4).
3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6).
Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами.
Темы для исследований
1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т. д.
2. "Длинные" числа могут быть отрицательными. Как изменятся описанные выше операции для этого случая?
3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами.
Список литературы
С. М. Окулов/ "Длинная" арифметика/
|